浸沒圓柱殼低頻自振頻率計算中流固與聲固耦合模型統一性分析

楊國棟，李天勻，朱翔，郭文杰

1華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢4300742船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，湖北武漢430074

浸沒圓柱殼低頻自振頻率計算中流固與聲固耦合模型統一性分析

楊國棟1，2，李天勻1，2，朱翔1，2，郭文杰1，2

1華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074
2船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，湖北武漢430074

流固耦合與聲固耦合模型是分析流場中圓柱殼自振特性的常用理論模型。現有的研究表明，基于這2種理論模型的流場中圓柱殼低頻自振特性計算結果吻合較好，但尚未有關于二者本質聯系方面的研究。分別基于這2種理論模型求解浸沒圓柱殼的自由振動，基于圓柱殼自由振動的Flügge方程進行相關公式的推導，并提出利用Galerkin法求解特征方程的方法。結果顯示，采用該方法既可求得各階模態固有頻率的精確解，又能顯著提高運算效率。對2種理論模型進行統一性分析，從貝塞爾函數的性質出發，證實流固與聲固耦合模型雖然是基于不同的理論基礎，但在求解浸沒圓柱殼低頻自振特性上其本質上是一致的，且通過算例的對比，證明2種模型在低頻段計算結果吻合較好。

圓柱殼；自由振動；固有頻率；流固耦合；聲固耦合

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引用格式：楊國棟，李天勻，朱翔，等.浸沒圓柱殼低頻自振頻率計算中流固與聲固耦合模型統一性分析［J］.中國艦船研究，2016，11（4）：87-92.

YANG Guodong，LI Tianyun，ZHU Xiang，et al.Unity analysis of the fluid-structure coupling model and the acoustic-structure coupling model in the natural frequency calculation of a submerged cylindrical shel［lJ］.Chinese Journal of Ship Research，2016，11（4）：87-92.

0　引　言

圓柱殼屬工程應用中的一個經典結構，被廣泛應用于船舶領域。潛艇主體及雙體船片體的主要部分均為典型的水下圓柱殼結構。國內外學者已對浸沒圓柱殼的振動特性進行了大量研究，而如何考慮水的影響則是研究圓柱殼耦合振動特性的一個關鍵問題。目前，最常使用的模型是流固耦合模型和聲固耦合模型。

流固耦合模型將流體考慮為不可壓縮理想流體，流場使用拉普拉斯方程描述，流體對耦合系統中結構的影響通過附連水質量計入。雷國璞［1］對充液圓柱殼的自由振動進行分析，探討了流體質量、速度與靜壓力對自由振動頻率的影響，并與Yamaki等［2］基于聲固耦合模型的算例數據進行了對比，結果吻合較好。劉忠族等［3］研究了無限長圓柱殼附連水質量與濕模態之間的關系。Kwak［4］基于勢流理論，將附連水質量以矩陣形式加入圓柱殼的自由振動方程中，研究了浸沒圓柱殼的自由振動。

聲固耦合模型則將流體視為可壓縮聲介質，聲場滿足Helmholtz波動方程，流體對結構的影響表現為作用在結構壁面的聲壓動載荷。基于耦合系統的聲振方程，Zhang等［5］運用波傳播法研究了充液圓柱殼的自振特性。李天勻等［6］研究了流體靜壓對圓柱殼流場耦合系統固有頻率的影響，發現靜水壓力使充液圓柱殼的固有頻率升高，而使浸沒于水中圓柱殼的固有頻率降低。葉文兵［7］研究了部分浸沒及有限浸沒深度下圓柱殼的聲振特性，系統地討論了自由液面及剛性壁面對水下圓柱殼聲振特性的影響。

雖然對于同一物理對象，基于2種模型的固有頻率計算結果吻合較好，但一直缺乏有關二者本質聯系方面的研究。本文擬通過基于流固與聲固耦合模型的浸沒圓柱殼固有頻率表達式的分析，從貝塞爾函數的性質出發，證實二者雖基于不同的理論基礎，但在求解浸沒圓柱殼低頻自振特性時本質上是一致的。

1　研究對象

考慮浸沒于水中的流場—圓柱殼耦合系統。設殼體厚度為h，中面半徑為R，材料密度為 ρs，彈性模量為E，泊松比為 μ。流體密度為 ρf，聲傳播速度為Cf，流場為由理想流體組成的靜止流場。用x，θ和r分別表示殼體的軸向、周向和徑向，u，v和w分別表示殼體中面軸向、中面周向和徑向位移。圓柱殼的坐標系與周向模態數n如圖1所示。

圖1　圓柱殼坐標系和周向模態Fig.1　Coordinate system and circumferential modes of cylindrical shell

