樣條曲線構建優化技術的研究*

趙東宏　盧章平

(①江蘇大學機械工程學院，江蘇 鎮江212013；②揚州工業職業技術學院，江蘇 揚州 225127)

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樣條曲線構建優化技術的研究*

趙東宏①②盧章平①

(①江蘇大學機械工程學院，江蘇 鎮江212013；②揚州工業職業技術學院，江蘇 揚州 225127)

針對樣條插值擬合精度差、光順度不夠理想的問題，開發適應性更好的樣條曲線構建技術，其中“多段圓弧式光順曲線”法吸收了圓弧曲率光順的優點，與三次、五次樣條插值后光順的常用方式相比，“多段圓弧式光順曲線”的曲率連續性好，逼近誤差小，有效控制了數控加工中的刀軌波動；“橋接曲線光順”法在保留橋接曲線操作方便優點的同時，顯著提高了曲線的光順度，在工業設計、逆向工程和數字化制造領域具有較大的實用價值。

自由曲面；樣條插值；擬合精度；橋接曲線

在工業設計中，構建樣條曲線是非常重要的基礎性工作，如何以最小的逼近誤差獲得光順的自由曲線是樣條曲線擬合過程中的重點和難點問題[1-3]。

構建樣條曲線有多種方法，如各種樣條插值與逼近方法,用來擬合曲面的特征曲線(如邊界曲線、截面曲線、輪廓曲線等)。目前主流的CAD軟件中常用“通過點”、“根據極點”和“擬合樣條”等方式構建樣條曲線。其中“通過極點”無法精確通過已有的存在點，但容易獲得曲率變化較小的光順曲線，一般適用于正向概念設計；“通過點”是最基本的曲線擬合方式，可以很精確地通過存在點，但曲率變化通常比較劇烈；“擬合樣條”自動化程度高但逼近誤差偏大[4-6]。

本文以樣條曲線為研究對象，針對樣條插值擬合精度差、光順度不夠理想的常見問題，開發適應性更好的樣條曲線構建技術。

1　樣條曲線擬合方法的研究

1.1目前常用的曲線擬合法

1.1.1“通過點”曲線擬合

“通過點”是基本的曲線擬合方式，本文以空間復雜曲線(即樣條曲率在數值和方向上的變化都比較大)為例進行研究。如圖1所示的是最常用的三階次“通過點”樣條曲線，其逼近誤差為0，但曲率變化波動大，曲率突變點較多。

圖2所示的是五階次“通過點”樣條曲線，曲率變化更加劇烈，曲線光順度很差，在實際應用中價值不大。

1.1.2“過點光順法”曲線擬合

在實際應用中為獲得高質量的NURBS曲線，應該綜合考慮曲線光順度與逼近誤差兩方面的因素，因此主流CAD軟件都有“光順樣條”功能，可以對“通過點”曲線進行后續的光順優化，以增大逼近誤差為代價改善樣條曲線的光順度，但在實踐中存在曲線光順后逼近誤差比較大的問題。圖3所示的是三次“通過點”曲線光順后的曲率梳圖，圖4所示的是相對應的逼近誤差測量值。

圖5所示的是對五次“通過點”曲線光順后的曲率梳圖，圖6所示的是逼近誤差測量值。

曲線階次越大，形狀越復雜，局部變化就越大。由曲線誤差分析可知，相對三次曲線，五次曲線局部的曲率波動比較嚴重，曲線光順需要更大的逼近誤差。

由于階次越大，曲線形狀的控制難度也越大，工業設計中通常盡可能采用小階次曲線如三次和五次樣條，其中三次樣條曲線算法簡單、逼近誤差小，應用非常廣泛，而五次樣條的優點是容易達到更高階的連續性、更高的收斂性，目前在數控加工中的應用也越來越廣泛[7-8]。

1.2多段圓弧式光順曲線擬合法

由計算機圖形學可知，樣條曲線的曲率光順度無法超過圓弧曲線，多段圓弧式光順曲線吸收了圓弧曲率光順的優點，采用分段擬合集中光順的技術思路。具體的構建算法如下：

(1)如圖7所示，將相鄰三個插值點擬合為一段圓弧(在曲率平坦處單段圓弧的擬合點可多于三點)，可見每段圓弧的曲率變化非常光順，但每段圓弧之間只能達到G0連續。

(2)如圖8所示，對所有的圓弧曲線執行“光順曲線串”命令，其中“連續性”選擇G2，勾選“添加過渡圓角”，合并“所有曲線”即合并所有的小圓弧為單一曲線。

(3)在設置模塊中勾選“高級曲線擬合”選項，在“方法”中選擇 “樣條次數與公差”，“次數”一般選擇3次或5次，“最大偏差”應根據插值點的質量和分布情況選取，以能獲得光順曲線的最小偏差值為基準。本例中“最大偏差”選擇0.25 mm即可獲得光順的樣條曲線。

