高速電主軸臨界轉(zhuǎn)速及其影響*

孟憲紅　安曉東　劉雙行　石惠寧

(①北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191；②中石油華北油田公司第二采油廠，河北 霸州 065700；③中石油華北油田公司，河北 任丘 062552)

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高速電主軸臨界轉(zhuǎn)速及其影響*

孟憲紅①安曉東①劉雙行②石惠寧③

(①北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191；②中石油華北油田公司第二采油廠，河北 霸州 065700；③中石油華北油田公司，河北 任丘 062552)

基于對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的傳遞矩陣法和有限元法理論分析，建立了高速電主軸轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)計(jì)算模型。分別利用數(shù)值仿真軟件編程計(jì)算和試驗(yàn)測(cè)量獲得系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速值。結(jié)果表明該建模合理，理論計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性較高，計(jì)算可靠。通過對(duì)彈性支承、圓盤的回轉(zhuǎn)效應(yīng)及阻尼等影響臨界轉(zhuǎn)速的因素分析，為電主軸設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

高速電主軸；臨界轉(zhuǎn)速；傳遞矩陣法；有限元法

高速機(jī)床能夠顯著地提高生產(chǎn)率、降低生產(chǎn)成本和提高產(chǎn)品加工質(zhì)量，是制造業(yè)發(fā)展的重要趨勢(shì)。高速電主軸作為高速機(jī)床的核心部件，實(shí)現(xiàn)了機(jī)床的“零傳動(dòng)”結(jié)構(gòu)，其性能的好壞很大程度上決定了整臺(tái)機(jī)床的精度與效率[1]。

由于高速電主軸結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，能實(shí)現(xiàn)很高的速度和加速度，國內(nèi)外高速電主軸轉(zhuǎn)速均已達(dá)到十萬轉(zhuǎn)以上[2]。該轉(zhuǎn)速完全能夠滿足現(xiàn)代加工需求，然而，在實(shí)際使用中，由于加工載荷和機(jī)床環(huán)境條件比較復(fù)雜，影響臨界轉(zhuǎn)速的因素較多，極大地限制了轉(zhuǎn)速的提高。因此，高速電主軸臨界轉(zhuǎn)速特性是其動(dòng)態(tài)性能的一個(gè)重要指標(biāo)。

高速電主軸的臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算大多采用傳遞矩陣法和有限元法。朱金虎等[3]基于傳遞矩陣法對(duì)高頻磨削電主軸進(jìn)行臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算，分析了預(yù)加負(fù)荷及砂輪組件的影響。文獻(xiàn)[4-6]采用有限元法分別對(duì)高速電動(dòng)機(jī)磁力軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、高速永磁電動(dòng)機(jī)機(jī)組軸系的臨界轉(zhuǎn)速進(jìn)行分析計(jì)算。王美令等[7]提出一種連續(xù)梁模型的計(jì)算轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的方法。以上對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算方法均較單一，本文基于傳遞矩陣法和有限元法對(duì)同一電主軸計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速，對(duì)比其計(jì)算結(jié)果，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證。分析支承剛度、回轉(zhuǎn)效應(yīng)和阻尼等參數(shù)對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響，為電主軸的動(dòng)態(tài)性能設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1　電主軸模型的建立

電主軸系統(tǒng)主要由電動(dòng)機(jī)、軸承、外殼、聯(lián)軸器、冷卻系統(tǒng)和附屬配件組成，核心部分為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子定子、軸承及冷卻系統(tǒng)。某高速電主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

高速電主軸臨界轉(zhuǎn)速只研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)及軸承等約束條件。因此將其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)單獨(dú)提取，并根據(jù)理論計(jì)算分段原則，一般從中心、變截面等處將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分為如圖2所示的14段。

如圖在節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)9和節(jié)點(diǎn)10分別采用雙角接觸球軸承背對(duì)背布置。節(jié)點(diǎn)3～7和11～15段直徑較大，分為4個(gè)圓盤。電主軸材料屬性：E=2.1×1011Pa，μ=0.3，ρ=7 800 kg/m3。各軸段、圓盤以及軸承參數(shù)如表1、表2所示。

表1　集中質(zhì)量及圓盤參數(shù)

表2　軸承剛度參數(shù)

2　臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算的理論基礎(chǔ)

