小學數學典型錯例分析及矯正策略

小學數學典型錯例分析及矯正策略

編者按：學生在學習數學的過程中，不可避免地會出現一些錯誤。作為教師，我們不僅要寬容學生的錯誤，更要對其進行全面的診斷和分析，讓錯題成為學生進行再度探究的學習資源，成為教師反思自己教學得失的載體。

數與代數

【錯例】

【診斷】

1.運算習慣欠佳。學生缺乏良好的審題習慣，拿到習題，沒有仔細分析題目特點，理清運算順序，而是盲目計算。

2.算式結構干擾。第1題學生是被運算符號呈現的結構性對稱所干擾，忽略了同級運算要“從左到右依次計算”的法則，此類題作為“直接寫得數”的題目錯誤率會比脫式計算要高。第2題學生顯然知道應用乘法分配律來簡算，但是展開時另一個因數沒有乘括號外的因數，大多是受到和分母相同的影響。

【對策】

1.注重培養習慣。混合運算的教學中應注重培養學生養成“一看、二慢、三通過”的運算習慣。一看，即看清題目要求，看準數字及運算符號；二慢，不急于動筆計算，要明確運算順序，在需要變一變的地方想清楚根據；三通過，就是細心計算，必要時用好草稿本。對于“能簡算的要簡算”等要求保持冷靜，不能“瞎簡算”。

2.促進算理建構。教學乘法分配律不是一蹴而就的，前期要多滲透，多積累；中期要多體驗，多變式；后期要多推進，多交流。乘法分配律的應用從整數擴展到小數和分數時，也要給足時間，逐步深化理解。在解決實際問題中，要有意識地通過一題多解，溝通算理，生成新的感悟和體驗。

3.加強題組辨析。精心設計題組練習，堅持一題多變，一題多練，呈現不同的習題構成，用類似的題目盡可能揭示可能的解題錯誤。如：和（100-1）和25×100-1等。

【錯例】

【診斷】

2.屬性解讀不準。第2題的錯誤在于6+x≠6x，6是已知數，x是未知數，兩者屬性不同，兩者是相加關系，不是相乘關系，不能變成6x，也有學生這里出現7x的錯誤，原因與之相同。

【對策】

1.把握解法依據。利用等式的性質解方程，是當前小學階段較為通行的做法。其目的是等式一側的簡化，使之只剩下x。含有未知數的項可以出現在等號的左邊，也可以在右邊。教師要提供給學生多種形式的方程，如2x+1.2=3.6、8x=25+3x、9x=81、0.42-0.14=7x等，讓學生利用等式的性質對方程進行變換，防止思維定勢的形成。同時，也要重視減法和除法各部分之間的關系，減數=被減數－差、被減數=差+減數；除數=被除數÷商、被除數=商×除數。如24-x=9、10÷x=5、2.8-0.4x=1等。

2.強調檢驗回顧。使方程左右兩邊相等的未知數的值才是方程的解，能不能滿足兩邊相等，需要將所求得的未知數的值代入原方程檢驗。可以說，檢查驗算是解題活動中的重要環節，是正確解題的保障。實際上相當多學生怕麻煩，不能自覺去檢驗。教學中，一方面規范檢驗過程，教會檢驗方法，另一方面時刻強調檢驗，多采取口頭說一說的研究方式，培養檢驗意識。當檢驗發現求解錯誤了，提醒學生不要急忙擦去重做，而應先排查什么地方有錯，想明白錯誤原因，然后再有根有據、有條有理地解答。

3.溝通多種方法。解方程時，思路常常不是唯一的。學生多掌握一種思想方法，就會多一份解決問題的底氣。如（6+x）×5=150，第一步可以兩邊同時除以5，得6+x=30，解得x=24；也可以將方程左邊展開得到6× 5+x×5=150，變成30+5x=150，5x=120，解得x=24。呈現不同的解題思路之后，還要注意分析方程變形的依據和聯系，從而實現立體式的數學學習。

