《中心對稱圖形
——平行四邊形》測試卷參考答案

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《中心對稱圖形
——平行四邊形》測試卷參考答案

19.四邊形AEDF為菱形.

證明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形.又∵AD平分∠BAC，∴∠1= ∠2，∵DE∥AC，∴∠2=∠EDA，∴∠1=∠EDA，∴AE=ED，∴平行四邊形AEDF為菱形.

20.（1）證明：∵在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，又∵CE=CG，∴△BCG≌△DCE（SAS）.

（2）由（1）得：BG=DE，∵由旋轉得：△DAE′≌△DCE，∴DE′=DE，AE′=CE，∴DE′= BG，AE′=CG，又∵正方形ABCD中，AB=CD，∴BE′=DG，∴四邊形E′BGD是平行四邊形.

21.∵在矩形ABCD中，∠ABC=90°，又∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB=∠MFB=90°，四邊形EBFM為矩形.又∵BM平分∠ABC，ME⊥AB，MF⊥BC，∴ME=MF，∴矩形EBFM為正方形.

22.（1）證明：∵在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ABP=90°，又∵BF=BP，∴△BCF≌△BAP（SAS），∴CF=AP.∠BFC=∠BPA.又由旋轉得：∠EPA=90°，PA=PE，∴PE=CF.∵∠BFC+∠BCF=90°，∴∠BPA+∠BCF=90°，∴∠BPA+∠EPA+∠BCF=180°，∴PE∥CF.∴四邊形PCFE為平行四邊形.

（2）四邊形PCEF是平行四邊形.

證明：同（1）得：△BCF≌△BAP，∴∠BCF=∠BAP，AP=CF.由旋轉得：AP=PE，∠EPA=90°，∴PE=CF.∴∠BPE+∠BPA=90°，∵在△ABP中，∠ABP=90°，∴∠BAP+ ∠BPA=90°，∠BPE=∠BAP，∴∠BPE=∠BCF，∴PE∥CF，∴四邊形PCFE為平行四邊形.

23.（1）證明：在△ABC和△ADC中，AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）.∴∠BAC=∠DAC，又AB=AD，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠BFA=∠DFA，∵∠CFE=∠BFA，∴∠AFD=∠CFE；

（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴DC=DA，∴AB=AD=DC=CB，∴四邊形ABCD是菱形.

（3）當BE⊥CD時，∠EFD=∠BCD.證明：∵菱形ABCD中，∠BCA=∠DCA，又BC=DC，CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∠CBF+∠BCD=90°，∠EFD+ ∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BCD.

24.（1）證明:①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足為O，∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，

∴四邊形AFCE為平行四邊形.

又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形.

②設菱形的邊長AF=CF=x cm，則BF=（18-x）cm，

1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.D 7.C 8.C

在Rt△ABF中，62+（18-x）2=x2，

解得x=10，∴AF=10 cm.

（2）①顯然當P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形；同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上，也不能構成平行四邊形.因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形.

∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，

∵點P的速度為每秒10 cm，點Q的速度為每秒6 cm，運動時間為t秒，

∴PC=10t，QA=24-6t，

②由題意得，以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應邊上.

分三種情況:

ⅰ）如圖1，當P點在AF上、Q點在CE上時，AP=CQ，x=24-y，即y=24-x，

ⅱ）如圖2，當P點在BF上、Q點在DE上時，AQ=CP，24-y=x，即y=24-x，

ⅲ）如圖3，當P點在AB上、Q點在CD上時，AP=CQ，24-x=y，即y=24-x.

綜上所述，x與y滿足的函數關系式是y=24-x.

圖1

圖2

圖3