由以上測量和分析可知：與三次和五次樣條相比，在達到相同光順效果情況下，多段圓弧式光順曲線在“最大距離誤差”和“平均距離誤差”等關鍵指標方面都有較大的優勢，擬合精度明顯提高(如表1所示)。

表1曲線擬合誤差的對比

光順效果最大距離誤差/mm平均距離誤差/mm三次“通過點”曲線差00五次“通過點”曲線差00三次“通過點”光順曲線好0.4480.209五次“通過點”光順曲線好1.0860.526多段圓弧式光順曲線好0.2120.052

2　橋接曲線光順技術

在曲面的構建過程中，兩條曲線之間有間隙的情況很常見，“橋接曲線”命令可以很方便地創建兩條曲線的連接曲線，并保證連接曲線與原來曲線之間的光順性約束(G1，G2)。圖11所示的是兩條不相連樣條曲線以G1約束橋接的情況，可見曲率不連續，曲線連接質量較差；圖12所示的是以G2約束橋接的情況，顯然G2橋接曲線質量較高，但就整體而言曲線的光順度仍不夠理想，這種情況在橋接曲線過程中非常普遍，直接影響了曲線的擬合質量。

為解決這一曲線擬合過程中的瓶頸問題，對圖11中的三段曲線執行圖8中的“光順曲線串”命令，在“最大偏差”設置為0.15 mm時，可獲得圖13所示的光順擬合曲線。

對圖12中的三段曲線執行“光順曲線串”命令，當“最大偏差”設置為0.05 mm時，即可獲得光順的擬合曲線(圖14所示)，顯然對“光順曲線串”命令而言，原始曲線質量越好，其光順誤差也越小。

3　結語

(1)樣條曲線構建是自由曲面設計中的難點問題，針對樣條插值擬合精度差、光順度不夠理想的問題，提出了“多段圓弧式光順曲線”，吸收了圓弧曲率光順的優點，與三次、五次樣條插值后光順的常用方式相比，“多段圓弧式光順曲線”連續性好，逼近誤差小，有效控制了數控加工中的刀軌波動。

(2)“橋接曲線光順”法在保留“橋接曲線”操作方便優點的同時，顯著提高了樣條曲線整體的光順度，為曲線之間的光順過渡提供了新的手段。

(3)通過幾百個不同類型復雜曲線的軟件模擬，結果證明“多段圓弧式光順曲線”法和“橋接曲線光順”法能有效提高樣條曲線的擬合精度和光順度，在工業設計、逆向工程和數字化制造領域具有較大的實用價值。

[1]江本赤，韓江，夏鏈．B樣條曲線逼近偏差的精確求解算法[J]．制造技術與機床，2015(7)：67-71.

[2] Les Piegl,Wayne Tiller．非均勻有理B樣條[M].北京：清華大學出版社，2010.

[3] 徐進，柯映林，曲巍崴 . 基于特征點自動識別的B樣條曲線逼近技術 [J]. 機械工程學報, 2009,45(11)：212-217.

[4] 程仙國，劉偉軍，張鳴 . 特征點的B樣條曲線逼近技術 [J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2011,23(10)：1714-1718.

[5] Piecl L A，Tiller W . Least-square B-spline curve approximation with arbitrary end derivatives [J]Engineering with Computers, 2000,16(2)：109-116.

[6] 趙世田，趙東標，付瑩瑩 . 測量數據點的高精度B樣條曲線擬合算法[J].計算機集成制造系統，2010，16(8)：1714-1718．

[7]王烈，廖小平.基于矩陣的NURBS曲線建模及其生成算法[J]．現代制造工程，2007(2)：31-33．

[8]田錫天，楊海成.Fichtner 五次插值樣條在NC過程鏈中的應用研究[J]．機械科學與技術，2002，23(11)：75-77.

(編輯譚弘穎)

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Study on spline curve constructing optimization technology

ZHAO Donghong①②,LU Zhangping①

(①School of Mechanical Engineering,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,CHN; ②Yangzhou Polytechnic Institute,Yangzhou 225127,CHN)

This paper is against the issue on poor fitting accuracy and insufficient smoothness of spline fitting. More adaptive spline curve constructing technology is developed, of which "multi-arced smooth curve" merges the advantage of arc curvature fairing. Compared with common fairing after cubic or quintic spline interpolation, "multi-arced smooth curve" has more curvature continuity and less approximation error and effectively control the tool path fluctuation during CNC machining. "Bridging smooth curve" not only makes bridging curve easy to operate, but also significantly improves the smoothness of the curve. In industrial design, reverse engineering and digital manufacturing, the method has great practical value.

freeform； spline interpolation；fitting accuracy；bridging curve

TH164

A

10.19287/j.cnki.1005-2402.2016.08.011

趙東宏，男，1967年生，博士生，副教授、高級工程師，長期從事數字化設計與制造方面的工作，在工業設計和軟件編程方面具有多年一線工作經驗，已發表專業論文十余篇，擁有發明專利6項和實用新型專利6項。

2016-03-29)

160822

* 教育部博士點基金項目: “基于意向認識的產品創新設計與評價方法研究”( 20113227110007)