高中數學函數圖像變換之對稱性的探究

金來明

摘 要： 函數是高中數學的一個核心知識，也是整個高中數學的基礎.高中階段對函數性質的研究往往是通過研究函數圖像及其變換得到的，利用對稱性往往能更簡捷有效地使問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美.本文主要通過函數自身的對稱性探討與函數對稱有關的性質.

關鍵詞： 函數 圖像變換 對稱性研究

1.函數y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x）（a，b∈R）？圳函數y=f（x）關于直線x=對稱.

證明：？圯設P（m，n）是函數y=f（x）圖像上的任意一點，則 f（m）=n

P（m，n）關于直線x=對稱點為Q（a+b-m，n）

用b-m代換f（a+x）=f（b-x）中的x得f（a+b-m）=f（[b-（b-m）]）=f（m）=n

即點Q（a+b-m，n）在函數y=f（x）圖像上.所以函數y=f（x）關于直線x=對稱.

？坩設P（m，n）是函數y=f（x）圖像上的任意一點，則f（m）=n①

因為函數y=f（x）關于直線x=對稱，

所以P（m，n）關于直線x=的對稱點Q（a+b-m，n）也在函數y=f（x）圖像上

所以f（a+b-m）=n②

由①、②式得f（a+b-m）=f（m）

設b-m=x，得m=b-x，所以f（a+x）=f（b-x）.

2.函數y=f（x）滿足f（a+x）=-f（b-x）（a，b∈R）？圳函數y=f（x）關于點（，0）對稱.

3.若函數y=f（x）圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2|a-b|是其一個周期.

4.若函數y=f（x）圖像同時關于點A（a，0）和點B（b，0）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2|a-b|是其一個周期.

5.若函數y=f（x）圖像既關于點A（a，0）成中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且4|a-b|是其一個周期.

6.函數y=|f（x）|的圖像的作法：作出y=f（x）的圖像，將圖像位于x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，上方的圖像不變.

7.函數y=f（|x|）的圖像的作法（該函數是偶函數）：作出y=f（x）的圖像，將圖像位于軸左邊的圖像擦掉，以y軸為對稱軸將y軸右邊的圖像翻折到y軸左邊，得到y=f（|x|）在y軸左邊的圖像，右邊的部分不變.

以上性質是對函數自身所具有的對稱性進行的闡述，函數的對稱性是數與形的完美結合，而數形結合思想是中學數學的一個重要思想.在教學過程中，教師不僅要應充分挖掘教材中所蘊含的知識，還要引導學生尋找美的東西，讓學生體會數學的美、感受數學的美，從而開闊學生視野，提升學生審美情趣，提高學生學習數學的興趣.