對(duì)水火箭發(fā)射速度和射程的理論研究

廖立楊　楊曉冬

(1廣東梅縣東山中學(xué)，廣東 梅州　514015；2嘉應(yīng)學(xué)院物理與光信息科技學(xué)院，廣東 梅州　514015)

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對(duì)水火箭發(fā)射速度和射程的理論研究

廖立楊1楊曉冬2

(1廣東梅縣東山中學(xué)，廣東 梅州514015；2嘉應(yīng)學(xué)院物理與光信息科技學(xué)院，廣東 梅州514015)

本文利用功能原理及理想氣體絕熱方程，推導(dǎo)獲得水火箭發(fā)射初始速度、噴水時(shí)間以及射程的表達(dá)式.利用上述表達(dá)式對(duì)水火箭發(fā)射的初始速度、噴水時(shí)間及射程進(jìn)行了理論計(jì)算，并對(duì)水火箭內(nèi)盛裝水的體積和發(fā)射角度的最佳值進(jìn)行了理論計(jì)算與研究.

水火箭;功能原理;理想氣體絕熱方程;初始速度

水火箭是備受廣大中學(xué)生喜愛的科技制作.近年來，水火箭比賽在許多中學(xué)廣受歡迎，開展得如火如荼[1-5].目前有關(guān)水火箭的文獻(xiàn)報(bào)道主要采用實(shí)驗(yàn)方法，對(duì)水火箭射程及結(jié)構(gòu)改進(jìn)進(jìn)行了研究，而對(duì)于水火箭發(fā)射過程缺乏較為詳細(xì)的定量理論分析，缺乏對(duì)水火箭發(fā)射初速度及射程進(jìn)行理論計(jì)算的方法及相關(guān)理論.本文對(duì)水火箭的發(fā)射初速度、射程及噴水時(shí)間的進(jìn)行較為詳細(xì)的理論分析與研究，以獲得水火箭的發(fā)射初速度、射程及噴水時(shí)間理論表達(dá)式.

1　水火箭發(fā)射理論分析

圖1　水火箭結(jié)構(gòu)示意圖

水火箭結(jié)構(gòu)如圖1所示，在可樂瓶?jī)?nèi)灌入一定量的水并封閉一定質(zhì)量的空氣.發(fā)射時(shí)，利用打氣筒不斷充入空氣，當(dāng)壓力超過橡皮塞能與瓶口間的最大摩擦力時(shí)，瓶口與橡皮塞脫離，壓縮空氣把水從火箭尾部的瓶口向后高速噴出，水火箭依靠噴射水的反沖力，在短時(shí)間內(nèi)獲得較高的發(fā)射速度，之后靠慣性在空中滑翔飛行.為減小水火箭在飛行過程中的空氣阻力，在水火箭前端通常固定尖狀導(dǎo)流罩，同時(shí)在水火箭前端固定沙袋配重來提高水火箭重心，以保證水火箭平穩(wěn)飛行.

2.1水火箭發(fā)射初速度理論研究

為研究水火箭發(fā)射初速度，我們利用功能原理建立水火箭發(fā)射過程的運(yùn)動(dòng)方程.為簡(jiǎn)便計(jì)，我們還將忽略一些次要因素.首先，由于瓶體的截面積比瓶口面積大較多，瓶?jī)?nèi)水相對(duì)瓶體的速度遠(yuǎn)小于水的噴出速度，同時(shí)也遠(yuǎn)小于瓶體運(yùn)動(dòng)速度，所以忽略瓶?jī)?nèi)水的速度，認(rèn)為瓶?jī)?nèi)水與瓶體具有相同的運(yùn)動(dòng)速度；同時(shí)彈體較重、速度不太快，空氣阻力也忽略.

