混合粒子流濾波的非線性系統參數估計算法

趙知勁，吳　棫

(杭州電子科技大學 通信工程學院,　杭州 310018)

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混合粒子流濾波的非線性系統參數估計算法

趙知勁，吳棫

(杭州電子科技大學 通信工程學院,杭州 310018)

為了提高強環境噪聲下非線性系統估計性能，基于粒子流濾波對非線性系統估計能力強的特點，文中首先利用粒子流濾波粗估計狀態向量；然后，利用卡爾曼濾波平滑由強環境噪聲所導致的狀態向量估計誤差；最后，得到混合粒子流濾波算法。對轉移方程為線性而測量方程為非線性的系統估計仿真實驗表明：文中算法的參數估計精度高于普通粒子流濾波算法和粒子濾波算法，計算復雜度和普通粒子流濾波算法相當且低于粒子濾波算法。

粒子流濾波；卡爾曼濾波；粒子濾波；計算復雜度；估計精度

0　引　言

近年來非線性濾波算法在信號處理、目標跟蹤及數據融合等領域的應用已引起越來越多研究者的關注[1]。傳統的非線性濾波方法主要有擴展卡爾曼濾波算法(EKF)[2]和無跡卡爾曼濾波算法(UKF)[2]，這兩種方法僅適用于估計弱非線性系統模型情況。當系統模型非線性程度較強時，EKF和UKF的估計誤差較大且可能發散。基于貝葉斯法則的粒子濾波算法(PF)[3]適用于估計強非線性系統模型，當粒子數足夠多時，該方法能夠得到較好的估計結果。但是粒子濾波存在難以選取重要性分布函數、粒子貧化[4]以及由粒子數增加導致計算復雜度高等問題。針對粒子濾波存在的問題，文獻[5]提出了一種新的粒子型濾波算法——粒子流濾波算法(PFF)，用于估計非線性系統。PFF用粒子流方法替換PF中的重采樣方法，從而避免了重采樣帶來的粒子貧化和計算量增加問題。

針對由線性轉移方程和非線性測量方程組成系統的估計問題，本文提出一種由EKF和PFF結合的改進算法，即混合粒子流濾波算法(HPFF)。HPFF的計算復雜度和PFF相當且低于PF，但其估計精度高于PFF和PF。

本文詳細介紹了粒子流濾波算法，對提出的混合粒子流濾波算法進行了描述，并通過對所提算法進行計算機仿真實驗，與其他算法性能進行了結果比較。

1　混合粒子流濾波算法

利用粒子流濾波算法解決估計問題時，建立動態系統的狀態空間模型。本文研究的動態系統狀態模型如下

Xk=SXk-1+uk-1

(1)

yk=h(Xk)+vk

(2)

式中：Xk∈Rm為k時刻m維狀態向量；S∈Rm×m為已知的狀態轉移矩陣；uk為均值為0、方差為Q的高斯分布狀態噪聲；yk為k時刻的測量值；h(·)為關于Xk的線性或非線性測量函數；vk為均值為0、方差為σ2的高斯分布環境噪聲，且vk與uk統計獨立。

利用貝葉斯法則可以得到狀態向量Xk的概率密

度函數如下

(3)

式中：y0∶k為時刻0到時刻k所有的測量值；p(Xk|y0∶k)為后驗概率密度；p(yk|Xk)為似然函數；p(Xk|y0∶k-1)為先驗概率密度；p(yk|y0∶k-1)為與狀態向量Xk無關的歸一化常數。后驗概率密度包含了對狀態向量Xk估計的全部信息，利用后驗概率密度可以完成對狀態向量Xk的估計，但是由于后驗概率密度表達式復雜，難以直接計算其結果。

粒子濾波利用更新粒子的權值以及重要性采樣方法來表征后驗概率密度實現貝葉斯估計；而粒子流濾波則是通過將粒子平滑移動到狀態空間的后驗分布上實現貝葉斯估計。圖1給出了粒子濾波和粒子流濾波過程的形象化描述，上半部分虛線框圖描述了粒子濾波過程，下半部分虛線框圖描述了粒子流濾波過程。

圖1　粒子濾波與粒子流濾波框架圖比較

為方便起見，將式(3)中的有關函數簡化表示如下：q(X)=p(Xk|y0∶k)，g(X)=p(yk|Xk)，I(X)=p(Xk|y0∶k-1)。利用式(3)和拓撲學中同倫函數[6]的概念定義一個針對變量λ的條件概率密度對數流如下

logq(X,λ)=logg(X)+λlogI(X)+K(λ)

(4)

式中：λ為數值從0變化到1的參數，此處為類似于時間的變量；q(X,λ)為X的條件概率密度，其中，X為關于λ的函數；K(λ)為與X無關的歸一化常數。當λ=0時，q(X,λ)表示先驗概率密度；而當λ=1時，q(X,λ)表示后驗概率密度，這正是我們希望得到的結果。由于狀態向量X為關于λ的函數，我們定義狀態向量X對于變量λ的變化率為

(5)

f(X,λ)的物理意義可以解釋為：若狀態向量X為狀態空間Rm中的某一點，那么f(X,λ)就是該點在λ時刻的速度。由于變化率f(X,λ)在所有粒子上都有定義，可以認為f(X,λ)定義了一個從先驗分布到后驗分布的“速度場”。求得f(X,λ)之后即可利用數值積分將先驗粒子平滑移動到后驗分布上，從而實現粒子更新。

假設f(X,λ)滿足零散度的Fokker-Planck方程[7]，且由文獻[8]可得

(6)