【錯例】

1.男生人數比女生人數多25%，那么，女生人數比男生人數少（25）%。 2.一列火車每小時行130千米，比一輛汽車快。這輛汽車每小時行多少千米？

答：這輛汽車每小時行91千米。

【診斷】

1.相差關系負遷移。第一學段學習中學生接觸了大量的兩個量相差關系問題，積累了形如“甲比乙少5個”則“乙比甲多5個”的經驗。這種經驗對于“一個數比另一個多（少）幾分之幾”的干擾是潛在的。第2題是將“火車比汽車快3”錯誤理解成“汽車比火車慢3”。1010兩題錯誤本質上是相同的。學生變換比較時忽視了單位“1”的不同。

2.理解分率不到位。這類錯題中學生顯然缺乏對分率正確而細致的解讀。男生人數比女生人數多25%，這個25%是女生人數的25%，完整的說法是“男生比女生多的人數相當于女生人數的25%”，即（男生人數-女生人數）÷女生人數。“女生人數比男生人數少百分之幾”，意思是“女生比男生少的人數相當于男生人數的百分之幾”。

【對策】

1.找準關系，靈活轉化。百分數也叫百分比。抓住百分數與比的聯系，對關系句進行多種表述的轉化，是對百分數意義的強化，也是有遠見的拓展。男生人數比女生人數多25%→男生人數是女生的125%→男生人數與女生人數的比是125∶100（或者最簡整數比5∶4）→女生人數與男生人數的比是4∶5→女生人數是男生人數的即80%）→女生人數比男生少20%。這樣一步步轉化，思路簡易，脈絡分明。

2.借助圖示，落實方程。列方程解決實際問題是五六年級才學習的，此前長期使用算術方法。在最初學習列方程解法時，因為書寫繁瑣，影響了學生對方程解法的正確認識。教師應該站在小學與初中銜接的高度看待方程的價值，著力展現方程解法的優勢。通過畫圖，表現出事件演變，從開始到結束理出進程，辨析起始條件是否已知，如果條件未知時引入字母來表示未知數即可，就把數學問題轉化為代數問題了。

【錯例】

a、b是互質數，a和b的最小公倍數是（a），最大公因數是（b）。

【診斷】

1.概念不清。“數的整除”單元概念術語多，內容抽象，文字表述上又多有相近和相似之處，學生容易混淆，不易掌握，從而產生不少錯誤。此題中，學生顯然對“互質數”是無視或遺忘的，對最小公倍數和最大公因數的知識點也無從想起。

2.字母影響。最大公因數、最小公倍數的知識點在分數的約分、通分、化簡比等后續學習及練習中不時會用到，不過面對的數值都是具體數。筆者跟蹤調查發現，此題改成具體數后學生的錯誤率直線下降。如：5和8的最大公因數是（），最小公倍數是（）。

【對策】

1.利用思維導圖，形成知識網絡。新授時教師要扎實組織好學生理解每一個概念，每一課時內容都安排相應的知識承包人，不同的負責人尋找并展示交流不同概念之間的聯系。如：因數倍數組，奇數偶數組，質數合數組等。這樣保證第一時間把知識學對學會。單元整理復習中建議利用思維導圖，理清每一個知識點的衍生情況，理清眾多概念的聯系及區別，最后幾個小組通力合作，繪制本單元知識樹，構建完整的知識網絡。

2.用好錯題資源，設計開放練習。平時教師應精心采集班級學生中真實的錯例，復習前認真辨析學生所犯的錯誤，排除偶然的錯誤和小眾的錯誤，找出一錯再錯的頑固性、普遍性的問題，發動學生分析其內在機制。隨后找出知識點之間的銜接和發展、聯系和區別，抓住核心問題，在宏觀整合方面下足工夫。設計開放性的問題，在學生你說我說的交流、較量、思辨、碰撞中喚醒知識印象，進一步培養學生的數感。

