復合函數知識的設計

楊林，趙絢，李國娟運城職業技術學院基礎部；運城師范高等?？茖W校數計系

復合函數知識的設計

楊林1，趙絢2，李國娟1
1運城職業技術學院基礎部；2運城師范高等?？茖W校數計系

摘要：一般高職高專關于高等數學中復合函數知識的講解，都是先給出定義然后應用，本文對高等數學中復合函數知識進行設計。根據學生學習實際情形，采取一些相應方法、措施，目的是使學生能夠很好地理解復合函數的內容，為后面微分學、積分學知識打下堅實的基礎。作為高等數學中底層必選、必學的內容-----即常識性的知識教育的必然性，我們從結構決定功能的原理出發，過濾、重構高等數學知識體系.

關鍵詞：底層必選；過濾；重構；啟發；創新

引言

結合我院的培養目標及各專業的要求，我們認為數學課程的教學力求以應用為目的，以“基本夠用”為度，在方法、方式上，高等數學教學方法與手段改革的兩個方向需同時進行。我們在教學過程中，不僅使學生理解所學知識，而且使其了解知識的發現和形成的脈絡，更重要的是這些常識來源于解決實際問題之中，掌握這些常識最終回歸于解決實際問題，這樣以來，就能夠加強學生學習高等數學有用性的認識，從而對基本常識知識學習的積極性。本文堅持“以應用為目的，以必需、夠用為度”的原則，從目前高職學生的實際基礎和實際需要出發，在內容的取舍和闡述方法上做了大膽的探索。在分層、分類、分專業高職數學改革的思想指導下，在知識層面上，采取底層必選(高數必備知識)，中層限選(按專業方向限選)，高層自選(按學生發展方向)方式進行組織教學。主要是滿足底層必選的“應用數學”部分，也有可供選擇的部分。在分層、分類、分專業高職數學改革的思想指導下，在知識層面上采取底層必選(高數必備知識)，中層限選(按專業方向限選)，高層自選(按學生發展方向)的方式組織教學。

1、問題驅動

[問題驅動]購買嬰幼兒服裝

到了谷子孕嬰專賣店，首先服務員先問家長，孩子多大，身高多少，然后根據實際情況，建議家長買什么服裝。

[啟發引導][回歸問題]

假設孩子的年齡是x歲，身高是h厘米，在根據國家規定，可以得出孩子穿多大范圍的服裝。

由問題驅動我們可以給出復合函數的定義。

2、復合函數定義

定義已知函數y=f(u)和函數u=g(x)，若u=g(x)的全部或部分函數值在y=f(u)的定義域中，則y能通過u寫出x的函數y=f[g(x)]，稱為由y=f(u)和u=g(x)復合而成的復合函數。

說明：（1）y=f(u)中u為自變量；u=g(x)中u為函數值；y能通過u寫出x的函數y=f[g(x)]中的u為中間變量；

（2）復合函數的定義類似于神秘的盒子，即

u=g(x)，y=f(u)

（3）復合函數可以由兩個以上的函數復合而成，即復合函數可以有多個中間變量。

（4）研究復合函數的復合結構非常重要，微積分中要用到.

（5）一般地，我們分析復合函數的復合過程時，應由外層向里層逐一拆成基本初等函數或其代數和的形式。

分析:從x到y的對應中，u,v都是中間變量，利用復合函數的定義求解；

例2、y=sin2x由哪些函數復合而成？

分析：要考慮復合函數的定義域，且利用函數的拆分方法可求解；

解:y=sin2x是由y=u2,u=sinx復合而成的。這個復合函數的定義域為(-∞,+∞)，它也是u=sinx的定義域；

分析：此題就是復合函數，根據從外層向里層逐層進行變量代換，直到成為基本初等函數或其四則運算時結束；

[思考]：y=lnu與u=-x能否復合？

注：由基本初等函數知識可知，這兩個函數不能復合；

通過上面例題及復合函數的定義，我們對此定義做如下解釋。

解釋：（1）、不是任意兩個函數都可以復合而成一個復合函數；

（2）、復合函數并不是一類新的函數，它只是反映某些函數在結構上的特點；

（3）、兩個函數復合后函數的定義域可能發生變化；

3、復合函數應用

例4、俄羅斯套盒

分析：大家都知道俄羅斯套盒，就是一個大盒子套一個比它稍小的盒子，稍小的盒子在套一個比他稍小的盒子，以此類推，就形成了套盒；

解：俄羅斯套盒就類似于復合函數，由復合函數的定義可以知道:

[師生互動]兩個（或三個、更多的）函數盒能不能套子一起？

分析：這個類似于俄羅斯方塊，即復合函數內容，但是都知道復合函數主要考慮的是定義域。

由復合函數的定義求解；解題過程由師生共同完成，由于篇幅有限，這里不做詳解。

4、結論

本文從問題驅動引出復合函數定義，在對復合函數的具體復合過程給以具體講解，可以得出對于高等數學知識體系來說，過濾、重構知識很重要,文章采取啟發引導、發現知識、歸納知識、揭示知識形式的奧秘，不斷重塑學生的自信心和培養學生的創新思想。這樣可以讓教師講解輕松，學生學習容易，達到教學培養目標。并使學生學會用所學知識解決實際問題，使他們擺脫數學難學、厭學的思維罐式。

參考文獻：

[1]張春杰.高職高等數學分層教學探究[J].吉林師范大學學報（自然科學版）.2006.（2）

[2]楊林，趙絢.積分學中原函數問題的課堂探討[J].科學中國人2014.10（下）

[3]王馬英，樊娟華，楊林.應用高等數學（文）[M].大連理工大學出版社，2014

[4]王馬英，樊娟華，楊林.應用高等數學（工）[M].大連理工大學出版社，2014

基金項目：2012年山西省高等學校教學改革項目（高職）重點項目JG2012059。

作者簡介：楊林，男，山西運城芮城；研究生，助理講師。