倒向隨機微分方程在原保險定價中的應用

曹姍姍

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石　435002)

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倒向隨機微分方程在原保險定價中的應用

曹姍姍

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石435002)

保險定價;倒向隨機微分方程; “均值+方差”法;伊藤微分公式;Gisanov定理

保險定價是保險業務的關鍵內容，過高的保費能夠讓保險公司獲得利益，但同時會使投保人望而卻步，從而被市場淘汰出局；過低的保費會增加投保人的興趣，但保險公司將承擔更大的償債風險，從而給予保險公司致命打擊.所以說，合理的保險定價是保險公司生存與發展的關鍵因素. 現如今，保險業在飛速發展，各種保險品種不斷涌現, 合理的定價是保險公司在市場中生存的關鍵，因而對保險定價的研究就更為迫切了.本文主要研究通常意義上的保險定價(原保險)，即保險人在平等自愿的基礎上直接應投保人的要求而辦理的保險業務的定價.

倒向隨機微分方程(BSDE)的概念[1]是20世紀90年代初由我國數學家彭實戈和法國數學家Pardoux 引入的.之后其特殊的理論性質引起不少學者的關注，極大地推動了BSDE的發展.同時，許多金融數學家也把目光投向了BSDE在經濟學領域上的研究，使得BSDE的應用性更加廣闊和活躍.

1　保險定價的經典模型

在傳統的保險定價中，概率和數理統計方法的研究已經擁有幾百年的歷史，各方面的有關文獻也比較多. 實際應用中通常使用的定價法為“均值-方差法”，即“純費率+附加費率”法[2].下面給出相關概念及計算公式：

1)保險費是投保人為轉移風險，取得保險人在約定責任范圍內所承擔的賠償(或給付)責任而交付的費用；保險金額是指保險人承擔賠償或者給付保險金責任的最高限額；保險費率，是應繳納保險費與保險金額的比率,保險費率是保險人按單位保險金額向投保人收取保險費的標準，一般由純費率和附加費率兩部分組成.

4) 純費率： Np=E(ξ)+mσ.其中 Np表示純費率， E(ξ)表示平均損失率， σ 表示損失率的標準差， m表示倍數.

6)保險費率=純費率+附加費率=(平均損失率+m倍標準差)+附加費率 ，其計算公式為：

p=E(ξ)+m σ+θ

2　 建立數學模型

在本節中，將借助于倒向隨機微分理論，從而建立出原保險定價的數學模型.

引理1[3]伊藤微分公式：設 dxi(t)=bi(t)dt+ei(t)dwi(t)(i=1,2,3,…，n)函數G(x1,x2,…,xn,t)對t的一階導數，對x的二階導數關于x，t連續，其中x=(x1,x2,…,xn)∈Rn，t≥0，wi(t)(i=1,2,3,…,n) 是相互獨立的維納過程，則G(x1(t),x2(t),…,xn(t),t)滿足如下隨機微分方程：

其中G的下角標表示相對應變量的偏導數.

考慮連續市場情形，設(Ω,Ft≥0,F,P)為概率空間 (Ω,F,P)帶σ代數流的概率空間，其中Ft≥0=σ(W(s)，0≤s≤t)即由標準布朗運動 {W(s),s≥0}產生的σ代數流.假設在金融市場中只有兩種資產，其中一種為無風險資產，另一種為風險資產.假定x0(t) ,x1(t) 分別表示無風險資產的價格以及有風險資產的價格，x0(t) ，x1(t)∈R1滿足下列方程：

(1)

其中，σ(t)>0表示風險資產波動率，r0(t) ，r1(t) 分別表示無風險資產收益率和風險資產預期收益率.

