談“冪的運算”中的整體思想

丁麗

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談“冪的運算”中的整體思想

丁麗

整體思想就是通過研究問題的整體形式、結構、特征，從而對問題進行整體處理的解題思想.如：整體代入、整體加減、整體代換等.

一、課本例題

七年級下冊蘇科版數學教材第八章冪的運算，教材第47頁例1第4小題.

計算：（m+n）3·（m+n）2.

【分析】同底數冪的乘法法則是：同底數冪相乘，底數不變，指數相加.

公式為am·an=am+n（m、n是正整數）.

本題應用了整體的數學思想，把（m+ n）看成“a”.

公式中的“a”可以表示任何實數，也可以表示單項式或者多項式.

二、例題變形

1.計算：（x-2y）2·（x-2y）m-1.

【分析】和教材中例題相比較，本題中指數含有字母.解法相同，把（x-2y）看成一個整體，利用法則：底數不變，指數相加.

2.計算：（x-2y）2（2y-x）3.

【分析】首先把（x-2y）和（2y-x）都看成整體.同底數冪的乘法前提必須底數相同，如不同應化為相同.題中（x-2y）2可化為（2y-x）2，或者把（2y-x）3化為-（x-2y）3.

題中兩種方法所得的結果本質是相同的，因為互為相反數的奇次冪仍互為相反數.但是兩種方法相比，我們更傾向于方法一，省去了變號的麻煩.

3.計算：（x-2y）（2y-x）3（x-2y）5.

【分析】題目中有一個（2y-x），兩個（x-2y）.我們選擇將（2y-x）化為-（x-2y）.

由這幾道題目，我們應該能夠掌握同底數冪的乘法中底數為多項式的形式的計算了.下面我們來看看其他冪的運算的整體思想的運算.

三、同類問題

1.計算：（a-b）n［（b-a）n］2.

【分析】本題將（a-b）看成整體，先運用冪的乘方計算［（b-a）n］2=（b-a）2n，題目化簡為（a-b）n（b-a）2n，通過前面的例題變形可以知道（b-a）2n=（a-b）2n，最后運用同底數冪的運算.

2.計算（a-b）8÷（b-a）3÷（a-b）4.

【分析】本題先將底數化成相同，再運用同底數冪的除法運算，和例題變形中的第三題類似.

方法二：

三、例題延展——整體代入

已知2x-4y-8=0，a=2，求ax÷a2y.

【分析】由2x-4y-8=0，等式兩邊同時除以2，得：x-2y-4=0，所以x-2y=4，再根據同底數冪的除法運算ax÷a2y=ax-2y，最后代入求值即可.

解：因為2x-4y-8=0，

所以x-2y-4=0，即x-2y=4，

所以ax÷a2y=ax-2y=a4=24=16.

我們從課本上的例題出發，重點談了公式中整體思想的運用.這只是冪的運算中運算法則整體思想的使用，在以后的學習中大家還會遇到很多需要運用整體思想解決的題目，比如例題延展中的整體代入方法.

（作者單位：江蘇省泰州中學附屬初級中學）