【錯例】

【診斷】

1.缺乏解題反思。榨油問題的基本常識是油的質量應遠小于原料的質量。而此題答案“1噸花生可以榨油噸”顯然是不合常理的。如果學生能夠把答句寫完整再讀一讀，這種錯誤是能夠被發現和改正的。

2.數量關系混亂。受分數的干擾，學生沒有仔細把握數量之間的關系，表現為思維時的慌忙和混亂。求“1噸花生可以榨油多少噸”與“求花生的出油率”解題思路一致，遺憾的是，學生解題過程中所想太死板，并不能清晰地辨別“油的質量÷花生的質量”與“花生的質量÷油的質量”兩者的不同。

【對策】

1.列表整理，理解聯系。在教學這類除法問題時，首先要堅持列表整理，弄清楚條件與問題中包含哪兩種相關聯的量，這兩種量的變與不變是什么。

2.調查交流，形成印象。在教學百分率時，可以再次提及這類問題，開展課后調查及交流展示，豐富學生對油料作物出油率的了解。如，我國常用的油料有：芝麻、花生、油菜籽、大豆、棉籽、核桃仁、葵花籽、山茶籽等。其出油率參考值為：芝麻45%～55%，花生40%～50%，油菜籽30%～45%，大豆12%～18%，棉籽11%～25%，核桃仁60%～70%，葵花籽50%～55%，山茶籽26%～38%。采用家用榨油機壓榨，出油率一般比理論值要低5%左右。

3.緊扣對應，探究多解。上面的問題中條件、問題中所含的兩個比的比值是相等的。因為是同一種花生，出油率相同。設1噸花生可以榨x噸油，可以列出的比例有：等。利用比例的基本性質都得到1x= 10，可謂殊途同歸，最后解得x=。比例的解法還可以擴展到很多類似的情境及問題。如“一輛汽車行千米用汽油升，行1千米用汽油多少升？1升汽油可供這輛汽車行多少千米？”總復習時，教師要堅持融合與創新，不能滿足學生已經學會某類問題的特定思路，必須不斷地在多樣的知識方法框架下審視此前的一些問題，化繁為簡，讓學生習得更加簡易、更加清晰的解決方案，增強學生進一步學好數學的信心。

【錯例】

一項服裝加工出口任務，甲車間獨立完成需要8天，乙車間獨立完成需要10天。現在由甲、乙車間共同完成，一段時間后乙車間另有安排，剩下的由甲車間接著完成，又用了4天。完成任務一共用了多少天？

【診斷】

1.問題解析不到位。學生對于“完成任務一共用了多少天”缺乏準確的判斷，錯解一是在合作完成的天數上又加上剩下的甲獨做的天數；錯解二是僅僅考慮了甲、乙共同做的天數。此題中施工情況可以分為兩種，在同一時間內，一種是一個車間在做，另一種兩個車間都在做這個任務。不管是甲、乙先共同做然后甲接著做，還是甲先做然后甲、乙再共同做，對應的總天數是一樣的，因為甲從頭到尾都在做這個任務，乙參與部分時間，也就是說，甲工作的時間也就是一共的天數，乙參與的時間比甲少四天。

2.找不準合作總量。在工程問題中，都是把工作總量視為單位“1”，基于這個前提，才有了甲、乙各自的幾分之一的工作效率。而錯解前兩種所求天數對應的工作總量是大于1的，第三種錯解中天數所對應工作總量小于1。從糾錯難度看，錯解三訂正的難度最小。

【對策】

1.回歸生活，實現推演。教師從“最近發展區”入手，精心設置臺階，在已知與未知之間鋪路搭橋，減緩學生理解掌握新知的坡度。從具體的工作總量入手，理出解題基本思路，即：合作的工作總量÷工作效率的和=合作完成天數。如，新修一條長6000米的公路。兩個工程隊，甲隊單獨修20天完成，乙隊單獨修要30天完成。兩隊合作完成需要多少天？然后改為3000米、3千米、1千米等，比較算式，并思考：道路總長發生變化的時候，哪些量在變，哪些量沒有變？