圖2　水火箭發(fā)射工程示意圖

圖2(a)為瓶?jī)?nèi)水噴射過程中，t時(shí)刻水火箭示意圖，設(shè)該時(shí)刻水火箭總體質(zhì)量為m，瓶體質(zhì)量為m0，水火箭的發(fā)射速度為u，瓶?jī)?nèi)液面高度為h，瓶?jī)?nèi)氣體壓強(qiáng)為p，瓶外大氣壓強(qiáng)為pm.在瓶?jī)?nèi)氣體及外界大氣壓力作用下，設(shè)dt時(shí)間微元內(nèi)，體積為dV，質(zhì)量為dm的水噴出瓶口，其相對(duì)地面的噴射速度為v，同時(shí)在反沖力的作用下，水火箭發(fā)射速率增加du，如圖2(b)所示.假設(shè)瓶?jī)?nèi)水為理想流體，根據(jù)功能原理，dt時(shí)間內(nèi)，水火箭機(jī)械能增量可表示為

(1)

(2)

設(shè)噴水過程中，水相對(duì)于瓶體的噴射速度為vr，則式(2)可表示為

(3)

在上述噴水發(fā)射過程中，瓶?jī)?nèi)氣體對(duì)水的壓力為內(nèi)力，水火箭所受重力為外力.若水火箭使用體積為1.25L的可樂瓶，其瓶體直徑為9cm，設(shè)瓶?jī)?nèi)氣體壓強(qiáng)為3倍標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(實(shí)驗(yàn)表明，水火箭瓶?jī)?nèi)可承受最大氣壓值可達(dá)10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)氣壓)，此時(shí)瓶?jī)?nèi)的壓力約為2400N，而水火箭所受重力約為10N，因此在水火箭噴射過程中，系統(tǒng)所受重力可忽略，整個(gè)噴水發(fā)射過程動(dòng)量守恒，則可得：

(4)

將式(4)展開可得：

(5)

將式(5)代入式(4)并展開可得：

(6)

式(6)中，水火箭噴射水的與瓶氣內(nèi)體體積變化量dV間滿足：

(7)

將式(5)、(7)代入式(6)可得：

(8)

利用分離變量法，根據(jù)式(8)，可將水火箭在噴水過程中所獲得的發(fā)射速度表示為

(9)

上式中，積分變量為發(fā)射過程中，噴出水的質(zhì)量.積分上限中，m0為瓶?jī)?nèi)水噴射完后瓶體的質(zhì)量，M為水火箭初始時(shí)刻質(zhì)量，其值應(yīng)為噴射水的總質(zhì)量與m0之和.由于發(fā)射時(shí)間較短，且瓶體隔熱性較好，瓶?jī)?nèi)氣體在膨脹過程中無法與外界完成熱交換，因此可認(rèn)為在噴水過程中，瓶?jī)?nèi)氣體做絕熱膨脹.下面我們將利用理想氣體狀態(tài)方程，對(duì)式(9)做變量變換，以便利用數(shù)值法對(duì)式(9)進(jìn)行求解.設(shè)瓶體的容積為V0，在噴水過程的初始時(shí)刻，瓶?jī)?nèi)氣體壓強(qiáng)為p0，瓶?jī)?nèi)水的體積為k0V0，0

(10)

式中，0≤k

(11)

設(shè)噴水過程中，任意時(shí)刻壓強(qiáng)為p，由式(10)、式(11)及理想氣體絕熱方程可得：

(12)

上式中，γ為空氣的比熱容比，其值為7/5.對(duì)式(12)變形可得：

(13)

式(13)中，壓強(qiáng)p為k的函數(shù).在噴水過程中，任意時(shí)刻瓶?jī)?nèi)水的質(zhì)量可表示為

(14)

在噴水過程的初始時(shí)刻，瓶?jī)?nèi)水的質(zhì)量為

(15)

由式(14)及式(15)可得噴水過程中，任意時(shí)刻水火箭的質(zhì)量為

(16)

由于dt時(shí)間內(nèi)噴射水的質(zhì)量與dt時(shí)間內(nèi)水火箭質(zhì)量變化量相同，所以dt時(shí)間內(nèi)噴射水的質(zhì)量可表示為

(17)

將式(13)、(15)、(16)、(17)代入式(9)可得：

(18)