2　理論模型

2.1殼體的振動方程

由殼體幾何方程、物理方程、殼體內力及內力矩的平衡方程，可得到矩陣形式的圓柱殼自由振動Flügge方程［8］

式中：Pf為流體動載荷，但其在流固耦合模型與聲固耦合模型中的表達式不同，為區別起見，設Pf 1為流固耦合模型中的流體動壓力，Pf 2為對應的聲固耦合模型中的聲壓力；，其中：

式中，K=h2/12R2。其余元素可依據對稱性得到。

對式（1）進行簡化后，可得到如下方程：

由于流體動載荷只考慮由徑向位移帶來的影響，故求解式（2）的本質問題就是如何確定徑向位移的形式。對于薄壁長圓柱殼體，通常以歐拉梁模型來假設徑向位移，然后代入本構方程（2）中，最后，通過采用Galerkin法消除殘差。

對于任意邊界條件，徑向位移可以設為

式中：ω為圓頻率，rad/s；km為軸向波數；m為軸向模態階數；Cmn為廣義幅值；H（kmx）為梁撓度函數。對于任意邊界條件，梁撓度函數可取為［9］

式中，C1，C2，C3和C4為由邊界條件決定的待定系數。

由于三角函數和雙曲函數求二階導后有正、負號差異，故設

其中：

2.2流固耦合模型的運動方程

在流固耦合求解過程中，通常將液體看作是不可壓縮的理想流體。由此，可以引入速度勢函數?（x,r,θ,t），柱坐標系下流體的拉普拉斯方程為［10］

在流體與殼體的接觸面上，流體徑向位移必須等于殼體的徑向位移，即

由伯努利方程，可得到壁面處流體動壓力為

無窮遠處流場邊界條件為

采用分離變量法求解拉普拉斯方程，考慮徑向位移如式（3）所示形式，速度勢函數的表達式為

將式（10）代入式（6）中，可以得到：

式（11）和式（12）有通解：

式中：In（）為n階第1類變型貝塞爾函數；Kn（）為n階第2類變型貝塞爾函數；Jn（）為n階第1類貝塞爾函數；（）為n階第2類漢克爾函數。由式（9），可以得到A1=A3=0，從而得到

將式（3）和式（15）代入式（8）可以解得系數A2和A4，代入式（7）可最終得到流體動載荷的解析表達式

按照流固耦合方法，可從耦合系統機械能守恒的角度推導出附連水質量表達式，其中，式（16）即為出發點。由于本文要揭示2種耦合模型的本質關系，而2種模型均存在流體動載荷的表達式，因此，可只對式（16）進行深入研究，以揭示問題的本質。

2.3聲固耦合模型的運動方程

在聲固耦合求解過程中，流體是可壓縮的理想流體，存在縱波，Pf 2為作用于殼壁上的流體聲壓力。

柱坐標系下理想流體的Helmholtz波動方程為［11］無窮遠處聲場邊界條件為

在流體與殼體的接觸面上，流體徑向位移必須等于殼體的徑向位移，即

對于聲壓場，用分離變量法求解Helmholtz方程，聲壓場有如下形式的解：

將式（20）代入式（17），再由式（18）和式（19），可以得到針對每一個（m，n）的聲壓動載荷式中，。當km＞ω/Cf時，，Zn（）取為n階第2類變型貝塞爾函數；當km＜ω/Cf時，，Zn（）取為n階第2類漢克爾函數。

3　統一性分析

3.1數學簡化

當結構的抗彎剛度相對于流體的壓縮剛度比較大，即流體中的壓縮波數相對于軸向彎曲波數較小時，可以忽略流體的壓縮性，流體對結構的影響表現為附加質量效應［1］。但對于長度與半徑較大的圓柱殼，其抗彎剛度很小，即使頻率很低，通常壓縮波數相比于軸向波數也不能被忽略。由前文的分析可以看出，在求解浸沒圓柱殼的自振特性時，流體壓縮性的影響體現在流體動壓力項。

在流固耦合模型中，流體壓力實際包含流體靜壓力與動壓力。由式（7）可知，通過對速度勢函數偏導，所得的Pf 1為流體動壓力，不包含流體靜壓力；對于聲固耦合系統，聲壓Pf 2即為動壓力。觀察式（16）和式（21）可發現，Pf 1與Pf 2的差別在于貝塞爾函數形式及無量綱波數kmR，R，kr2R的不同。由于細長圓柱殼的長度與半徑之比較大，對于低頻振動，無量綱波數kmR，R和R均為較小的數，根據貝塞爾函數的性質［12］，當x為小量時：

