利用多準則Hopfield網(wǎng)絡對ECT進行圖像重建

吳新杰，　何在剛，　李惠強，　鄭靜娜，　陳玲，　許超，　陳躍寧，　顏華

(1. 遼寧大學 物理學院，遼寧 沈陽 110036；2. 沈陽工業(yè)大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110870)

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利用多準則Hopfield網(wǎng)絡對ECT進行圖像重建

吳新杰1，何在剛1，李惠強1，鄭靜娜1，陳玲1，許超1，陳躍寧1，顏華2

(1. 遼寧大學 物理學院，遼寧 沈陽 110036；2. 沈陽工業(yè)大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110870)

針對電容層析成像技術中圖像重建質量較差的問題，提出一種基于多準則Hopfield網(wǎng)絡模型的電容層析成像的改進圖像重建算法。首先分析了ECT圖像重建和Hopfield網(wǎng)絡的基本原理，然后根據(jù)ECT圖像重建的特點確定了4種準則函數(shù)：圖像熵、測量電容和估計電容的誤差平方和、重建圖像的局部非均勻性函數(shù)和總變差，并將這4種準則函數(shù)引入Hopfield網(wǎng)絡的能量函數(shù)中，由此推導出Hopfield網(wǎng)絡的動態(tài)方程，在此基礎上得到ECT圖像重建迭代算法，最后通過仿真實驗對所提方法進行了驗證。仿真實驗結果表明利用此方法獲得的重建圖像誤差和相關系數(shù)比LBP算法和Landweber迭代算法得到的相應指標要好。由此可見，該方法是一種有效的、精確度較高的ECT圖像重建方法。

電容層析成像；圖像重建；Hopfield網(wǎng)絡；多準則；圖像誤差

0　引　言

隨著科技的迅速發(fā)展，在生產(chǎn)環(huán)境越來越復雜的情況下，兩相流、多相流在化工、環(huán)保、冶金、醫(yī)療和石油等國民生產(chǎn)領域中的使用越來越廣泛。但是由于兩相流、多相流的流型復雜、流動多變、流動過程有很大的隨機性，采用傳統(tǒng)的檢測技術難以準確測量。電容層析成像技術(electrical capacitance tomography,ECT) 是20世紀80年代后期形成和發(fā)展起來的一種新型層析成像技術[1-2]，由于其具有非侵入、響應快、低成本等優(yōu)點，在國內外現(xiàn)已成為人們關注的焦點。

ECT圖像重建算法的優(yōu)劣直接影響到傳感器內部介電常數(shù)的分布和可視化效果[3]。ECT圖像重建是一個典型的病態(tài)問題，它的解很不穩(wěn)定，輸入的測量數(shù)據(jù)若有微小的誤差波動可能會使重建的圖像產(chǎn)生較大的波動。不同的算法已被發(fā)展用于ECT圖像重建，目前ECT圖像重建算法大致分為直接算法、迭代法和其他算法。直接算法主要有線性反投影(linear back projection, LBP)算法[4]、奇異值分解(singular value decomposition,SVD)方法[5]和 Tikhonov正則化方法[6]等，LBP算法結構簡單、成像速度快，但其重建的圖像精確度較低，適合于準確度要求不高的工業(yè)在線檢測；SVD 方法的主要優(yōu)點在于其廣義逆最小模解可以較好地區(qū)分相鄰的大小物體，不過其重建圖像還會因為存在大量散斑而嚴重失真；Tikhonov正則化方法雖然能夠得到近似穩(wěn)定的圖像重建效果，然而算法的解過于光滑，導致對介質邊緣重建效果并不理想。迭代法比較有代表性的方法是Landweber算法[7-8]、Newton-Raphson算法[9]和同步迭代重建技術(Simultaneous Iterative Reconstruction Technique, SIRT)[10]等，Landweber算法成像質量優(yōu)于一些其它算法，然而它是基于最速下降法的思想，沿著負梯度方向搜索最優(yōu)解，容易收斂到局部極值，而且當參數(shù)設置不當時會導致結果發(fā)散；Newton-Raphson算法是求解無約束問題的最優(yōu)化方法之一，在重建圖像中具有更高的精確度，但在迭代方法中，靈敏度場STS病態(tài)嚴重，無法求得穩(wěn)定的逆陣。SIRT算法也是最速下降算法的一種，它的原理和Landweber迭代算法是一樣的，由于“軟場”效應，精確度問題還有待提高。其他算法[11-14]主要有：模擬退火法、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡法及粒子濾波法等。