2.1Riccati傳遞矩陣法

傳遞矩陣法的優(yōu)點(diǎn)是矩陣維數(shù)不隨系統(tǒng)自由度的增加而增大。同時(shí)能考慮支撐彈性、陀螺力矩、變截面等因素[8]。

傳遞矩陣計(jì)算需將質(zhì)量連續(xù)分布的實(shí)際轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化成一系列集中質(zhì)量和剛性圓盤，并用無質(zhì)量的彈性軸段相互連接的轉(zhuǎn)子模型。

轉(zhuǎn)子模型每段左邊的狀態(tài)參量可通過傳遞矩陣依次表示為右端的狀態(tài)參量如式(1)。

(1)

式中：y、θ、M、Q為狀態(tài)參量；Ti為傳遞矩陣。

Riccati傳遞矩陣法通過引入式(2)的Riccati變換[9]，把微分方程式的兩點(diǎn)邊值問題變換為一點(diǎn)初值問題，改善了傳統(tǒng)方法由于個(gè)別段參數(shù)數(shù)值不協(xié)調(diào)造成矩陣病態(tài)或奇異而導(dǎo)致數(shù)值失穩(wěn)的缺陷，提高了傳遞矩陣的穩(wěn)定性。

fi=Siei

(2)

狀態(tài)參量關(guān)系可寫成

(3)

通過式(2)、式(3)得到S關(guān)于傳遞矩陣的遞推公式

(4)

通常，高速電主軸左右兩端為自由端，即有邊界條件f1=0,e1≠0；fn=0,en≠0。代入式(2)可得

fn=Snen=0

(5)

式(5)有非零解的條件為剩余量值為零

(6)

滿足式(6)所有的方程組的根的轉(zhuǎn)速即為所求的臨界轉(zhuǎn)速。

2.2有限元法

確定圓盤、軸段的動(dòng)能T和應(yīng)變能U，應(yīng)用拉格朗日方程建立各運(yùn)動(dòng)微分方程[10]。通過組裝各單元矩陣，合并圓盤與軸段的運(yùn)動(dòng)微分方程，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

(7)

軸承系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制方程[8]

(8)

將兩個(gè)系統(tǒng)合并在一起，得到轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

(9)

(10)

式(10)中矩陣的特征值和特征向量為對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的固有頻率和振型。特征值λk=αk±jωk，由于陀螺效應(yīng)的作用，ωk隨轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速Ω的變化而變化，變化曲線與方程ωk=Ω的交點(diǎn)為轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。

3　理論計(jì)算與試驗(yàn)

3.1理論計(jì)算結(jié)果

基于MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)Riccati傳遞矩陣法計(jì)算，其剩余量值關(guān)于轉(zhuǎn)速的變化如圖3所示。

從圖3中可知，計(jì)算程序在15 000 r/min的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)搜索到一個(gè)根，為4 108 r/min。

有限元法借助ANSYS軟件編程計(jì)算。該軟件能夠考慮系統(tǒng)的質(zhì)量與慣性、陀螺效應(yīng)等。軸段采用BEAM188單元建模；軸承采用彈簧阻尼單元COMBIN14單元模擬，可輸入剛度及阻尼系數(shù)；等效集中質(zhì)量，采用MASS21單元賦值。

ANSYS中提供DAMP或QRDAMP命令求解系統(tǒng)方程的特征值和特征向量。在模態(tài)分析中使用CMOMEGA對(duì)轉(zhuǎn)子軸承組件施加轉(zhuǎn)速。得到轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的坎貝爾圖(如圖4)。

在坎貝爾圖中,臨界轉(zhuǎn)速位于正進(jìn)動(dòng)頻率曲線和等速線的交點(diǎn)處[11]。從圖中可知，在15 000 r/min范圍內(nèi)計(jì)算可得到兩個(gè)根，分別為：3 866.6 r/min和10 444.9 r/min。

3.2試驗(yàn)結(jié)果

由于轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速趨近于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)振動(dòng)急劇增加，因此采用加速度傳感器測(cè)量電主軸的臨界轉(zhuǎn)速。試驗(yàn)采用北京東方振動(dòng)與噪聲研究所的INV3020數(shù)據(jù)采集與分析系統(tǒng)，該設(shè)備擁有16路采樣通道，采樣精度為16位，頻率最低分辨率為0.009 76 Hz(圖5)。

