一種運算和一個手段——整式的乘法與因式分解概念解讀

張曉東

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一種運算和一個手段——整式的乘法與因式分解概念解讀

張曉東

本章的主要內容是整式的乘法運算（包括整式乘法的簡便運算：乘法公式）、因式分解.整式乘法是整式的一種運算，因式分解是對整式進行處理的一種手段，這些運算及手段是以后學習分式和根式運算的基礎.

一、整式的乘法

整式的乘法是在前面學習了整式加減運算后的另一種整式運算.前一章所學習的冪的運算性質：同底數冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎.整式乘法具體內容包括單項式乘單項式、單項式乘多項式以及多項式乘多項式.

單項式與單項式相乘原則：結果還是單項式；方法：把單項式中能乘的進行乘法運算（把系數相乘，相同字母分別相乘），不能乘的照搬（對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式）.

單項式乘多項式根據數字計算中乘法分配律，將單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積（單項式）相加.實質是單項式與單項式乘法.

多項式與多項式相乘用多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積（單項式）相加.其實質也是轉化為單項式與單項式相乘.在沒有合并同類項之前，所得多項式項數為各多項式項數之積.

二、乘法公式

乘法公式是多項式乘多項式的簡便運算方法.當多項式乘多項式出現特殊形式時，運用乘法公式能迅速而簡潔地進行一些整式相乘的運算.

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

公式的特征：平方差公式的左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數.平方差公式右邊是兩項平方差的形式.

完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

公式的特征：完全平方公式的左邊是括號內兩個式子和（差）的平方（完全平方），完全平方公式的右邊是一個二次三項式，首尾是這兩個式子平方和，中間是這兩個式子積的2倍，符號和左邊括號內一個樣.

三、因式分解

分解因式是處理代數式的一種手段，不是目的.分解因式的思路和方法始終貫穿在數學變換中，通過分解因式將多項式合理變形，是求代數式的值的常用的解題方法，許多有關整式、分式以及二次根式的化簡與計算都離不開分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的關系.因式分解是否正確可以用整式乘法去檢查.同學們在學習時必須能夠弄清兩者的區別和聯系.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.

分解因式基本概念：

1.把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫作把這個多項式分解因式.其是：多項式、整式、積.

2.因式分解和整式乘法是互逆的關系.整式乘法是積化和差；因式分解是和差化積.

因式分解的解題步驟與注意點：

1.看各項有沒有公因式，若有，先提取公因式；

2.再看能否使用公式法；

3.因式分解的最后結果必須是幾個整式的乘積，否則不是因式分解；

4.因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數范圍內不能再分解為止.

因式分解的基本方法

1.提公因式法

概念：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫作提公因式法.例如：ab+ac=a（b+c）.

概念內涵：

（1）因式分解的最后結果應當是“積”，n項式=公因式×新的n項式；

（2）公因式可能是單項式，也可能是多項式；

方法：

（1）找多項式中的公因式方法：公因式的構成一般情況下有三部分：①系數——各項系數的最大公約數；②字母——各項含有的相同字母；③指數——相同字母的最低次數；

（2）提公因式法的方法：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項.

2.公式法

概念內涵：

（1）運用公式法分解因式的實質是：把乘法公式反過來使用.常用的公式：

①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

（兩項都是一個整式的平方，且兩項是異號）

②完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2、a2-2ab+b2=（a-b）2

（有三項，兩個平方項符號相同，另一項是前兩項冪的底數乘積的2倍，符號可正可負）

方法：

（1）把多項式寫成為平方差及完全平方公式的形式；

（2）熟悉公式的結構特點，找出公式中a、b所代表的數和代數式；

（3）根據公式寫出積的形式.

因式分解中需要注意的幾個問題

2.要把整個多項式化為幾個整式的積，而不是把部分化為積的形式.

如：a2-6a+9=a（a-6）+9這不是因式分解的答案，正確的應該是：a2-6a+9=（a-3）2.

3.多項式中某一項恰為公因式，提出后，括號中這一項為1，不能漏掉.

如：x2y+xy2-xy=xy（x+y）是錯誤的，括號內漏了-1這一項，正確的應該是：x2y+xy2-xy= xy（x+y-1）.

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪實驗中學）