式中，Γ（n）為伽馬函數，對于正整數 n，有Γ（n）=（n-1）！。

由式（22）和式（23），可以得到

則式（16）和式（21）可統一簡化為

3.2物理解釋

式（25）為從數學角度得出的求解低頻振動時Pf 1和 Pf 2的統一簡化形式，為解釋其物理含義，考慮一個無限長浸沒圓柱殼，其徑向位移可設為

流固耦合模型下，速度勢函數的表達式設為

將式（26）和式（27）分別代入式（6）～式（9），可以求得基于流固耦合模型的流體動載荷為

以平面x=±πR截取圓柱殼，得到空間流體域為Ω、長度為2πR的殼體，并考慮流固界面及無窮遠處流體邊界條件，可以得到Ω內流體的動能

以上2種流體動能的表達方式是等效的，即T=T′，分別將式（25）和式（28）代入上式，可得

式中，s為流固交界面。

設圓柱殼表面單位面積的附連水質量為σf，且假定其沿圓柱殼的表面均勻分布，則Ω內流體的動能又可以表示為

由式（31）可以看出，流體動壓力 Pf 1和聲壓力Pf 2可以簡化為Pf 3的形式，實質上就是，在計算浸沒圓柱殼低頻自振特性時，流體對殼體振動的影響可以退化為只與流體密度、圓柱殼半徑以及周向模態數n有關的附連水質量的影響，且圓柱殼表面單位面積的附連水質量與同等半徑的無限長浸沒圓柱殼的附連水質量相同。

4　數值計算

4.1固有頻率的求解

對于簡支邊界條件，假設徑向位移函數同時滿足邊界條件及控制方程，便可直接求解。對于固支、自由等邊界條件，徑向位移函數僅滿足邊界條件，不滿足控制方程（1），因此，針對上述模型利用Galerkin法求解其固有頻率，其中殘值函數與權函數的選取如下。

權函數：

殘值函數：

加權殘值的積分過程如下：

積分后，可得到任意模態下固有頻率的方程Fmn（ω）=0，用Matlab編程，便可很快求得固有頻率值。

4.2算例分析

選取殼長L=20 m，半徑R=1.0 m，殼厚h= 0.01 m的圓柱殼作為計算對象。殼體材料為鋼，彈性模量E=2.1×1011N/m2，泊松比 μ=0.3，密度ρs=7 850 kg/m3。流體縱波傳播速度Cf=1 500 m/s，密度 ρf=1 000 kg/m3。計算時，邊界條件為圓柱殼兩端固支，當水深不大時，可不考慮流體靜壓力。

此時，設梁撓度函數

可求得每個m對應的km和γm。

基于流固耦合模型和聲固耦合模型，計算m= 1，2，3，4以及n取1～10時浸沒固支圓柱殼的各階固有頻率，如圖2所示。

圖2　各階模態的固有頻率Fig.2　Natural frequencies of different modes

從圖中可以看出，基于流固耦合模型和聲固耦合模型求出的各階模態固有頻率點均吻合較好，說明流固耦合模型與聲固耦合模型雖然是基于不同的理論基礎，但在低頻范圍內其計算結果是吻合的。

表1列出了基于流固耦合模型、聲固耦合模型計算的結果與文獻［13］中數據的對比。

由表中基于流固耦合模型與聲固耦合模型求得的固有頻率值的對比來看，數據吻合較好，且與文獻［13］中的數據吻合也較好，證明本文的計算方法是準確的。

依照前文對2種理論模型統一性的分析，使用簡化的動壓力表達式（25），求得各階模態的固有頻率如表2所示。

從表2與表1中數據的對比可以看出，采用簡化算法計算出的固有頻率值與基于流固耦合模型及聲固耦合模型求得的固有頻率值吻合較好，說明這種對流體動壓力的簡化形式是合理的，同時也證實在求解浸沒圓柱殼低頻自振特性時，流固耦合模型與聲固耦合模型在本質上是一致的。

表1　兩端固支浸沒柱殼固有頻率Tab.1　Natural frequencies of clamped-clamped submerged cylindrical shell

表2　簡化算法求得固有頻率Tab.2　Natural frequencies calculated using simplified algorithm

5　結　語

本文分別基于流固耦合模型和聲固耦合模型分析了浸沒圓柱殼的低頻自振特性，這2種理論模型的差別主要體現在流體對圓柱殼的動載荷項，但對于求解低頻振動，無量綱波數kmR，R 和R均是較小的數。根據貝塞爾函數的性質，流固耦合模型及聲固耦合模型中流體對結構的動載荷均可退化成統一的型式，2種方法實際在求解浸沒圓柱殼的低頻自振特性時具有一致性。本文的工作不僅從理論上證明了二者的統一性，同時也可為研究者選擇分析模型提供有益的參考。

［1］雷國璞.有限長輸液圓柱殼的自由振動頻率分析［J］.華中理工大學學報，1988（3）：123-128.

LEI Guopu.Natural frequencies of cylindrical fluid conveying shells of limited length［J］.Journal of Huazhong University of Science and Technology，1988（3）：123-128.