式中：Tr(·)為(·)的跡。因為q關于λ是光滑和連續的，式(4)兩端同時對λ求導可得

(7)

結合式(6)和式(7)可以得到以下等式

(8)

式(8)就是式(3)貝葉斯估計所應滿足的常微分方程。求解式(8)得到f(X,λ)，然后對f(X,λ)進行數值積分就能得到所要估計的X，這就是粒子流濾波。式(8)有多種求解方法[9-10]，如準無旋近似法、變分近似法和參數近似法等。文獻[11]給出了一種利用參量近似求解式(8)的方法，該方法將先驗分布和似然分布都近似成高斯分布，并且利用一階泰勒級數近似測量函數h(·)，得到了一種易于計算和編程實現的封閉形式解。

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

p(X0)=U(α,β)

(21)

(22)

綜上所述，混合粒子流濾波算法的具體步驟如下：

(2)fork = 1，2，…，T

(5)forj = 1，2，…，Nλ

(6)將λ的值設為：λ=jΔλ

(8)利用式(10)和式(11)計算A(λ)和b(λ)

(9)fori = 1，2，…，N

(12)endi

(14)endj

(15)利用式(12)～式(14)對Pk-1更新得到Pk

(18)endk

2　算法仿真與性能分析

本節分析比較了PF、混合粒子濾波(MPF)[12]、PFF和HPFF四種算法對正弦信號參數的估計性能。所用軟件為Matlab2010b版本，在Intel酷睿雙核處理器(2.13GHz)、2GB內存的PC機上進行仿真實驗。將含有未知參數的正弦信號用如下狀態模型表示

(23)

yk=αkcos(2πftk+φk)+vk

(24)

PF、MPF、PFF和HPFF四種算法估計得到的信號幅度和相位參數如圖2所示。由圖2可見，四種算法均能逐漸收斂于待估計向量Xk的真實值，由于HPFF算法是PFF算法估計結果再經KF濾波得到的。因此，與其他三種算法相比，HPFF的估計結果更加穩定。

圖2　參數估計結果

(25)

用式(25)定義的均方根誤差來比較分析四種算法的性能。100次獨立仿真實驗，即K=100，四種算法對兩個未知參數估計的均方根誤差隨采樣點數的變化曲線如圖3所示。隨著采樣點數的增加，四種算法的均方根誤差都隨之減少并趨于穩定值，HPFF的估計均方根誤差最小，MPF次之，PFF再次之，PF最大。

圖3　4種算法的均方根誤差

環境噪聲方差取50、100、150、200、250和300時，四種算法對兩個未知參數估計的均方根誤差如圖4所示。HPFF算法的均方根誤差比其他三種算法小得多，四種算法的均方根誤差隨著噪聲方差的增加而增加。

圖4　不同環境噪聲下仿真結果

粒子數取20、50、100、200和500時，PFF和HPFF對兩個未知參數估計的均方根誤差如圖5所示。不同粒子數下，HPFF的均方根誤差都小于PFF；并且HPFF和PFF受粒子數的影響較小，當粒子數大于100時HPFF和PFF估計精度趨于穩定。

圖5　不同粒子數目下仿真結果

由于算法的計算復雜度隨著粒子數的增加而增加，選取100作為PFF和HPFF的粒子數，每種濾波算法分別進行100次仿真實驗，四種算法的運行時間平均值如表1所示。PFF算法運行速度最快，HPFF速度接近于PFF，比MPF和PF快得多。

表1四種濾波算法的平均運行時間s

濾波算法名稱運行時間PF81.7513MPF83.1928PFF26.4282HPFF28.0834

3　結束語

本文提出的混合粒子流濾波算法首先利用粒子流濾波得到一個粗估計結果，然后在粗估計結果基礎上利用卡爾曼濾波進一步平滑濾波得到最終估計結果。對轉移方程為線性而測量方程為非線性的系統模型估計仿真結果表明：HPFF算法是有效的；在強環境噪聲背景下，HPFF算法的估計精度高于PF、MPF和PFF；HPFF和PFF的算法復雜度相當，低于PF和MPF算法。

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趙知勁女，1959年生，教授，博士生導師。研究方向為通信信號處理、自適應信號處理、認知無線電等。

吳棫 男，1991年生，碩士研究生。研究方向為信號與信息處理。

ANonlinearSystemParameter'sEstimationAlgorithmBasedonHybridParticleFlowFilter

ZHAOZhijin，WUYu

(SchoolofCommunicationEngineering,HangzhouDianziUniversity,Hangzhou310018,China)

Inordertoimproveestimationperformanceofthenonlinearsystemunderstrongenvironmentalnoise,thestatevectorisroughlyestimatedbyparticleflowfilterfirstlysinceitisgoodforhandlingnonlinearsystemestimationproblem.Thenthestatevector'sestimationerror,whichiscausedbythestrongenvironmentnoise,issmoothedbyaKalmanfilter.Finallythehybridparticleflowfilterisgotten.Theresultsofsimulationforthesystemestimationconsistingoflineartransferequationandnonlinearmeasurementequationshowthattheestimationaccuracyoftheproposedalgorithmishigherthanthatofthestandardparticleflowfilterandtheparticlefilter,computationalcomplexityofproposedalgorithmisthesameasstandardparticleflowfilterandislowerthanthatoftheparticlefilter.

particleflowfilter;Kalmanfilter;particlefilter;computationalcomplexity;estimationaccuracy

吳棫Email：waynegeek@yeah.net

2016-01-22

2016-03-20

TN911

A

1004-7859(2016)06-0045-05

·數據處理·DOI：10.16592/j.cnki.1004-7859.2016.06.011