2.猜想驗證，比較歸納。猜想與驗證是學生自主探究的有效方法。先讓學生發散思維，在猜想中預測結果，提高學生參與驗證的熱情。不給出具體工作總量，只知道甲、乙兩隊各自完成的時間，怎樣求他們合做完成時間呢？小組討論形成思路，理解解答特點。根據學生討論歸納：（1）把工作總量看成單位“1”；（2）幾天完成，工作效率就是幾分之一；（3）用工作總量除以工作效率和就得到工作時間。隨后，將新知與舊知“給出具體數量的工程問題”進行比較，引導學生區分新舊知識的異同點，生成認知新體系。這里，筆者建議大家提一提列方程的解題方法，或者使用列方程的方法貫穿全程也是可以的。

3.變式訓練，類推應用。通過變式訓練，引導學生尋找知識間的聯系，進行遷移、類推，加強學生對本節課的理解與對知識的消化，有效鞏固工程問題的解題思路和解題方法，從而提高解題能力。如改變問題情境，將工程問題轉化為行程問題。（1）甲車從A城市到B城市要行駛2小時，乙車從B城市到A城市要行駛3小時。兩車同時分別從A城市和B城市出發，幾小時后相遇？（2）水庫遭遇暴雨，水位已經超過警戒線，需盡快泄洪。這個水庫有兩個泄洪口。只打開A口，8小時可以完成任務，只打開B口，6小時可以完成任務。現在兩個泄洪口同時打開，幾小時可以完成任務？（3）張先生去市場買家具，預算資金如果全部買餐桌可買10張，如果全部買餐椅可買60把。后來他用這筆錢成套添置了餐桌椅，一張餐桌配4把椅子。你知道他買了多少套嗎？

【錯例】

王笑笑把800元壓歲錢存入農業銀行，定期兩年，年利率是2.25%。到期后，她可以從銀行取回多少元？

錯解一：800+800×2.25%=818（元）

答：她可以從銀行取回818元。

錯解二：800×2.25%×2

=800×0.225×2

=360（元）

答：她可以從銀行取回360元。

錯解三：800×2.25×2=3600（元）

3600+800=4400（元）

答：她可以從銀行取回4400元。

【診斷】

1.缺乏活動經驗。學生沒有實際參與過儲蓄活動，不了解存款、取款的現實情況是怎樣的。對于生活在城鎮的學生來說最多有ATM取款的經驗，對家庭存款、貸款、炒股等理財情況，學生也大都是不知道的。這就導致學生在計算時會機械計算，缺少最基本的預估。題中的年利率是2.25%，要存40多年，才能達到100%，也就是利息和本金同樣多。

2.沒有掌握公式。利息=本金×利率×存期，應用這個公式，錯解一中忘記了乘存款的時間；錯解二是計算過程中把百分數化成小數時出現錯誤，且沒有計算本金；錯解三只乘2.25等數，忽略了百分號。整體看是沒有掌握計算利息的公式，缺少百分數的計算技巧。

【對策】

1.豐富實踐體驗。教學利息的內容之前，教師布置調查性作業，讓學生走入銀行儲蓄網點，實地了解儲蓄的事宜，搜集存貸款利率；和家長交流，了解家庭存貸款情況。通過這樣的前置學習活動，了解本金、利息、利率、存期等概念術語。教學中可以安排填寫存款單、設立模擬銀行，有條件的還可以邀請在金融機構工作的學生家長走入課堂，開設相關講座。

2.充實欣賞拓展。教學中可以設計“你知道嗎”板塊，介紹近年來歷次利率變動情況，補充利息稅的知識，或講述有關利息的歷史故事（如法國與盧森堡之間的玫瑰花案、美國人德哈文的借款、成都湯婆婆的老存單等）。還可以利用機動課時，引導學生探索單利復利、理財、貸款、分期付款、股票等數學問題，促使學生能夠在更加廣闊的生活及文化背景里審視數學知識的魅力。