［2］YAMAKI N，TANI J，YAMAJI T.Free vibration of a clamped-clamped circular cylindrical shell partially filled with liquid［J］.Journal of Sound and Vibration，1984，94（4）：531-550.

［3］劉忠族，黃玉盈，鐘偉芳.無限長圓柱殼附連水質量與波數的關系［J］.中國造船，1998（1）：52-56.

LIU Zhongzu，HUANG Yuying，ZHONG Weifang.Relationship between added mass and wave numbers of an infinitely long cylinderical shell submerged in water ［J］.Shipbiudling of China，1998（1）：52-56.

［4］KWAK M K.Free vibration analysis of a finite circular cylindrical shell in contact with unbounded external fluid［J］.Journal of Fluids and Structures，2010，26 （3）：377-392.

［5］ZHANG X M，LIU G R，LAM K Y.Coupled vibration analysis of fluid-filled cylindrical shells using the wave propagation approach［J］.Applied Acoustics，2001，62（3）：229-243.

［6］ 李天勻，劉志忠，張俊杰，等.波傳播法分析靜壓下圓柱殼—流場耦合系統的自由振動［C］//第十二屆船舶水下噪聲學術討論會論文集.長沙：中國造船工程學會，2009.

［7］葉文兵.潛浮狀態下圓柱殼結構的聲振特性研究［D］.武漢：華中科技大學，2012.

YE Wenbing.The vibro-acoustic characteristics of cylindrical shells in the state of immersion and floating ［D］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology，2012.

［8］駱東平.兩端完全自由的圓柱殼體的振動分析［J］.華中工學院學報，1984（5）：31-38.

LUO Dongping.Vibration of cylindrical shells with both ends free［J］.Journal of Huazhong University of Science and Technology，1984（5）：31-38.

［9］LAM K Y，LOY C T.Effects of boundary conditions on frequencies of a multi-layered cylindrical shell［J］. Journal of Sound and Vibration，1995，188（3）：363-384.

［10］ 陳忱，李天勻，朱翔，等.基于波傳播法的水下圓柱殼臨界載荷-頻率特性分析［J］.中國造船，2012，53 （1）：130-136.

CHEN Chen，LI Tianyun，ZHU Xiang，et al.Frequency characteristics analysis for critical load of a submerged cylindrical shell based on wave propagation approach［J］.Shipbuilding of China，2012，53（1）：130-136.

［11］李天勻，江豐，葉文兵，等.有限浸沒深度無限長圓柱殼輻射聲場波動特性［J］.中國艦船研究，2013，8 （1）：73-79.

LI Tianyun，JIANG Feng，YE Wenbing，et al.The wave characteristics of the acoustic radiation from cylindrical shells within finite depth from the free surface［J］.Chinese Journal of Ship Research，2013，8 （1）：73-79.

［12］《數學手冊》編寫組.數學手冊［M］.北京：高等教育出版社，1979：635-640.

［13］ZHANG X M.Frequency analysis of submerged cylindrical shells with the wave propagation approach［J］. International Journal of Mechanical Sciences，2002，44（7）：1259-1273.

Unity analysis of the fluid-structure coupling model and the acoustic-structure coupling model in the natural frequency calculation of a submerged cylindrical shell

YANG Guodong1，2，LI Tianyun1，2，ZHU Xiang1，2，GUO Wenjie1，2
1 School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China
2 Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics，Wuhan 430074，China

The fluid-structure interaction model and the acoustic-structure interaction model are two commonly-used theoretical models to analyze free vibration characteristics of submerged cylindrical shells.It has already been confirmed that the results are consistent when dealing with low-frequency free vibration problems，but no study was conducted to explain the cause behind.In this paper，free vibration characteristics of a submerged cylindrical shell are investigated based on both the fluid-structure interaction model and the acoustic-structure interaction model.According to Flügge theory，free vibration equations are established as well as related formulas.In order to apply the Galerkin method to solve the characteristic equations，the accurate data of natural frequencies of the system is first obtained，and the calculation efficiency is improved.Consistency analysis of the two theoretical models is also carried out based on the characters of the Bessel function，which indicates that the nature and the calculation samples of the two models are indeed consistent when dealing low-frequency free vibration problems，though the two methods which are based on different theories.

cylindrical shell；free vibration；natural frequency；fluid-structure interaction；acoustic-structure interaction

U661.44

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2016.04.013

2015-10-21網絡出版時間：2016-7-29 9:45

國家自然科學基金資助項目（51379083，51479079，51579109）；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目（20120142110051）

楊國棟，男，1992年生，碩士生。研究方向：結構振動噪聲分析，機械結構靜、動力學仿真

分析。E-mail：yanghust92@foxmail.com

李天勻（通信作者），男，1969年生，博士，教授。研究方向：船舶與海洋工程結構力學，結構振動與噪聲控制。E-mail：ltyz801@hust.edu.cn