由于ECT圖像重建問題是一個非線性的、病態(tài)的逆問題，而Hopfield網(wǎng)絡提出了一種以神經(jīng)元相互作用的一階非線性微分方程組構成的神經(jīng)網(wǎng)模型及其在能量函數(shù)極小化框架下的優(yōu)化理論，可以映射任意復雜的非線性關系。因此，本文提出了一種基于多準則優(yōu)化Hopfield網(wǎng)絡的ECT圖像重建算法。

1　電容層析成像系統(tǒng)基本原理

電容層析成像系統(tǒng)主要由3個部分組成：電容傳感器、測量及數(shù)據(jù)采集和圖像重建[15]。電容傳感器獲取被測物場分布狀況的投影信息，測量及數(shù)據(jù)采集模塊收集傳感器所獲得的信息，并傳送至計算機，這些電容測量值反映了物場內介電常數(shù)的分布情況，計算機根據(jù)一定的圖像算法重建出所研究管道截面的圖像。

電容傳感器不同電極組合間的電容值C和傳感器內部介電常數(shù)分布ε(x,y)的關系表示為

(1)

式中：V是形成電容C的電極對之間的電勢差，φ(x,y)為電勢分布，Γ為電極邊界。

以典型的8電極傳感器系統(tǒng)為研究對象，可得到的獨立電極對總數(shù)為

(2)

這樣在8電極中總共可獲得28個獨立的測量數(shù)據(jù)。

目前，大多數(shù)ECT成像算法是基于介電常數(shù)分布到電容映射的線性模型，經(jīng)過離散化、線性化和歸一化后的模型如式(3)所示

C=S×G。

(3)

式中：C是m×1維的歸一化電容測量向量；G是n×1維的歸一化介電常數(shù)分布向量，在圖像重建中代表圖像灰度值；S是m×n的矩陣，反映了電容C受物質G分布變化的影響，稱為敏感場靈敏系數(shù)矩陣。

ECT圖像重建的目標就是在給定電容測量矩陣C后，快速地、有效地求解出在管道截面的介電常數(shù)分布G。該問題的求解在本質上屬于病態(tài)問題，其解具有不適定性；因此為了獲得有意義的數(shù)值解需要附加一定的約束條件。

2　基于多準則Hopfield網(wǎng)絡的ECT圖像重建算法工作原理

2.1HOPFIELD神經(jīng)網(wǎng)絡模型

Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡憑著其解決優(yōu)化問題時呈現(xiàn)出容錯性結構和結構上并行計算的優(yōu)點，已經(jīng)成功地應用于求解組合優(yōu)化問題。

若一個組合優(yōu)化問題的目標函數(shù)能夠轉化成Hopfield網(wǎng)絡的能量函數(shù)，此時網(wǎng)絡的每個神經(jīng)元的狀態(tài)就代表問題中的變量，這樣就可以將組合優(yōu)化的問題利用Hopfield網(wǎng)絡來解決。也就是當網(wǎng)絡的神經(jīng)元趨于平衡點時，能量函數(shù)也趨近于最小值，目標函數(shù)優(yōu)化計算的過程就是網(wǎng)絡由初態(tài)向穩(wěn)態(tài)收斂的過程。

由Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡原理可知，設神經(jīng)元內部的狀態(tài)函數(shù)vj為信號神經(jīng)元輸出電壓，uj為vj的內部變量，它與vj之間的函數(shù)關系為vj=fΣ(uj)=(1+exp(-βuj)-1)。所以可得vj為單調遞增函數(shù)，此處的β為增益的陡度，則以多目標優(yōu)化準則為基礎的神經(jīng)網(wǎng)模型能量函數(shù)如式(4)所示[16]

(4)

式中：Rj是神經(jīng)元的輸入電阻，vj表示神經(jīng)元的輸出—輸入非線性函數(shù)。第一項表示多目標函數(shù)的加權和，相當于代價函數(shù)；第二項是約束破壞的測度；第三項表示使神經(jīng)網(wǎng)絡工作在n維單位立體{0vj1}內部形成的系統(tǒng)狀態(tài)空間。式(4)可以被看作是多目標優(yōu)化準則為基礎的神經(jīng)網(wǎng)絡的能量函數(shù)。

