沖擊荷載作用下軸向運動層合板非線性動力學響應

楊樟世，秦　營，李映輝

（西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031）

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沖擊荷載作用下軸向運動層合板非線性動力學響應

楊樟世，秦營，李映輝

（西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031）

研究軸向運動層合板在沖擊荷載作用下的非線性動力學響應。基于單層材料本構關系及大變形理論，考慮幾何非線性得到沖擊荷載作用下的軸向運動層合板非線性動力學控制方程；通過Galerkin法對控制方程進行離散得到模態方程組，用Runge-Kutta法對模態方程組求解，得到沖擊荷載作用下軸向運動層合板的動態響應。討論了軸向速度、沖擊波峰值和相位持續時間對軸向運動層合板動力學響應的影響。

聲學；沖擊荷載；軸向運動；層合板；幾何非線性

層合結構常應用飛行器、空間站、汽車、潛艇等。這類結構有時處于運動狀態，并受音爆、爆炸等沖擊荷載作用。因此研究這類運動結構在沖擊荷載下的非線性動力學行為具有學術理論和工程意義。

關于板在沖擊荷載下的力學行為，Aaron等研究了矩形板在沖擊荷載下的非線性動力學響應［1］。Zafer等研究了復合材料結構在各種沖擊荷載下的非線性動力學響應［2-4］。Schiffer等基于實驗和有限元法，討論了水下沖擊荷載下正交各向異性復合材料板的動力學響應［5］。Demet等對沖擊荷載下黏彈性夾層板的動力學響應進行分析，并用有限元解和實驗結果對其進行驗證［6］。曾誠等考慮阻尼非線性特性，研究了非線性橡膠隔振器的沖擊響應［7］。關于軸向運動板，劉金堂等研究了軸向運動板的非線性動力學行為［8］。李映輝等研究了軸線運動下黏彈性夾層板非線性動力穩定性［9］。李中華等討論了軸向運動黏彈性夾層板的多模態耦合橫向振動［10］。而目前未見軸向運動板在沖擊荷載下的研究內容。

擬通過建立軸向運動層合板在沖擊荷載下的非線性動力學方程，研究其非線性動力學響應，分析軸向運動速度、沖擊波峰值和相位持續時間等對其動力學響應的影響。

1　控制方程

如圖1、圖2所示，層合板等效密度為ρ，第k層厚度為zk-zk-1，總厚度為H，長為a，寬為b，以速度νx沿x軸方向運動，受到沖擊荷載P（t）的作用，其平衡方程為［10］

其中zk為第k層厚度方向坐標，Mx、My和Mxy為板內截面彎矩（扭矩），Nx、Ny分別為板內沿x方向、y方向的截面面力，Fxy為面內剪切力，w（x，y，t）為層合板的撓度，（·）x和（·）xx分別為對x的1階和2階偏導。考慮幾何非線性，層合板幾何方程為［9-10］

圖1　層合板中面模型

圖2　層合板截面模型

其中

層合板本構方程為［11］

式（4）中

A、B、D分別為拉伸、耦合和彎曲剛度矩陣，其元素為［11］

式（6）中

其中sn=sinq，cs=cosq，q為纖維方向角，Q11=E1/（1 -ν12ν21），Q22=E2/（1-ν12ν21），Q66=G12，Q12=ν12E1/（1-ν12ν21），其中E1和E2為主方向彈性模量，ν12和ν21為泊松比。

將式（4）代入式（1），得

式（9）中，沖擊荷載P（t）一般形式為［1］

其中Pm為沖擊荷載峰值，tp為相位持續時間，α=1.98為修正系數。

2　求解方法

假設式（9）的解為

其中Fmn（x，y）是滿足邊界條件的試函數；M、N為截斷階數，代入方程（9），得到系統殘差R（x，y，t），使用Galerkin法，得

對四邊簡支層合板，其邊界條件為

3　數值結果與討論

考慮兩種材料組成的層合板，第一種材料為玻璃鋼M300，各向同性，E1=9 140 MPa，ν12=0.326，單層厚度為0.01 m。第二種材料為玻璃鋼W600，E1= 21 000 MPa，E2=20 500 MPa，ν12=0.137，G12=2 320 MPa，單層厚度為0.01 m。板長a=1 m，寬b=1 m，總厚度為0.04 m，等效密度ρ=1 680 kg/m3，鋪層方式為（M300/W600）s，鋪層角為（0°/90°）s，共4層。

3.1收斂性驗證

取軸向運動速度νx=200 m/s，沖擊荷載峰Pm= 3.447 MPa，相位持續時間tp=0.1 s，試函數［2-4］

取M=1，2，4，8，16，N=1，用Runge-Kutta法對式（12）進行求解，驗證M變化時結果的收斂性，圖3給出了板在（0.25 a，0.25 b）處的橫向位移的峰值隨M變化的規律。

