整體出發 事半功倍

薛秋萍

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整體出發 事半功倍

薛秋萍

我們常說，在一個集體中一定要有整體觀念，其實在數學問題的解決中，整體化的思想也是很重要的.從整體上把握解決問題的方向，往往可以尋找到突破口，避免繁雜的計算，收到事半功倍的效果.整體思想在本章中有廣泛的應用，現舉例說明.

一、整體思想在整式乘法中的運用

例1計算：（1）（x+y-1）（x+y+1）；

（2）（x-2y+z）（x+2y-z）；

（3）（a-2b+3c）2.

【分析】（1）中是兩個三項式相乘，可以用乘法分配律進行運算，但比較麻煩.如將x+y看作一個整體，就可用公式；（2）中若把2y-z視為整體，那么-2y+z=-（2y-z）；在（3）中，只要先將a-2b整體作為一項，就可直接用完全平方公式.

【反思】當相乘的多項式是兩個三項式，且除了符號其他都相同時，可以“整體”地把符號相同的看作一“項”，把符號相反的看成另一“項”；應用（3）的方法，很快就能得到一個重要而實用的公式：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

二、整體思想在因式分解中的運用

例2分解因式：（x2-2x）（x2-2x+2）+1.

【分析】若把兩個二次多項式x2-2x、x2-2x+2相乘，則將得到一個四次多項式，這時再分解因式就十分困難.但若把x2-2x視為一個整體A，原式就變形為關于A的二次多項式，問題就容易解決了.

【反思】本題看似超出了學習的范圍，但當把x2-2x看作整體時，就轉化成了我們熟悉的二次三項式的簡單分解.

同學們可依此法分解：（x+1）（x+2）（x+ 3）（x+4）+1.

【提示】先分別計算（x+1）（x+4）和（x+ 2）（x+3），問題就轉變成了本例.

三、整體思想在求代數式值中的運用

例3（1）已知：x2-1=2x，求（x-1）（3x+ 1）-（x+1）2的值.

（2）已知：a+b=7，ab=12.

求：a2+b2，（a-b）2的值.

【分析】對于（1），把式子作適當變形后把x2-2x看作一個整體，求出x2-2x=1，再將其代入化簡后的代數式很容易得到結果.

對于（2），要求代數式的值，最基本的思路是先求出a、b的值，但求解困難并使問題復雜化.如果我們對代數式先進行化簡或變形，然后把a+b與ab看作一個整體，進行整體代入，則問題就會變得非常簡單.

【反思】在（1）中，同樣可以運用降次的思想，把x2-1=2x轉化為x2=2x+1，再代入2x2-4x，得2（2x+1）-4x=2.

在（2）中，關鍵是將所給式用整體a+b、ab來表示.

這里用了常見的基本結論：

（a-b）2=（a+b）2-4ab或其變形.

例4（1）設a-b=3，b-c=-2，求代數式3（a-c）2+2（c-a）-5的值.

（2）已知a=2016x+20，b=2016x+19，c= 2016x+21，則a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是多少？

【分析】（1）已知條件中有三個字母a，b，c，無法求出它們的具體值，而所求式只與a-c整體有關.故有：由a-b=3，b-c=-2得：

（2）若把a，b，c直接代入式子，計算十分煩瑣.但從整體出發，可迅速得到：

a-b=1，a-c=-1，b-c=-2.

而所求式可用完全平方公式改寫為：

【反思】兩小題我們都是用“整體思想”來審視條件和結論（式子），并找到了它們的“聯系點”，才使問題得到快速的解決.

（作者單位：江蘇省太倉市第二中學）