2.2多準則HOPFIELD網(wǎng)絡的ECT圖像重建

ECT系統(tǒng)在進行圖像重建時，如果想要得到一個重建精確度高的圖像，必須找到一個能夠利用測量電容C映射出管道內的介電常數(shù)分布情況的方法，而且該方法可以有效地減小測量誤差。顯然，解決這一問題的關鍵是在已有的條件下，找到一個能夠滿足系統(tǒng)應用的折衷標準。根據(jù)ECT系統(tǒng)圖像重建的基本過程及算法原理，電容C可以根據(jù)式(3)來計算。

因此在ECT系統(tǒng)的成像過程中，將靈敏度場、測量電容以及介電常數(shù)歸一化后，通常就按照式(3)計算電極對間的電容值。如果ECT系統(tǒng)有8個極板，其重建圖像的像素點數(shù)為20*20，則其對應的靈敏度場維數(shù)為28*400。

在很多工程與科學的優(yōu)化問題中，往往存在多個性能準則函數(shù)。所以，利用多性能準則函數(shù)來解決復雜的優(yōu)化問題，這樣就更能夠體現(xiàn)出問題的實質。

對于一個多目標函數(shù)的優(yōu)化問題，問題中的函數(shù)之間往往相互矛盾，而且函數(shù)之間的數(shù)值范圍以及量綱也不盡相同，由于這些因素的存在，導致在運用多目標函數(shù)優(yōu)化的方法對問題進行優(yōu)化求解時，最終得到的解對其中某一個目標函數(shù)來說可能不是最優(yōu)解。在多目標函數(shù)優(yōu)化問題上，向量目標函數(shù)的優(yōu)化解一般使用非劣解(或稱有效解)來描述。

通過多個準則函數(shù)來描述復雜的ECT重建圖像，能夠表現(xiàn)出ECT重建圖像的多方面特性。第一個重建圖像的目標函數(shù)的作用是得到最大圖像熵；第二個函數(shù)是使測量電容和估計電容的誤差平方和極小化；第三個函數(shù)的作用是保持圖像的局部連續(xù)性和平滑性，為了達到這個目的采用了重建圖像的局部非均勻函數(shù)極小化的方法；第四個目標函數(shù)是重建圖像的總變差，目的是為了提高重建圖像的分辨率。

第一個目標函數(shù)是重建圖像的圖像熵函數(shù)，其表達式為[17]

(5)

式中：N=400，即重建圖像包含的像素點個數(shù)，γ1為歸一化常數(shù)，且0γ11，Gj為重建圖像的像素點j處的介電常數(shù)值，通過引入圖像熵函數(shù)可以反映圖像中像素位置的灰度信息和像素鄰域內灰度分布的綜合特征。

第二個目標函數(shù)是電容傳感器所測得電容值與估計出的電容值之間的方差，其數(shù)學表達式[17]為：

(6)

式中：M=28，即對應電容傳感器測量獲得的電容數(shù)量，γ2與γ1類似，是一個歸一化常數(shù)，且0≤γ2≤1,通過使用該目標函數(shù)來確保重建圖像的再投影數(shù)據(jù)和原始圖像的投影數(shù)據(jù)盡可能接近。

第三個目標函數(shù)是圖像的局部非均勻性函數(shù)，其表達式為[17]

(7)

式中：γ3是一個歸一化常數(shù)，且0≤γ3≤1。X為非均勻矩陣，也稱作平滑矩陣，維數(shù)為N×N，對于X矩陣內的元素，根據(jù)其對重建圖像產(chǎn)生的作用，將其定義為[17]：

(8)

式中：x1，x2，x3表示的平滑矩陣中的權值，其值分別為1，-1/8，-1/8。在對重建出的圖像進行平滑處理時，對圖像上每個像素點j都要進行平滑處理，該像素點j位置的權值取為x1；與像素點j有一個公共邊的相鄰像素點為區(qū)域Ej，在進行平滑處理時權值取為x2；與該像素點有一 個公共點的相鄰像素點為區(qū)域Vj，在進行平滑處理時，該區(qū)域的權值取為x3；其余的矩陣中的平滑權值對應的像素點由于和像素點j既沒有公共點，又沒用公共邊，該區(qū)域權值取為0。然后利用目標函數(shù)f3(G)進行平滑處理。通過使用該目標函數(shù)，保持了圖像的局部連續(xù)性和平滑性，同時，實現(xiàn)了重建圖像的局部非均勻性函數(shù)和峰值性函數(shù)之和極小化。

第四個目標函數(shù)是重建圖像的總變差，其表達式為[18]

(9)