（仲崇恒）

圖形與幾何

【錯例】

在直徑4米的圓形花壇外，鋪一條環形石子路，路面寬2米。這條石子路的面積是多少平方米？

【診斷】

1.干擾條件過多。學生往往知道求環形面積的方法，即用外面大圓的面積減去里面小圓的面積。但是環形面積計算過程中干擾條件過多，如大圓和小圓的半徑、直徑和周長，還有大圓和小圓之間的距離等，無法使學生排除干擾聚焦到“大圓半徑和小圓半徑”上去，即使考慮到大圓半徑和小圓半徑，也不容易在多變的條件中準確找到需要的信息。

2.解題方法過少。學生在解決類似的問題時往往缺少有效的方法幫助表征題意、理清信息，在頭腦中對題中的數量之間的內在關系尚不完全清楚的情況下，就開始動筆列式，出現錯誤也就難免了。

【對策】

1.學會畫圖，尋找半徑。教學時要引導學生養成畫圖表征題意的習慣，并在畫好的圖中標出樣相關的數據，這樣就可以很直觀地看到各個數量間的關系，明確大圓的半徑比小圓半徑多的就是路面的寬。也有利于排除無關因素的的干擾，將注意力集中在大、小圓的半徑上。

2.對比訓練，排除干擾。這一類型的題目其實只要不去理會過多的其他信息，緊緊盯住大半徑和小半徑，再用大圓面積減去小圓面積即可。在教學這一類問題時，可設計下列對比題（以錯例一為例），逐題練習比較：

（1）在半徑4米的圓形花壇外，鋪一條環形石子路，路面寬2米。這條石子路的面積是多少平方米？

（2）在直徑4米的圓形花壇外，鋪一條環形石子路，路面寬2米。這條石子路的面積是多少平方米？

（3）在周長12.56米的圓形花壇外，鋪一條環形石子路，路面寬2米。這條石子路的面積是多少平方米？

3.適度拓展，靈活運用。環形面積的計算也有很多拓展題型，如下面兩幅圖中已知陰影部分的面積，求環形的面積等，將環形的面積計算與正方形、三角形的面積相結合。這種題目的解答，需要學生根據陰影部分的面積整體考慮環形中的R2-r2，有利于學生對于環形面積計算方法的本質的理解，更有利于學生幾何思維的發展。

【錯例】

在一個長7分米、寬5分米的長方形紙上，要剪出兩條直角邊是2分米的等腰三角形小旗，最多能剪多少個？

錯解：（7×5）÷（2×2÷2）=17（個）……1（平方分米）

答：最多能剪17個。

【診斷】

1.解題思路的負遷移。這種類型的題目在平面圖形和立體圖形部分學習時比較常見，有的是把大的長方形紙剪成小的長方形、正方形、三角形，求可以剪成多少個；也有的是把一個大的長方體木塊切成小的正方體木塊、或是在長方體的盒子中裝入正方體，求能切成或能裝入多少塊。學生常犯的錯誤是在平面圖形中用大面積除以小面積，在立體圖形中用大體積除以小體積。犯錯的原因從本質上講，就是求一個總量中有多少個部分量的解題思路的負遷移作用，在思維上習慣性地認為大長方形中有多少個小三角形，就應該用大長方形的面積除以小三角形的面積。

2.空間觀念的不成熟。在解決這類問題時，要求學生不但考慮原來長方形的面積與剪成的小三角形面積間的關系，更要考慮到實際情況，即長方形的長、寬與三角形的兩條直角邊之間的倍數關系，是否可以正好剪成幾份、在剪的過程中是否會存在“邊料”等問題。在立體圖形中則要考慮長、寬、高三個維度的切割情況，這就要求學生具備一定的空間想象能力。從學生的錯解情況來看，顯然學生的空間觀念尚未得到較好的發展。