假設某種保險產品保險費用為 pQ，其中p 為保險產品價格(保險費率)， Q為投保者的保險額.設ξ 是隨機變量，表示索賠率，則保險公司在t=T 時刻的賠償為 ξQ.保險公司為能彌補損失將收取的保費進行風險投資，以獲得足夠回報.設公司的經營費用占保費的比例為h ，則保險公司可以用來投資的總費用為(1-h)pQ .在t=0 時刻，將(1-h)pQ 投資于風險市場，總資產將隨時間的變化而變化.記總資產為y(t) ，則y(0)=(1-h)pQ .保險公司在風險市場中投資是為了使 y(T)>ξ Q，但因為假設的金融市場為無套利市場，所以有公平價格，使得關系式y(T)=ξ Q成立.

對(1-h)pQ 進行風險投資組合，即將其分為兩部分，設風險資產占有百分率為u(t),u(t)∈[0,1] ，無風險資產占有 1-u(t).則投資于風險資產和無風險資產的費用分別為y(t)u(t)=(1-h)pQu(t) ，y(t)[1-u(t)]=(1-h)[1-u(t)]pQu(t) .由伊藤微分公式，對(1)式進行計算，可得總資產y(t) 滿足下列倒向隨機微分方程：

令z(t)= σu(t)y(t)，則上述方程可轉換為

(2)

在總資產y(t) 滿足倒向隨機微分方程(2)的基礎上,找到保險的公平價格p ,從而滿足y(0)=(1-h)pQ .

3　原保險定價公式的推導

dy(t)=a(s,w)dt+dWt,t≤T,y0=0

定理假設保險公司是風險中性的，其資產y(t) 滿足倒向隨機微分方程(2)，則保險定價為：

證明為證得結論首先需引入概率測度P*,令

則P*為P的等價概率測度.又由引理2可知隨機過程

(3)

下求方程(3)的解.

對如上等式兩邊從t 到T 積分得：

對上式兩邊取EP*[*|Ft] ，得EP*[Is|Ft] =0.

本小節得出的定價公式顯示，保險價格(保險費率)只與平均索賠率(損失率)和無風險收益率有關,這使得保險費率的變化不會太大，比較符合實際情況.

4　算例分析

因保險公司相關數據都為商業機密不對外公開，所以較難獲取實際數據，因此假設設無風險收益率 r0=6%，T=1 , h=10%，附加保費為1‰ ，有表1:

表1　全國意外險業務歷年賠款額和保險金額的數據

i)“均值-方差”法

再根據保險費率計算公式可得：

p=E(ξ)+mσ+θ=3.56‰+0.2‰+1‰=3.86‰

ii)根據本文得出的保險定價公式有：

雖然假設數據不是特別準確，但是通過上述兩種方法的求值比較，說明保險定價公式有一定的可行性的.這也說明倒向隨機微分方程在保險定價問題的應用上具有廣闊前景的.

[1]Pardoux E,Peng S.Adapted solution of a backward stochastic differential equations [J]. Systems Control Letters,1990,14:55～61.

[2]孫國忠,王秀蓮.基于風險投資理論的保險定價研究[J].工業技術經濟，2005,137：88～89.

[3]陳佳.倒向隨機微分方程在保險業定價問題中的應用[D].北京：北方工業大學，2007.

[4]彭實戈.倒向隨機微分方程及其應用[J].數學進展,1997,26(2):97～112.

[5]黃志遠.隨機分析學基礎[M].科學出版社,1998.

[6]程中華,寧偉.倒向隨機微分方程在保險定價中的應用[J].經濟研究，2010，9：74～75.

Application of backward stochastic differential equations in the pricing of original insurance

CAO Shan-shan

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi435002 , China)

In this paper, assuming that there are only two assets (no risk asset and risk assets) in the financial , we establish pricing model of original insurance price by using the backward stochastic differential equation , then work out the solution of equation to get the pricing formula . And test the feasibility of the pricing formula through the contrast of "mean-variance" pricing.

insurance pricing; BSDE ; "mean-variance" method; differential equation; Gisanov theorem

2016—01—25

曹姍姍(1990—)，女，湖北大冶人，碩士研究生，主要研究方向為倒向隨機微分方程及其應用.

F832.p

A

1009-2714(2016)02- 0060- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2016.02.013