由式(18)可以看出，水火箭發(fā)射初始速度u主要取決于水火箭初始時(shí)刻腔內(nèi)氣體壓強(qiáng)p0、初始時(shí)刻水火箭內(nèi)水體積與可樂瓶體積的比值k0以及水火箭噴水完畢后水火箭的質(zhì)量m0.其中瓶?jī)?nèi)初始?xì)怏w壓強(qiáng)p0主要由瓶塞與瓶體間摩擦力大小決定，實(shí)驗(yàn)表明，其值可達(dá)1000kPa；理論上說，水火箭噴水完畢后水火箭的質(zhì)量m0其值越小，噴水過程中所獲得的加速度就越大，最后獲得的發(fā)射速度也越大，但在實(shí)際發(fā)射過程中，為了保證火箭在空中不翻滾，須在其前端艙內(nèi)加沙作為配重，所以其值也不可能太小; k0是發(fā)射者能夠靈活控制的重要參數(shù).為了研究k0對(duì)于水火箭發(fā)射初速度的影響，設(shè)m0=0.3kg，V0=0.125L，外界氣壓pm=100kPa，利用式(18)，我們分別計(jì)算初始?jí)簭?qiáng)p0為550kPa、700kPa、800kPa、1000kPa時(shí)，水火箭發(fā)射初速度u隨k0變化曲線，計(jì)算結(jié)果如圖3所示.從圖3可以直觀看出，在壓強(qiáng)p0固定的條件下，當(dāng)k0為某一最佳值時(shí)，水火箭發(fā)射初速度u最大.表1為根據(jù)式(18)計(jì)算所得，在不同初始?jí)簭?qiáng)p0下，水火箭發(fā)射速度u最大所對(duì)應(yīng)k0最佳值，同時(shí)也計(jì)算了u的最大值.從圖3及表1可直觀看出，隨著初始?jí)簭?qiáng)p0的增大，k0最佳值逐漸增大，且k0最佳值的變化范圍并不大，當(dāng)p0在550～1000kPa范圍內(nèi)，k0最佳值在0.46～0.5之間.

圖3　水火箭發(fā)射初速度u隨k0變化曲線

p0/kPa5506007008009001000k00.460.470.480.490.490.50u/(m·s-1)22.523.926.629.131.433.5

2.2水火箭噴水時(shí)間理論研究

噴水過程所需要時(shí)間表達(dá)式可由下列步驟推導(dǎo)：設(shè)瓶口的面積為S，則dt時(shí)間內(nèi)，噴射水的體積為

(19)

根據(jù)式(11)，dt時(shí)間內(nèi)瓶?jī)?nèi)氣體體積變化量dV可表示為：

(20)

由(21)、(22)兩式可得：

(21)

由(6)、(7)兩式可得：

(22)

根據(jù)(13)、(21)、(22) 3式可得：

(23)

由式(25)可得，噴水過程所需時(shí)間為

(24)

利用式(24)，我們采用數(shù)值計(jì)算的方法，分別計(jì)算了水火箭初始?jí)簭?qiáng)為550kPa、600kPa、700kPa、800kPa、900kPa及1000kPa時(shí)，發(fā)射過程的噴水時(shí)間，計(jì)算過程中，設(shè)瓶口瓶嘴的直徑1.5cm，對(duì)應(yīng)的面積為0.99cm2,瓶的容積為1.25L，瓶體直徑約為9cm，瓶體直徑為瓶口直徑的6倍，其橫截面面積為瓶口面積的36倍，所以瓶?jī)?nèi)水相對(duì)瓶體速度應(yīng)為瓶口噴水速度的1/36.k0為表1所給出的上述壓強(qiáng)下的最佳值，計(jì)算結(jié)果如表2所示.從計(jì)算結(jié)果可看出，隨著初始?jí)簭?qiáng)增大，噴水時(shí)間逐漸降低.