【對策】

1.養成畫圖習慣。在圖形與幾何部分的習題解答中，養成根據題意畫示意圖的習慣可以有效地幫助理解題意，獲得問題的解法。要讓學生邊讀題邊畫示意圖，同時要注意畫圖的方法指導，根據實際數據確定圖中相關的長度、大小等，并把數據標在圖中。如圖，學生從圖中可以輕易地看出，因為在剪的過程中存在無法利用的邊料，所以最多剪12個三角形小旗。

2.形成正確思路。在畫圖直觀幫助理解的基礎上，引導學生分析錯解中方法的不足，即沒能考慮到實際情況，錯解中的方法只能適用于剪切時沒有邊料，恰好能全部利用的情況。所以正確的解題方法應該是，看沿著長方形的長能剪成幾列、沿著長方形的寬能剪成幾行，再根據剪成的行數和列數算出剪成多少個小正方形，進而算出剪成多少個小的三角形。在立體圖形中則要從長、寬、高三個維度考慮可以切成幾層、每層幾排、每排幾個，形成關于這一類題目的思考模式。

3.堅持對比訓練。可以在平面圖形部分和立體圖形部分分別安排如下的題組對比練習，在對比中體會剪切的不同情況，以及平面與立體圖形中這類問題思考方法的共同之處，和這種思考方法的普遍適用性。

（1）在一個長9分米、寬6分米的長方形紙上，要剪出邊長是3分米的小正方形，最多能剪多少個？

（2）在一個長9分米、寬6分米的長方形紙上，要剪出邊長是2分米的小正方形，最多能剪多少個？

（3）把一個長8分米、寬6分米、高4分米的長方形體木塊上，切割成棱長是2分米的小正方體，最多能切多少個？

（4）把一個長8分米、寬6分米、高4分米的長方形體木塊上，切割成棱長是3分米的小正方體，最多能切多少個？

【錯例】

長江長6400多（米），一個城市城區的面積為25（公頃）。

【診斷】

1.單位建構不深刻。在各個年級學習測量單位時，學生往往對單位之間的進率，以及單位之間的化聚掌握相對較好。但對這些長度、面積、體積單位所代表實際大小沒有確切的概念，多數學生僅僅停留在1個單位長度或面積表象，能夠比畫出諸如1米的長度、甚至用數學語言描述出1公頃的大小，即“邊長為100米的正方形的面積”，卻不能將其與生活實際緊密聯系起來，遇到要將知識運用到實際物體的長度、面積中就缺乏解決的策略。

2.生活經驗的缺失。學生對長江的長度以及一個城市城區的面積接觸不多，甚至是沒有接觸。看到“6400多”，他們認為這已經是相當大的一個數字，以為用“米”已經夠長了，他們覺得用上“千米”不可思議；學生覺得25公頃已經是很大的面積了，25平方千米到底有多大，與他們的生活經驗相去甚遠。

3.解題策略的缺乏。遇到類似的與生活經驗有一定距離、數據或單位又比較大的情況，學生也未能采用與身邊熟悉的生活場景、實物進行比較思考的策略，多是憑著感覺走，所以出現錯誤也就在情理之中了。

【對策】

1.構建單位表象。利用生活中的資源，適時展示更多的實物，幫助學生建立起對各個單位實際大小的正確表象，通過觀察、比較、描述、估測、想象等活動，把各個單位的表象印在腦中，并用身邊熟悉的實物、以及“身體尺”隨時進行驗證，通過物體之間的相互對比，努力將學生實際感知與估測能力的發揮相結合，將“測量”教學與生活實際相結合，培養其估測能力與參照能力。

2.豐富生活經驗。在形成對各個單位實際大小正確的表象之后要結合相關的資料介紹，為學生提供更多的含有不同數據的資源，讓學生將單位與數據結合起來對實物進行考量，獲得更多的生活經驗和數量體驗。如世界各大河流的長度、不同的橋的長度、一些湖泊的面積、公園的面積、城市的面積、各個省的面積、國家的國土面積等。

