Duffing振子檢測微弱正弦信號(hào)的新方法

彭祖亞代登敏范 玫1.華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院；.四川省雅安市雅安中學(xué)彭祖亞（199-）女，漢族，四川省達(dá)州人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，華中師范大學(xué)在讀教育碩士，本科，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語六級(jí)，職稱：中學(xué)二級(jí)；代登敏（199-）女，漢族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，東北師范大學(xué)在讀教育碩士，本科，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語四級(jí)，職稱：中學(xué)二級(jí)；范玫（1989-）女，漢族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，西華師范大學(xué)理學(xué)碩士，范玫，年齡：7，性別：女，最高學(xué)歷：碩士，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語四級(jí)，職稱：中學(xué)二級(jí)。

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Duffing振子檢測微弱正弦信號(hào)的新方法

彭祖亞1，2代登敏2范 玫2
1.華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院；2.四川省雅安市雅安中學(xué)
彭祖亞（1992-）女，漢族，四川省達(dá)州人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，華中師范大學(xué)在讀教育碩士，本科，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語六級(jí)，職稱：中學(xué)二級(jí)；代登敏（1992-）女，漢族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，東北師范大學(xué)在讀教育碩士，本科，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語四級(jí)，職稱：中學(xué)二級(jí)；范玫（1989-）女，漢族，四川省雅安人，四川省雅安市雅安中學(xué)數(shù)學(xué)教師，西華師范大學(xué)理學(xué)碩士，范玫，年齡：27，性別：女，最高學(xué)歷：碩士，專業(yè)方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，語言：英語四級(jí)，職稱：中學(xué)二級(jí)。

本文針對(duì)Duffing振子檢測微弱正弦信號(hào)時(shí)，振子系統(tǒng)相變判別困難、計(jì)算機(jī)難以自動(dòng)識(shí)別的難題，提出一種簡單、利于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的相變判別方法，并在此基礎(chǔ)上提出一種基于Duffing振子檢測微弱正弦信號(hào)的新方法。在微弱信號(hào)檢測行業(yè)起到一定的借鑒作用。

如付諸現(xiàn)實(shí)將有利于微弱信號(hào)檢測的發(fā)展，在自動(dòng)化、通信、機(jī)械工程等領(lǐng)域均能產(chǎn)生較好的經(jīng)濟(jì)效益。

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針對(duì)Duffing振子檢測微弱正弦信號(hào)時(shí)，振子系統(tǒng)相變判別困難、計(jì)算機(jī)難以自動(dòng)識(shí)別的難題，提出一種簡單、利于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的相變判別方法，并根據(jù)逆向相變（由大周期狀態(tài)躍遷到混沌狀態(tài)）和振子陣列的原理提出一種基于Duffing振子檢測微弱正弦信號(hào)的新方法，仿真分析表明，該方法對(duì)系統(tǒng)相變的判別準(zhǔn)確，對(duì)微弱正弦信號(hào)檢測能力強(qiáng)，具有工程應(yīng)用潛力。

微弱正弦信號(hào)檢測在信號(hào)檢測領(lǐng)域具有重要地位，在自動(dòng)化、通信、機(jī)械工程等許多研究領(lǐng)域，常常需要判斷微弱正弦信號(hào)是否發(fā)生，而在環(huán)境噪聲較大的情況下，微弱正弦信號(hào)通常淹沒在噪聲中，傳統(tǒng)的線性濾波方法無法有效檢測出微弱正弦信號(hào)。

Duffing振子作為目前微弱信號(hào)檢測領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，其具有對(duì)微弱正弦信號(hào)極其敏感而對(duì)噪聲有較強(qiáng)免疫能力的特性，相比常規(guī)方法的信噪比門限只達(dá)到-10dB，Duffing振子能夠檢測到信噪比達(dá)-111.46dB的微弱正弦信號(hào)，其對(duì)微弱正弦信號(hào)的檢測具有廣闊的前景。

Duffing振子是根據(jù)輸入待檢測信號(hào)后系統(tǒng)是否發(fā)生相變判斷微弱正弦信號(hào)是否存在，確定系統(tǒng)發(fā)生相變的方法主要有李亞普諾夫指數(shù)法、分維數(shù)法、分形理論分析法等數(shù)值分析方法和相軌跡直接觀察法，相比數(shù)值分析方法復(fù)雜、計(jì)算量大，相軌跡直接觀察法較為常用且相對(duì)簡單，但不利于計(jì)算機(jī)的自動(dòng)判別。