噴水過程中,瓶口水的平均噴射速度可以表示為

(25)

式中，d1為瓶口直徑，瓶?jī)?nèi)水的平均流動(dòng)速度可以表示為

(26)

表2　不同壓強(qiáng)對(duì)應(yīng)水火箭的噴水時(shí)間、相對(duì)瓶體噴水

表3　水火箭在不同初始?jí)簭?qiáng)下的射程

2.3水火箭射程計(jì)算

設(shè)水火箭以與地面為θ的發(fā)射角向遠(yuǎn)處發(fā)射，忽略空氣阻力，其運(yùn)動(dòng)可分為：噴水發(fā)射與斜拋運(yùn)動(dòng).其中第一階段噴水發(fā)射過程可分解為在噴射水反沖力作用下，沿與地面夾角為θ方向的變加速直線運(yùn)動(dòng)與自由落體運(yùn)動(dòng)的合成，當(dāng)噴水過程結(jié)束時(shí)，水火箭沿水平方向與豎直方向的速度可表示為

(27)

(28)

式中ux為噴射結(jié)束時(shí)水平，uy為噴射結(jié)束時(shí)豎直方向的速度，u為噴射結(jié)束時(shí)的速度，其值可由式(18)計(jì)算獲得.水火箭噴射過程上升高度可表示為：

(29)

(30)

噴射過程完成后，斜拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(31)

式中t為水火箭完成整個(gè)斜拋運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間，由式(31)可得

(32)

水火箭發(fā)射的總射程可表示為

(33)

將式(27)、(28)、(30)、(31)代入式(33)并展開得：

(34)

上式中，不同壓強(qiáng)下的發(fā)射初速度u可由式(18)求得，噴水所用時(shí)間t0可由式(24)求得.利用式(34)，我們計(jì)算瓶的體積V0=1.25L，噴口直徑為1.5cm，瓶體直徑為9cm，k0=0.5，m0=0.3kg，發(fā)射角度為45°時(shí)，水火箭在不同初始?jí)簭?qiáng)下的射程.計(jì)算結(jié)果如表3所示.

由表3可見，隨著初始?jí)簭?qiáng)增大，射程逐漸增大；平均而言，壓強(qiáng)較大時(shí)，射程隨壓強(qiáng)增大而增大的速率更快.利用式(34)，我們又計(jì)算了初始?jí)簭?qiáng)p0=550kPa時(shí)，水火箭在不同發(fā)射角度下的射程.計(jì)算結(jié)果如表4所示.

表4　水火箭在不同發(fā)射角度下的射程

從表4可以直觀看出，由于考慮了噴水過程水火箭的射程，水火箭發(fā)射的最佳角度約為47°，并非普通平拋運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的45°.

3　結(jié)語

通過對(duì)水火箭發(fā)射過程的理論研究，獲得水火箭發(fā)射初速度、噴水時(shí)間及射程計(jì)算公式，并利用上述公式對(duì)水火箭的發(fā)射初速度、噴水時(shí)間及射程進(jìn)行了理論計(jì)算.上述理論研究結(jié)論對(duì)于水火箭的設(shè)計(jì)及結(jié)構(gòu)優(yōu)化具有一定的指導(dǎo)意義.

[1]方紅霞.關(guān)于水火箭水平射程的實(shí)驗(yàn)探究[J].物理實(shí)驗(yàn)，2011(12):17-19.

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THEORETICALINVESTIGATIONOFTHELAUNCHINITIALVELOCITYANDTHELAUNCHDISTANCEFORTHEWATERROCKET

LiaoLiyang1YangXiaodong2

(1GradeThree,TungshunMiddleSchool,Meizhou,Guangdong514015；2SchoolofPhysicsandOpticalInformationTechnology,JiayingCollege,Meizhou,Guangdong514015)

Accordingtotheprincipleofworkandenergyandidealgasadiabaticequation,theexpressionsoftheinitialvelocity,thetimeofjettingwater,andthelaunchdistanceofwaterrocketarededuced.Basedontheexpressions,theinitialvelocity,thetimeofjettingwater,andthelaunchdistanceofwaterrocketarecalculatedtheoretically.Optimumvolumeofwaterinthewaterrocketandthebestlaunchanglearealsoinvestigated.

waterrocket;principleofworkandenergy;idealgasadiabaticequation;initialvelocity

2015-10-01；

2015-10-24

廖立楊，男，廣東梅縣東山中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生，2014年獲第三十一屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽三等獎(jiǎng)，2015年獲第三十二屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽一等獎(jiǎng).

引文格式: 廖立楊,楊曉冬. 對(duì)水火箭發(fā)射速度和射程的理論研究[J]. 物理與工程，2016，26(3)：82-86.