式中：γ4為歸一化常數(shù)，且0γ41，Li為對應灰度方差特性的稀疏矩陣；LiG對應不同區(qū)域的灰度方差。

根據(jù)上述四個目標函數(shù)，結合Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡模型，最終確定Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡模型的能量函數(shù)，ECT圖像重建的Hopfield網(wǎng)絡的能量函數(shù)表達式為

(10)

式中：N為Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡神經(jīng)元的個數(shù)，即重建圖像像素點的個數(shù)，Gj為相應的神經(jīng)元的輸出值，其物理意義為每個像素點位置處的介電常數(shù)值。

(11)

α(t)=α0+ζexp(-ηt)。

(12)

其中α0，ζ，η均為正數(shù)。由于Hopfield網(wǎng)絡的能量函數(shù)是單調下降的，所以它往往會收斂于下降過程中的第一個極小值，但是這個極小值有時候并不是所需要的最優(yōu)解，通過引入懲罰因子α，可以使能量函數(shù)在收斂時避免陷入局部極值。

(13)

式中：β、ξ分別為非線性函數(shù)線性部分的斜率和截距。在圖像重建時，圖像的最理想效果是當填充介質為氣相時，該處介電常數(shù)為0，填充介質為固相時，該處的介電常數(shù)為1。用式(13)中的非線性函數(shù)來代替神經(jīng)元使用的傳統(tǒng)S型函數(shù)，取得的圖像重建效果更好，所以選用以上函數(shù)來代替。

綜上所述，將相應的目標函數(shù)代入到Hopfield網(wǎng)絡的能量函數(shù)公式中，可得到基于多準則優(yōu)化的Hopfield網(wǎng)絡的能量函數(shù)

(14)

為了使運算簡便，令式中的R0j=R0，C0j=C0，將R0C0，γ1/C0，γ2/C0、γ3/C0及γ4/C0分別用τ，γ1，γ2，γ3，γ4來代替。對能量函數(shù)的方程求導，可得到Hopfield網(wǎng)絡的動態(tài)方程為：

lnG(t))+ω2γ2STZ(t)+

ω3γ3(XG(t)+G(t))+

ω4γ4H(t)-1J′(t)+STδ(Z(t))]。

(15)

，

(16)

G(t)=[G1(t),G2(t),…,GN(t)]T，

(17)

u(t)=[u1(t),u2(t),…,uN(t)]T，

(18)

z(t)=[z1(t),z2(t),…,zN(t)]T，

(19)

H(t)=STS+μLT(diag(‖LiG‖))-1L，

(20)

J′(t)=ST(SG-C)+μLT(diag(‖LiG‖))-1L。

(21)

2.3改進圖像重建算法的實現(xiàn)步驟

基于多準則Hopfield網(wǎng)絡的ECT圖像重建算法的具體實現(xiàn)步驟如下：

1)初始化：對神經(jīng)網(wǎng)絡、算法參數(shù)初始化，通過實驗本文設置C0=1，τ=1，w1=0.013，w2=0.83，w3=0.13和w4=0.39，γ1=γ2=γ3=γ4=1；以LBP線性反投影算法解U=G0=STC作為初始狀態(tài)；初始迭代次數(shù)t=1，總迭代次數(shù)為500次。

4)利用公式(14)計算出Hopfield網(wǎng)絡的能量函數(shù)。

5)根據(jù)更新后的神經(jīng)元輸出Gj(t+Δt)與更新前的神經(jīng)數(shù)值Gj(t)之間的差值進行判斷，如果其差值遠遠小于1(本文選取其差值小于0.001)，則迭代停止，若不滿足要求，則繼續(xù)迭代。

3　仿真實驗

為了驗證此算法對于解決ECT圖像重建問題的有效性，選取8極板方形管道的ECT系統(tǒng)的8種典型流型進行實驗，成像時剖分像素為20*20的管道截面，并在matlab平臺上做了相關的仿真實驗。最后將基于多準則優(yōu)化的Hopfield圖像重建結果與LBP算法和Landweber迭代算法等兩種傳統(tǒng)圖像重建算法進行了比較。

表1　各種算法的圖像重建結果

為了便于評價和對比這3種ECT圖像重建算法的性能，引入了如下兩個指標[19]：圖像誤差和相關系數(shù)。圖像誤差是指重建圖像與原始圖像之間的相對誤差，利用式(22)進行計算；相關系數(shù)是指重建圖像與原始圖像之間的線性相關程度，通過式(23)進行計算。

(22)

(23)