該高速電主軸采用7通道采樣。階梯式增加電主軸轉(zhuǎn)速，待穩(wěn)定工作時(shí)，采集加速度幅值和實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率。當(dāng)在某個(gè)范圍內(nèi)加速度急劇升高時(shí)，該處趨近于臨界轉(zhuǎn)速點(diǎn)。迅速增加轉(zhuǎn)速跨過該范圍，該范圍對(duì)應(yīng)的加速度最大處的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率即為臨界轉(zhuǎn)速。測(cè)得加速度最大處的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率分別為66.543 3 Hz、183.105 Hz，對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速為3 992.6 r/min和10 986.3 r/min。

3.3理論和試驗(yàn)結(jié)果分析

將傳遞矩陣法、有限元法計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果見表3。

通過對(duì)比計(jì)算結(jié)果可知，傳遞矩陣法一階臨界轉(zhuǎn)速值與試驗(yàn)值相差為2.8%。傳遞矩陣法二階臨界轉(zhuǎn)速值“丟根”。這是由于式(4)的遞推中含有逆矩陣，使得剩余量曲線經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)異號(hào)無窮型奇點(diǎn)。剩余量曲線的根和奇點(diǎn)的位置十分接近導(dǎo)致無法搜索到根。

表3　臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果

有限元法計(jì)算的一、二階臨界轉(zhuǎn)速值與試驗(yàn)值相差分別為3.2%和4.9%。理論計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值相差均較小，因此，該工程計(jì)算可靠。在剛性轉(zhuǎn)動(dòng)下，其額定轉(zhuǎn)速可定為3 000 r/min；在柔性轉(zhuǎn)動(dòng)下，可避開4 000 r/min和10 000 r/min左右的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍。

4　影響因素分析

通常，影響臨界轉(zhuǎn)速的因素很多，轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速及其動(dòng)態(tài)特性主要取決于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)、力學(xué)性質(zhì)和軸承動(dòng)特性等。

4.1彈性支承的影響

電主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通常采用軸承與定子連接，而實(shí)際情況下，軸承總會(huì)變形。支撐系統(tǒng)相當(dāng)于彈簧，彈性變形使臨界轉(zhuǎn)速下降。

常用的軸承主要有滾動(dòng)軸承(陶瓷軸承)、流體靜壓軸承及磁懸浮軸承等。剛度相差較大，實(shí)際中可結(jié)合結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)性選擇。

針對(duì)該電主軸，從計(jì)算的支承剛度增大到剛性支承，一、二階臨界轉(zhuǎn)速基本以相同的趨勢(shì)增加6倍以上。支承剛度對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響較大。一方面提高支承剛度增大剛性轉(zhuǎn)動(dòng)的范圍；另一方面，跨臨界轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)調(diào)整剛度，使工作轉(zhuǎn)速避開臨界轉(zhuǎn)速。

4.2圓盤的回轉(zhuǎn)效應(yīng)

圓盤處于支承的非中央部位時(shí)，圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線為一圓錐面，隨著轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤的自身轉(zhuǎn)動(dòng)平面將不斷地偏移，由于圓盤的角運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了慣性力矩。通常正進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生的是一種恢復(fù)力，減小轉(zhuǎn)軸的傾角，增大了轉(zhuǎn)軸的剛度，提高臨界轉(zhuǎn)速。反進(jìn)動(dòng)則相反。

對(duì)于該工程主軸，通過坎貝爾圖可以看出，在同一頻率下引出兩條由正、反進(jìn)動(dòng)時(shí)主軸隨轉(zhuǎn)速的頻率的射線斜率較大，因此該主軸的圓盤的回轉(zhuǎn)效應(yīng)影響顯著。主要原因是該主軸由于結(jié)構(gòu)需要，部分圓盤的直徑較大。

針對(duì)圓盤的回轉(zhuǎn)效應(yīng)，在結(jié)構(gòu)允許的范圍內(nèi)，合理地設(shè)計(jì)圓盤大小、合理的布置圓盤的位置。最大限度地增加主軸臨界轉(zhuǎn)速。

4.3阻尼的影響

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)阻尼的形成主要原因有：各潤滑部位的潤滑油、散熱系統(tǒng)的導(dǎo)熱油，形成粘性阻尼，各零部件的相互配合，形成內(nèi)摩擦阻尼，各零部件在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中發(fā)生的變形能耗，形成了結(jié)構(gòu)阻尼等。