圖3　橫向位移的峰值隨M變化的規律（νx=200 m/s， tp=0.1s， Pm=3.447 MPa）

取M=1，N=1，2，4，8，16，驗證N變化時結果的收斂性，圖4給出了板在（0.25 a，0.25 b）處的橫向位移的峰值隨M變化的規律。

圖4　橫向位移的峰值隨M變化的規律（νx=200 m/s， tp=0.1s， Pm=3.447 MPa）

圖3中M=1時的峰值與M=16時的峰值相差16%，圖4中N=1時的峰值與N=16時的峰值相差0.04%，可認為沒有變化，故M可取16，N取1。有理由推出，不考慮速度項，由圖4，可取M=N=1，這與文獻［2-4］M和N的取值相同，故無需驗證M=2時，N= 1，2，4，8，16和其他類似情況的峰值變化規律。

3.2有限元驗證

將M=16、N=1的結果與有限元軟件LS-DYNA的結果進行對比。圖5給出了板在（0.25a，0.25b）處的橫向位移隨時間變化的規律，可見二者結果基本一致，說明本方法有效。

3.3軸向速度vx的影響

圖6為軸向速度為νx、2νx、4νx時層合板動力學響應。可見，因陀螺效應，產生速度阻尼，所以速度越大，響應的幅值越小。

3.4沖擊荷載峰值Pm的影響

圖7為沖擊荷載峰值為Pm、2Pm、Pm時層合板動力學響應。顯而易見，增加峰值使幅值和頻率變大。

圖5　橫向位移的峰值隨M變化的規律（νx=200 m/s， tp=0.1s， Pm=3.447 MPa）

圖6　軸向運動速度對板橫向位移影響（tp=0.1 s， Pm=3.447 MPa， νx=50 m/s）

圖7　沖擊荷載峰值對板橫向位移的影響（νx=200 m/s， tp=0.1 s， Pm=3.447 MPa）

3.5相位持續時間tp的影響

圖8為相位持續時間分別為tp、2tp、4tp時層合板的響應。可見，相位持續時間tp越長，沖擊荷載作用的時間越長，從而使幅值越大。

4　結語

基于單層材料本構關系及大變形理論，得到軸向運動層合板非線性動力學方程。用Galerkin法得到層合板動力學響應，結論如下：

因陀螺效應，產生速度阻尼，幅值隨著速度增大而增大；沖擊荷載峰值越大，響應頻率越大，幅值越大；相位持續時間tp越長，沖擊荷載作用的時間越長，幅值越大。

圖8　相位持續時間對板橫向位移的影響（νx=200 m/s， Pm=3.447 MPa， tp=0.005 s）

［1］AARON D G，FREDERICK H G.Dynamic analysis of an explosively loaded hinged rectangular plate［J］.Computer and Structures，1987，26:339-344.

［2］ZAFER K.Nonlinear damped vibrations of a laminated composite plate subjected to blast load［J］.American Institute of Aeronautics and Aastronautics Journal，2006，44:2002-2008.

［3］ZAFER K.Nonlinear dynamic behavior of simply supported laminated composite plates subjected to blast load［J］. Journal of Sound and Vibration，2008，317:883-897.

［4］ ZAFER K.Dynamic response of composite sandwich plates subjected to time-dependent press［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics，2011，46:807-817.

［5］SCHIFFER A，TAGARIELLI V L.The dynamic response of composite plates to underwater blast theoretical and numerical modelling［J］.International Journal of Impact Engineering，2014，70:1-13.

［6］DEMET B，ZAHIT M.Nonlinear dynamic behavior of viscoelastic sandwich composite plates under non-uniform blast load:Theory and experiment［J］.International Journal of Impact Engineering，2014，72:85-104.

［7］曾誠，華宏星.非線性橡膠隔振器的沖擊響應特性研究［J］.噪聲與振動控制，2012，32（4）：20-24.

［8］劉金堂，楊曉東，張宇飛.軸向運動大撓度板的非線性動力學行為［J］.工程力學，2011，28（10）：58-64.

［9］李映輝，呂海煒，李中華.軸向運動黏彈性夾層板非線性動力穩定性分析［J］.重慶理工大學學報，2012，26（12）：16-20.

［10］李中華，李映輝.軸向運動黏彈性夾層板的多模態耦合橫向振動［J］.復合材料學報，2012，29（3）：219-225.

［11］沈關林.復合材料力學［M］.北京：清華大學出版社，2006：50-99.

Nonlinear Dynamic Response of Laminated Plates with Axial Motion Subjected to Impact Load

YANG Zhang-shi，QINYing，LI Ying-hui

（School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The nonlinear dynamic response of laminated plates with axial motion subjected to impact load is studied.Firstly，based on the constitutive relation of the material of each layer and large deformation theory，the nonlinear dynamical equation of the plates is obtained.Then，the modal equations are gained through Galerkin method and solved by Runge-Kutta method.Finally，the effects of axial motion velocity，the peak reflection pressure，the positive pressure phase duration of the impulse on the nonlinear dynamic response are investigated.

acoustics；impact load；axial motion；laminated plate；geometric nonlinearity

O422.6

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.004

1006-1355（2016）04-0021-03+37

2016-01-04

國家自然科學基金資助項目（11372257）

楊樟世（1990-），男，浙江省湖州市人，碩士研究生，研究方向為動力學與控制。E-mail:yinghui.li@swjtu.edu.cn