整式乘法與因式分解易錯題問診

鮑文碐

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整式乘法與因式分解易錯題問診

鮑文碐

整式乘法運算和因式分解是基本而重要的代數知識，是進一步學習分式和根式運算、函數等知識的基礎，在后續的學習中具有重要意義.同時，這些知識還是學習物理、化學等學科不可缺少的數學基礎知識.但同學們在進行整式乘法與因式分解時，常常會出現這樣或那樣的錯誤.為了幫助同學們盡可能地避免錯誤，及時走出誤區，現就常見錯題展示問診.

例1計算：（2x3y）2（-3x2y3z）.

【錯解一】原式=2x6y2（-3x2y3z）=-6x8y5z.

【錯解二】原式=4x6y2（-3x2y3z）=-12x8y5.

【錯因問診】錯解一的病因：積的乘方法則未理解，應將每個因式分別乘方，尤其是數字因數.

錯解二的病因：計算結果丟掉了字母z.

【點評】單項式乘單項式，若運算中含有乘方運算，應先算乘方，再進行單項式的乘法運算.

例2計算：-3x（x2-xy+1）.

【錯解一】原式=-3x3-3x2y+3x.

【錯解二】原式=-3x3+3x2y.

【錯因問診】錯解一的病因：忽略了單項式“-3x”的符號.

錯解二的病因：單項式乘多項式的法則沒有掌握，要用-3x乘多項式的每一項，-3x與常數項1漏乘了.

解：-3x（x2-xy+1）=-3x3+3x2y-3x.

【點評】單項式與多項式相乘，一要注意符號的確定，二要注意用單項式分別乘多項式的每一項，尤其不要漏乘常數項.

例3計算：（3a-2b）（5a+3b）.

【錯解】原式=15a2+6b2.

【錯因問診】多項式的乘法法則未掌握，第一個多項式中的每一項要分別乘第二個多項式的每一項.本題兩項的多項式乘兩項的多項式時，應得四項，然后再進行合并同類項.

【點評】多項式乘多項式要注意以下幾點：

1.不重不漏.

2.注意符號.

3.結果中有同類項，要注意合并同類項.

例4運用公式計算（-2x-3y）（3y-2x）.

【錯解】原式=（3y）2-（2x）2=9y2-4x2.

【錯因問診】未理解公式（a+b）（a-b）= a2-b2中a和b的本質.這里的-2x相當于公式中的a，而3y則相當于公式中的b.錯解把a、b的位置顛倒了.

例5計算：（-2x-3y）2.

【錯解一】原式=（2x+3y）2=4x2+9y2.

【錯因問診】錯解一的病因：完全平方公式混淆未理解，要注意（a+b）2≠a2+b2（a≠0，b≠0）；

錯解二的病因：1.誤認為-2x-3y是兩數之差，選擇了差的平方公式，實際上-2x -3y與2x+3y互為相反數，應選用和的平方公式.2.“2倍乘積項”未理解，這些都是同學們常會出現的錯誤.

例6計算：（x-2y+3z）（x+2y-3z）.

【錯因問診】誤認為可以利用公式（a+ b）（a-b）=a2-b2，而實際上2x+y與2x-y并不滿足公式中的a.

【點評】應用平方差和完全平方公式，首先必須牢記完全平方公式、平方差公式，其次分析多項式的特點是否符合公式的條件，最后運用時要分清公式中的兩數是指哪兩個，尤其是經過適當變形后才能應用公式的更應注意，這樣才能正確靈活地解題.

例7因式分解：3x2-6xy+x.

【錯解一】原式=x（3x-6y）+x.

【錯解二】原式=x（3x-6y）.

【錯因問診】錯解一的病因：因式分解的定義沒有掌握，因式分解要求的最終結果是寫成整式的乘積形式，上題中的結果是和的形式，只顧前不顧后.

錯解二的病因：“1”作為單獨一項時，在因式分解中不可漏掉.

解：3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）. 例8因式分解：4x4-8x2+4.

【錯因問診】錯解一的病因：因式分解的基本步驟未掌握.應首先考慮提公因式法，然后考慮用公式法.正是因為未將公因式提出，而導致分解不徹底.

錯解二的病因：分解不徹底.最后要再檢查所得結果是否分解徹底，否則就前功盡棄..

（作者單位：江蘇省太倉市實驗中學）