凸分析觀點(diǎn)下的庫(kù)侖摩擦定律

富立 孫舒 巴穎（華北理工大學(xué)理學(xué)院，河北唐山 063000）

凸分析觀點(diǎn)下的庫(kù)侖摩擦定律

富立 孫舒 巴穎
（華北理工大學(xué)理學(xué)院，河北唐山 063000）

以凸分析理論為工具，從非光滑分析的角度分析經(jīng)典的庫(kù)侖摩擦定律。站在更高的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上，重新審視我們熟知的庫(kù)侖摩擦定律，會(huì)有許多新的理解與發(fā)現(xiàn)。采用凸分析理論工具重新認(rèn)識(shí)經(jīng)典的庫(kù)侖摩擦定律。首先介紹凸分析理論的若干基本概念。然后從兩方面對(duì)庫(kù)侖摩擦定律進(jìn)行分析。一方面是摩擦力與速度勢(shì)能的廣義微分關(guān)系；另一方面速度與共軛勢(shì)能的廣義微分關(guān)系。最后給出速度在摩擦力凸集的法錐上以及庫(kù)侖摩擦力與相對(duì)滑動(dòng)方向不一定相反的結(jié)論。

庫(kù)侖摩擦 凸分析 集值函數(shù) 速度勢(shì)能 共軛勢(shì)能

1 凸分析若干基本概念

1.1 集值函數(shù)

集（合）值函數(shù)是函數(shù)概念的擴(kuò)展。集值函數(shù)是定義域與值域之間的多值映射，它將定義域中的點(diǎn)映射為值域中的集合。以集值符號(hào)函數(shù) Sgn（）x為例：

由定義可見(jiàn)，集值符號(hào)函數(shù) Sgn（·）是對(duì)普通符號(hào)函數(shù) Sgn（·）的擴(kuò)展。普通符號(hào)函數(shù) Sgn（·）在 x = 0處的函數(shù)值定義為0；而集值符號(hào)函數(shù) Sgn（·）在 x = 0處的函數(shù)值定義為集合［-1，+1］，在 x = 0處，函數(shù) Sgn（·）的圖形是一條垂直線段，如圖1（a）所示。

在凸分析理論中，函數(shù)在非光滑處的廣義導(dǎo)數(shù)（又稱次微分）定義為左、右導(dǎo)數(shù)之間的取值集合，如絕對(duì)值函數(shù)在 x = 0處的廣義導(dǎo)數(shù)為［-1，+1］。因此，絕對(duì)值函數(shù)（圖1（b））與集值函數(shù) Sgn（x）（圖1 （a））是原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，絕對(duì)值函數(shù)的次微分是集值函數(shù)Sgn（x），如圖1所示。即：

1.2 凸集的示性函數(shù)

凸分析理論中，集合C的示性函數(shù)（indicator function）定義為，

根據(jù)凸分析理論，如果集合C是凸集，則其示性函數(shù)一定是凸函數(shù)，并且示性函數(shù)的次微分恰是凸集的法錐［1］ NC，即：

公式（4）對(duì)凸集建立了分析與拓?fù)鋬蓚€(gè)方面之間的聯(lián)系，在本文的分析中起至關(guān)重要的作用。

2 凸分析觀點(diǎn)下的庫(kù)侖摩擦定律

2.1 經(jīng)典的摩擦定律

1791 年，法國(guó)科學(xué)家?guī)靵鎏岢隽酥膸?kù)侖摩擦定律。

其中， FT表示接觸面切向庫(kù)侖摩擦力， FN表示接觸面的法向反力， μ為摩擦系數(shù)， v表示接觸面切向滑動(dòng)速度。

以下借助凸分析理論工具，采用圖文結(jié)合的方式，以圖2中的四個(gè)集合值函數(shù)為主線對(duì)庫(kù)侖摩擦定律進(jìn)行剖析。如圖2所示。

2.2 摩擦力與速度勢(shì)能

在凸分析觀點(diǎn)下，圖2中的右側(cè)兩個(gè)函數(shù)，即圖2（d）中的摩擦力函數(shù) FT（ v）和圖2（b）中的速度勢(shì)能函數(shù) π（ v）是導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系。如圖2所示。

圖2（d）表示摩擦力 FT是速度 v的集合值函數(shù) Sgn（·）。借助集值函數(shù) Sgn（·），摩擦力 FT可表示為，

根據(jù)式（2），庫(kù)侖摩擦定律可以表示為絕對(duì)值函數(shù)的次微分形式：

定義： π（ v） = μFN|v |，則式（7）可寫(xiě)為，

摩擦力- FT（v）是速度勢(shì)能 π（ v）的次微分，與經(jīng)典力學(xué)中廣義力是勢(shì)能的負(fù)梯度相對(duì)應(yīng)。速度勢(shì)能是勢(shì)能概念的進(jìn)一步推廣。

2.3 運(yùn)動(dòng)速度與共軛勢(shì)能

根據(jù)次微分定義，由圖2不難發(fā)現(xiàn)，圖2（c）中的速度函數(shù) v（-FT）和圖2（a）中的示性函數(shù)ψC（- FT）也是導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系，即T