為此，本文根據(jù)Duffing振子相軌跡演化規(guī)律提出一種有利于計(jì)算機(jī)自動(dòng)判別的Duffing振子相變判別方法，在此基礎(chǔ)上提出一種基于Duffing振子檢測微弱正弦信號(hào)的新方法，并通過數(shù)值仿真分析驗(yàn)證了該方法的可行性和正確性。

Duffing振子檢測微弱正弦信號(hào)原理

Duffing振子是一種典型的混沌系統(tǒng)，其方程為：

圖1 混沌狀態(tài)與大周期狀態(tài)相軌跡圖

圖2 相位角示意圖

Duffing振子對(duì)正弦形式的策動(dòng)力異常敏感，隨策動(dòng)力幅值F的增加表現(xiàn)出不同的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。當(dāng)策動(dòng)力幅值F小于閾值Fk時(shí)，振子處于混沌狀態(tài)，相軌跡局限在一定范圍內(nèi)，并在焦點(diǎn)（±1，0）和鞍點(diǎn)（0，0）之間來回躍遷振蕩；略微增大幅值F使之大于或等于Fk，則振子躍遷到大周期狀態(tài)，相軌跡在外軌道上穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。混沌狀態(tài)和大周期狀態(tài)相軌跡分別如圖1（a）、圖1（b）所示。

目前，Duffing振子檢測微弱信號(hào)主要是基于系統(tǒng)相變判斷待檢測信號(hào)中有無微弱正弦信號(hào)，包括正向相變（從混沌狀態(tài)躍遷到大周期狀態(tài)）和逆向相變（從大周期狀態(tài)躍遷到混沌狀態(tài)）兩種檢測方法。根據(jù)文獻(xiàn)的研究，相比正向相變，逆向相變對(duì)微弱正弦信號(hào)具有更為穩(wěn)健的敏感性。逆向相變檢測微弱信號(hào)方法如下：首先設(shè)置策動(dòng)力幅值為Fk，使振子進(jìn)入大周期狀態(tài)；然后將待檢測信號(hào)加入振子策動(dòng)力項(xiàng)，若待檢測信號(hào)中有微弱正弦信號(hào)，且其相位與策動(dòng)力相位滿足一定關(guān)系，使得疊加后的策動(dòng)力幅值小于Fk，則振子逆向躍遷到混沌狀態(tài)，根據(jù)加入待檢測信號(hào)后振子是否發(fā)生相變判斷待檢測信號(hào)中有無微弱正弦信號(hào)。

系統(tǒng)相變判別方法

相變的準(zhǔn)確判別是微弱正弦信號(hào)檢測的關(guān)鍵，利用相軌跡變化判別相變的方法形象直觀，但不利于計(jì)算機(jī)自動(dòng)判別，本文提出一種基于相位角周期的相變判別方法。

以相圖鞍點(diǎn)O（0，0）為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，取相軌跡上的任意點(diǎn)A，定義鞍點(diǎn)O與點(diǎn)A的連線OA與橫坐標(biāo)軸正方向夾角為相位角θ，則相位角，相位角示意圖如圖2所示。由于相軌跡上任意點(diǎn)都有與之對(duì)應(yīng)的相位角，相位角與相軌跡同步演化，因此可以利用相位角定量描述相軌跡。

如圖2所示，在演化過程中，相軌跡每穿過一次坐標(biāo)軸θ=π（或θ= -π），相位角發(fā)生一次跳躍，定義相鄰兩次跳躍之間的時(shí)間一個(gè)周期。大周期狀態(tài)下，振子主要受策動(dòng)力頻率影響，相軌跡圍繞鞍點(diǎn)演化的周期與策動(dòng)力周期相等。由于相位角與相軌跡具有同步演化的特點(diǎn)，因此，大周期狀態(tài)下相位角周期與策動(dòng)力周期相等。而混沌狀態(tài)下，振子主要受非線性振子的本征頻率影響，相軌跡演化的周期不穩(wěn)定，相位角周期不等于策動(dòng)力周期。因此，相位角周期可以作為相變的判別依據(jù)。

圖3 微弱正弦信號(hào)檢測流程圖

檢測方法

在實(shí)際應(yīng)用中，待檢測信號(hào)中的微弱正弦信號(hào)相位是未知的，單一振子的策動(dòng)力相位與微弱正弦信號(hào)相位可能不滿足相變的條件，因此采用振子陣列的方法進(jìn)行微弱正弦信號(hào)檢測，振子陣列模型為：