表2和表3分別為利用LBP線性反投影算法、Landweber迭代算法以及基于多準則的Hopfield網(wǎng)絡算法的重建圖像與原始圖像間的圖像誤差和相關系數(shù)。

表2　各算法重建圖像的誤差

表3　各算法重建圖像的相關系數(shù)

從表1、表2和表3可以看出，基于多準則的Hopfied的圖像重建算法與線性反投影法、Landweber迭代方法相比，多準則Hopfield網(wǎng)絡算法在圖像重建質量上要優(yōu)于其它兩種算法，其圖像誤差更小。同時也可以看出，此算法獲得的圖像與原始圖像間的相關系數(shù)更高，即線性相關程度更高。由于多準則Hopfield網(wǎng)絡算法在迭代過程中采用了多種評價準則，所以在一定程度上克服了LBP算法與Landweber算法介質邊界比較模糊的缺點。由此也證明了所提出的ECT圖像重建算法的有效性。

4　結　論

在分析ECT系統(tǒng)基本原理和Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡模型的基礎上，提出一種基于多準則Hopfield網(wǎng)絡模型的ECT圖像重建算法。首先對ECT重建圖像的特點進行了分析，確定了重建圖像的圖像熵、測得電容值與估計出的電容值之間的方差、局部非均勻性函數(shù)和峰值性函數(shù)之和、圖像的總變差等4個評價函數(shù)，然后結合Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡模型，給出了Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡模型的能量函數(shù)，最后推導出基于多準則Hopfield網(wǎng)絡模型的ECT圖像重建迭代公式。由于在圖像重建迭代過程中多個評價指標的約束，使重建圖像的分辨率得到了提高，更能逼近原始圖像。通過各種流型的仿真實驗也證明了這種算法的可行性。由此可見，多準則Hopfield網(wǎng)絡算法是一種有效的和精度較高的ECT圖像重建算法，這也為ECT圖像重建算法的研究提供了一種新的途徑和方法。

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(編輯：賈志超)

Image Reconstruction by using Multi-criteria of Hopfield Network for ECT

WU Xin-jie1,HE Zai-gang1,LI Hui-qiang1,ZHENG Jing-na1,CHEN Ling1,XU Chao1,CHEN Yue-ning1,YAN Hua2

(1. College of Physics, Liaoning University, Shenyang 110036, China；2. School of Information Science and Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，China)

In view of low image reconstruction quality of electrical capacitance tomography (ECT), an image reconstruction algorithm of ECT based on multi-criteria of Hopfield network is put forward. Firstly, the basic principle of ECT image reconstruction and Hopfield network was analyzed. Secondly, according to the characteristics of the ECT image reconstruction, four criterion functions were determined,including image entropy, the error sum of squares between measuring capacitances and estimating capacitances, local heterogeneity function of reconstruction image, and total variation of reconstruction image. These four criteria functions were introduced to the energy function of Hopfield network,and thus the dynamic equations of Hopfield networks were deduced. On this basis, the iterative algorithm for ECT image reconstruction was gained. Finally, the proposed method was verified through simulation experiment. Simulation results show that the error of image reconstruction and correlation coefficient are better than corresponding indicators obtained by LBP and Landweber iterative algorithm.This ECT image reconstruction method is proven to be highly effective and accurate.It also provides an effective method and means for ECT image reconstruction algorithm.

electrical capacitance tomography; image reconstruction; hopfield network; multi-criteria; image error

2015-01-15

遼寧省教育廳科研項目(L2014003)；國家自然科學基金(61071141)

吳新杰(1964—)，男，博士，教授，研究方向為層析成像技術、智能優(yōu)化算法、信號處理方法及其應用；

何在剛(1989—)，男，碩士，研究方向為神經(jīng)網(wǎng)絡、電容層析成像技術；

吳新杰

10.15938/j.emc.2016.08.013

TP 319.4

A

1007-449X(2016)08-0098-07

李惠強(1990—)，男，碩士研究生，研究方向為檢測技術、層析成像技術的應用；

鄭靜娜(1990—)，女，碩士研究生，研究方向為電磁層析成像技術和智能優(yōu)化算法及其應用；

陳玲(1989—)，女，碩士研究生，研究方向為電容層析成像技術的應用；

許超(1981—)，男，碩士，實驗師，研究方向為信號處理和單片機技術；

陳躍寧(1960—)，男，博士，副教授，研究方向為光電子器件；

顏華(1964—)，女，教授，博士生導師，研究方向為層析成像檢測技術、信號處理、虛擬儀器。