另外，從圖2橫向看，圖2（c）中的速度函數(shù) v是摩擦力 FT的集合值函數(shù)，與圖2（d）中的摩擦力函數(shù) FT是函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系。因此，圖2（b）中的函數(shù) π（ ·）和圖2（a）中的函數(shù)ψCT（- FT）分別是摩擦力- FT（ v）及其反函數(shù) v（- FT）的原函數(shù)，這種關(guān)系在凸分析理論中被稱為共軛關(guān)系［2］，故函數(shù) π*（·）= ψC T（- FT）為摩擦力的共扼勢(shì)能函數(shù)。

由圖2（a），共軛勢(shì)能函數(shù) π*（·）是定義在摩擦力凸集 CT上的，

共軛勢(shì)能函數(shù)π*（·）就是摩擦力凸集 CT的示性函數(shù)ψC（- FT）。根據(jù)式（4），示性函數(shù)ψC（- FT）的次微分就是摩擦力凸集 CT的法錐。由此得出結(jié)論：速度在摩擦力凸集的法錐上。如圖2所示。

3 庫(kù)侖摩擦力與運(yùn)動(dòng)方向相反嗎

考慮二維摩擦情形，如圖3所示。對(duì)于各向同性（沿各方向的摩擦系數(shù)相同）的理想情況，摩擦力集合是一個(gè)圓，如圖3（a）。由凸分析中法錐的定義，圓內(nèi)的點(diǎn)，法錐為零，表示當(dāng)摩擦力小于最大摩擦力時(shí)，速度為0。圓外的點(diǎn)法錐不存在，說(shuō)明摩擦力不能大于臨界值。圓邊界上的點(diǎn)，法錐就是圓的外法線。速度在摩擦力凸集的法錐上，因此速度方向與摩擦力方向相反。

實(shí)際問(wèn)題中沒(méi)有絕對(duì)的各向同性摩擦。圖3（b）中的摩擦力集合是橢圓，顯然為各向異性的情況。由法錐的定義，橢圓內(nèi)的點(diǎn)，法錐為零，表示速度為0。橢圓外的點(diǎn)法錐不存在，說(shuō)明摩擦力不能超越臨界值。橢圓邊界上的點(diǎn)，法錐就是橢圓的外法線。速度在摩擦力凸集的法錐上，表示速度方向沿著橢圓的法線方向。在一般情況下，橢圓的法線與半徑不在一條一直線上，即速度方向與摩擦力的方向不在一條直線上，它們之間的夾角不等于 π，因此摩擦力并不與運(yùn)動(dòng)方向完全反向。

雖然摩擦力不與速度方向完全反向，但它在速度方向上的投影依然與速度方向相反，即在物體相對(duì)滑動(dòng)過(guò)程中摩擦力總是做負(fù)功的。在這個(gè)意義上，摩擦力還是和運(yùn)動(dòng)方向相反的，只不過(guò)這個(gè)反向的概念是對(duì)以前嚴(yán)格反向概念的進(jìn)一步擴(kuò)展。

進(jìn)一步地，對(duì)給定的相對(duì)滑動(dòng)速度 v，其對(duì)應(yīng)的摩擦力 FT使內(nèi)積-FT·v 達(dá)到最大值，參見(jiàn)圖3（b）。由圖3（b），滑動(dòng)速度矢量 v在摩擦力凸集C的邊界上確定了唯一的切平面， n是該切平面的單位法向量。在摩擦力凸集C的范圍內(nèi)，真實(shí)的摩擦力 FT使得-FT在法向上 n的投影達(dá)到最大值，即使得耗散功率-FTv達(dá)到最大值。這一規(guī)律稱為最大耗散原理［1，2］，它是庫(kù)侖摩擦定律的另一種表述。如圖3所示。

4 結(jié)語(yǔ)

以凸分析理論為工具重新認(rèn)識(shí)經(jīng)典的庫(kù)侖摩擦定律。新的數(shù)學(xué)理論工具使得原有的概念和理論得到擴(kuò)展，如函數(shù)的概念擴(kuò)充為集合值函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的概念擴(kuò)充為廣義導(dǎo)數(shù)或次微分，勢(shì)能的概念擴(kuò)展為速度勢(shì)能及共扼勢(shì)能等等。由共軛勢(shì)能與速度的微分關(guān)系，滑動(dòng)速度必在摩擦力凸集的法錐上，由此有以下結(jié)論，對(duì)各向同性摩擦，摩擦力與滑動(dòng)速度反向；對(duì)各向異性摩擦，摩擦力與滑動(dòng)速度不再嚴(yán)格反向。但庫(kù)侖摩擦力依然做負(fù)功，符合最大耗散原理。

［1］伯特塞卡斯.凸分析與優(yōu)化［J］.清華大學(xué)出版社，2006.

［2］科拉克.非光滑分析和控制論［J］.世界圖書(shū)出版公司，2009.

In theory， convex analysis tools， from the perspective of a non-smooth analysis， analysis of classical Coulomb friction law.Standing on a higher mathematical theory， to re-examine our well-known Coulomb friction law， there will be many new understanding and discovery.Convex analysis using theoretical tools rediscover classical Coulomb friction law.First introduced some basic concepts of the theory of convex analysis.Then two aspects Coulomb friction law analysis.On the one hand is the relationship between generalized differential friction and speed potential energy； the other hand， the speed of the conjugated generalized differential relations potential energy.Finally， the speed of the cone friction law convex sets and Coulomb friction relative sliding direction is not necessarily the opposite conclusion.

Coulomb friction； convex analysis； set-valued function； speed potential； conjugate potential

富立（1965—），男，北京人，博士，副教授，研究方向：多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、非線性動(dòng)力學(xué)。