認清本質 靈活運用 突破難點

張曉東

?

認清本質 靈活運用 突破難點

張曉東

整式乘法和因式分解是在整式這部分內容中最重要的兩個知識，要正確地運用相關知識進行整式乘法和因式分解，除了要理解定義內涵之外，還要認清整式乘法和因式分解的本質.下面就和同學們就這部分中的符號問題、項數問題、正確區分兩者之間關系及靈活運用四方面的難點進行剖析，希望對大家的學習有所幫助.

一、正確處理符號

例1計算：（-x-3y）（x-3y）.

【分析】要正確計算本題的關鍵是要處理好符號，把它變形成為完全符合平方差公式的形式.觀察發現第一個括號內兩項都是負的，所以可以考慮提出負號，變形成為-（x+3y）（x-3y），這樣對應到平方差公式中“a”就是x，“b”就是3y；從另外一個角度看，兩個括號內3y項的符號相同、x項符號相反，所以可以考慮交換兩項位置讓其滿足平方差公式.

【點評】解答此類題目的關鍵是滿足公式的形式，符號上必須滿足和乘差才能運用平方差公式.當然，如果沒有看出可以變形后運用公式，那就老老實實用整式乘法中多乘多的方法，一項一項相乘也是可以得到結果的.

例2計算：（-x-3y）2.

【分析】這個整式乘法明顯符合完全平方公式，在計算中關鍵是符號的處理.我們可以把它看成為-x與3y差的平方，亦可以利用（-a）2=a2這一恒等式，把式子轉化為（x+ 3y）2去計算.

【點評】此類問題要求我們除注意公式的結構特點外，還要注意靈活處理式子中的符號.

例3因式分解：-x2+16y2.

【分析】多項式有兩項，而且兩項是平方形式，形式看起來不符合公式的特點，但兩項符號是一正一負，所以只要調整兩項位置或提取負號，就可以用平方差公式進行因式分解了.

【點評】平方差公式用來分解兩項的多項式，但多項式必須滿足兩項可以寫成平方形式，且兩項符號要相反.只有通過相應的調整及提取符號，將形式變為和公式完全一致，分解起來才得心應手.

二、正確尋找“a”與“b”

例4計算：（x+3y-4）（x-3y+4）.

【分析】本題是兩個三項式相乘，和公式不太匹配（公式中只有兩項），觀察發現兩個括號中第一項符號完全相同，可以看成公式中的“a”，二、三項符號相反，我們可以把后兩項添括號后看成公式中的“b”，這樣就符合了平方差結構特點.

【點評】兩個公式中的“a”與“b”可以是單項式，也可以是多項式，在碰到三項乘三項時，我們要注意觀察符號的特點（一同兩反或一反兩同），通過添括號把三項轉化成兩項，進而用公式進行計算.

例5計算：（x+y-1）2.

【分析】若將其中兩項看成一項，即符合完全平方結構，即數學中的“整體思想”的體現.

【點評】此題還可以把后面兩項添括號得［x+（y-1）］2，再把x和（y-1）看成為公式中的“a”與“b”，兩種不同處理方法的本質是一樣的，都是要把三項變為兩項.有些同學錯誤地把這類計算直接算成為x2+y2-1，這是把本題和積的乘方性質混淆了.

三、靈活運用整式乘法和因式分解

例6計算：（x-y）2-（x+y）2.

【分析】本題可以用完全平方公式將前后兩部分展開，再進行整式加減運算.也可以把整個式子看成為x-y與x+y平方差形式，運用平方差公式寫成乘積形式后進行合并，再去括號.

解：方法一：

【點評】在動筆做題前，大家首先要看清題目要求是計算，也就是最后結果中是沒有括號的.很多沒有看清楚的同學往往以為是因式分解問題.當然，方法一是本題的常規的做法，方法二是靈活的做法.

例7計算：512-51.1×50.9.

【分析】觀察發現，將51.1和50.9分別寫成51+0.1、51-0.1，就能產生平方差公式的結構.

【點評】靈活運用整式乘法和因式分解是這部分的難點，本題的突破口在于要觀察到51.1和50.9的平均數正好是前面的底數51.如果用死算的方法做這道題，不僅計算量大，而且容易出錯.

四、處理好幾個代數式的關系

例8已知a+b=10且ab=4，求a2+b2.

【分析】此題求解的是與a2+b2有關的結論，已知條件為a+b=10，很自然會想到完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2.

【點評】解決好此類問題的關鍵是要處理好“四兄弟”：a+b、a2+b2、ab及a-b之間的關系，常用的變形公式有：

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪實驗中學）