式中：i=0，1，2???N；N為角度平分?jǐn)?shù)，一般N≥3

基于上述研究，本文提出一種基于Duffing振子的微弱正弦信號(hào)檢測方法，步驟如下：（1）調(diào)整策動(dòng)力幅值為Fk，使振子陣列進(jìn)入大周期狀態(tài)；（2）在策動(dòng)力項(xiàng)中加入采集的待檢測信號(hào)，并計(jì)算陣列中各振子演化過程中相位角周期T。若存在振子相位角周期T不等于策動(dòng)力周期T0，則檢測到微弱正弦信號(hào)；若所有振子相位角周期T均與策動(dòng)力周期T0相等，則繼續(xù)搜索微弱正弦信號(hào)。微弱正弦信號(hào)檢測流程如圖3所示。

檢測方法性能仿真分析

應(yīng)用MATLAB的Simulink模塊對(duì)該檢測方法的性能進(jìn)行仿真分析。設(shè)定k=0.4，ω=2πrad/s（即系統(tǒng)策動(dòng)力周期為0.4s），仿真開始時(shí)刻在策動(dòng)力項(xiàng)中輸入功率為0.001w的高斯白噪聲，調(diào)節(jié)策動(dòng)力幅值使系統(tǒng)進(jìn)入大周期狀態(tài)。在t=4s時(shí)刻分別在策動(dòng)力項(xiàng)中輸入幅值為0.01、0.001、0.0001及0.00001的微弱正弦信號(hào)，為簡化仿真分析，設(shè)定各微弱正弦信號(hào)相位與策動(dòng)力相位滿足相變的條件。各系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的相位角周期演化曲線如圖4所示，圖中第11個(gè)周期為輸入待檢測信號(hào)后的第1個(gè)周期。

從圖4中可以看出，輸入微弱正弦信號(hào)前，相位角周期均穩(wěn)定為0.4s，等于策動(dòng)力周期，振子均處于大周期狀態(tài)；輸入微弱正弦信號(hào)后，相位角周期均發(fā)生了改變而不等于策動(dòng)力周期，振子均躍遷到了混沌狀態(tài)，即上述不同幅值的微弱正弦信號(hào)均能被檢測到，但相位角周期開始改變的時(shí)間相對(duì)于微弱正弦信號(hào)輸入的時(shí)間有一定延遲。

上述不同幅值的微弱正弦信號(hào)數(shù)值仿真統(tǒng)計(jì)如表1所示，其中信噪比，延遲周期數(shù)為從輸入微弱正弦信號(hào)到檢測到相位角周期發(fā)生改變所歷經(jīng)的周期數(shù)。

表1 不同幅值微弱正弦信號(hào)仿真分析統(tǒng)計(jì)表

圖4 相位角周期演化曲線

從表1中可以看出，當(dāng)信噪比為-73dB時(shí)，仍然能夠檢測到微弱正弦信號(hào)，說明此方法對(duì)系統(tǒng)相變的判別準(zhǔn)確，對(duì)微弱正弦信號(hào)檢測能力強(qiáng)；但隨著信噪比降低，微弱正弦信號(hào)檢測延遲的周期數(shù)增多，究其原因，這是由于Duffing振子系統(tǒng)在輸入外加攝動(dòng)信號(hào)后，需要一定的時(shí)間進(jìn)行演化才能表現(xiàn)出相變，而外加攝動(dòng)信號(hào)越微弱，相變所需要的時(shí)間越長。

結(jié)語

（1）Duffing振子在大周期狀態(tài)時(shí)相位角周期等于策動(dòng)力周期，在混沌狀態(tài)時(shí)相位角周期不等于策動(dòng)力周期，相位角周期可以作為相變判別的依據(jù)。而利用相位角周期的變化作為相變判別的依據(jù)，使得相變的判別從主觀判別變成定量判別，利于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)；

（2）提出一種基于Duffing振子檢測微弱正弦信號(hào)的新方法，仿真分析表明，該方法對(duì)系統(tǒng)相變的判別準(zhǔn)確，對(duì)微弱正弦信號(hào)檢測能力強(qiáng)。因此，該方法具有工程應(yīng)用潛力。

10.3969/j.issn.101- 8972.2016.12.037