通常在固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速中，由于阻尼的影響較小，忽略了阻尼的計(jì)算精度能夠滿足要求。

表4　阻尼對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響

如表4所示，在計(jì)算中加入β阻尼(即剛度阻尼)，其結(jié)果對(duì)一、二階臨界轉(zhuǎn)速的影響很小。盡管一般情況阻尼對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響較小，但阻尼的存在意義重大，隨著對(duì)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速要求的提高，很多轉(zhuǎn)子都要在一階臨界轉(zhuǎn)速以上運(yùn)行，由于阻尼的存在，在迅速跨過臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，由于阻尼對(duì)振幅的影響明顯，使得振幅不會(huì)達(dá)到危險(xiǎn)程度。

除了上述因素的影響，還有軸承連接及裝配器件的影響，系統(tǒng)的受力狀態(tài)、工作環(huán)境等均對(duì)臨界轉(zhuǎn)速有影響。

綜上所述，影響臨界轉(zhuǎn)速的因素較多，但從主軸設(shè)計(jì)的角度，主要需考慮轉(zhuǎn)子構(gòu)件材料選擇，滿足需要前提下的結(jié)構(gòu)合理布置，軸承系統(tǒng)和散熱系統(tǒng)的設(shè)計(jì)等。材料的性能直接影響主軸剛度及其他力學(xué)性能，主軸為持續(xù)循環(huán)載荷，持續(xù)地加工易引起主軸疲勞，因此，材料的選擇影響主軸壽命。結(jié)構(gòu)的布置對(duì)臨界轉(zhuǎn)速影響也很大，主要表現(xiàn)為轉(zhuǎn)子回轉(zhuǎn)效應(yīng)和整體剛度的影響。軸承系統(tǒng)決定支承剛度，很大程度上也決定了轉(zhuǎn)子壽命。軸承潤滑油及散熱液等產(chǎn)生了轉(zhuǎn)子阻尼。

5　結(jié)語

(1)本文基于傳遞矩陣法和有限元法，建立了高速電主軸轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。分析傳遞矩陣法和有限元法計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速的理論基礎(chǔ)，利用數(shù)值仿真軟件編程實(shí)現(xiàn)了臨界轉(zhuǎn)速值的計(jì)算。

(2)通過加速度傳感器試驗(yàn)測(cè)得該高速電主軸一、二階臨界轉(zhuǎn)速值。其一階臨界轉(zhuǎn)速值分別與傳遞矩陣法和有限元法計(jì)算結(jié)果相差2.8%和3.2%，二階臨界轉(zhuǎn)速值與有限元計(jì)算結(jié)果相差4.9%。該誤差較小，能夠滿足工程需要。因此，該工程主軸轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)模型建立合理，該計(jì)算可靠。

(3)通過對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響因素分析，彈性支承的影響較大，該電主軸增大到剛性支撐時(shí)，臨界轉(zhuǎn)速增加6倍以上；圓盤的回轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響取決于結(jié)構(gòu)形式，對(duì)于該電主軸影響較大。阻尼對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響因素較小。

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Critical speeds of high speed motorized spindle and their effects

MENG Xianhong①, AN Xiaodong①, LIU Shuanghang②, SHI Huining③

(①School of Aeronautic Science and Engineering, Beihang University, Beijing 100191, CHN;②No.2 Oil Production Plant, Huabei Oilfield Company, Bazhou 065700, CHN;③Huabei Oilfield Company, Petro China, Renqiu 062552, CHN)

Based on the analysis of the transfer matrix method and the finite element method about critical speeds, the numerical model of rotor bearing system of high speed motorized spindle is established. The critical speeds of the system are determined by numerical software and experimental measurement. Results show the numerical model is reasonable, and the results of theoretical calculation are accurate. Through the analysis of the elastic support, the rotation effect of disc and the damping, the reference for the design of electric spindle is provided.

high speed electric spindle; critical speed; transfer matrix method; finite element method

TH113

A

孟憲紅，女，1971年生，博士，副教授，主要研究方向是疲勞、損傷、斷裂。

(編輯李靜)(2015-09-14)

160207

*國家自然科學(xué)基金( 11172022)