3.形成有效思路。當然也不能讓學生進行刻板的記憶，要通過對這些數量的體驗，幫助學生建立參照體系，形成利用參照物進行比較與思考的方法。如生活中比較熟悉的一條路大約長3千米，那么思考長江的長度會不會只有這條路的兩倍長？學校的操場大約是2公頃、學校的總面積大約是8公頃，那么城區的面積會不會只有學校面積的3倍左右？學生在填寫單位的過程中將頭腦中的表象與生活中的經驗以及正確對比、參照的思路相結合，出錯的概率就會下降。

【錯例】

1.把一個圓平均分成若干份，拼成一個近似的長方形，長方形的周長比圓的周長多2分米，圓的面積是多少平方分米？

錯解：22×3.14=12.56（平方分米）

2.把一個圓柱的底面平均分成若干個扇形，然后切開拼成一個近似的長方體，表面積比原來增加了200平方厘米。已知圓柱高20厘米，圓柱的體積是多少立方厘米？

錯解：（200÷20）2×3.14×20=6280（立方厘米）

【診斷】

1.數量關系復雜。圓和圓柱在化曲為直的過程中，在保持面積不變和體積不變的情況下，一些數量發生了變化，需要尋找這些變化的量發生變化的原因，并從這種變化中找到相關的數據，從而完成問題的解決。在圓化轉成正方形過程中，牽涉到的量有周長、面積、半徑、半圓周等，在圓柱轉化成長方體的過程中牽涉到的量更多，這些量之間的關系比較復雜，學生常常會感到無所適從，導致錯誤。

2.數學模型不熟。兩道題目各有一個數學模型，如下圖所示。第一個模型中的圓與長方形，有面積相等的部分，有長度相等的部分，也有多出的部分；第二個模型中的圓柱與長方體，有體積相等的部分，有面積相等的部分，也有面積多出的部分。在相等與多出的部分中又有一些諸如半徑、長、寬、高等量之間的關系，如果學生對于這兩個模型以及相關數量間的聯系不熟悉乃至不明確，那么在解題過程中勢必會遇到困難。

3.空間想象不夠。學生在學習圓的面積推導和圓柱的體積推導時，借助于圖形的演示和教師的引導，能夠得出相關的公式。但是當學生脫離具體的圖示，頭腦中的表象就不是那么特別清晰，具體解決這樣的問題時再沒有養成畫圖的習慣，而空間想象能力又不是特別成熟，所以很容易出錯。

【對策】

1.細化推導過程。學生開始學習圓的面積公式和圓柱的體積公式推導時，就要對變化前后的圖形之間的關系進行細致、深刻的討論，明確各部分量之間的聯系，知道哪些量發生了變化、哪些量沒有發生變化，發生變化的原因是什么等等。即不以公式推導為唯一目的，重視對圖形的變與不變的分析與感受。

2.強化數學模型。可以通過題組練習，以專題討論的形式，強化學生對兩個公式推導的圖形模型的理解與認識。如圓的面積推導的模型，可以出示下圖組織學生討論下面幾組題：

（1）長方形的面積是（）平方厘米；長方形的長是（）厘米；長方形的周長是（）厘米；比圓的周長多（）厘米。

（2）把一個圓平均分成若干份，拼成一個近似的長方形，長方形的周長比圓的周長多2分米，圓的面積是多少平方分米？

（3）把一個圓平均分成若干份，拼成一個近似的長方形，長方形的長是9.42分米，長方形的面積是多少平方分米？

（4）把一個圓平均分成若干份，拼成一個近似的長方形，長方形與圓重疊部分的面積是3.14平方分米，長方形的周長是多少分米？

3.培養畫圖習慣。對于部分空間想象能力落后的學生，則要幫助他們養成畫示意圖理解題意的習慣，讓他們在直觀形象中描一描、標一標、比一比、算一算，以求得正確的解答。

【錯例】

如圖，畫出把左邊平行四邊形按2∶1放大后的圖形。

錯解：圖中右邊的平行四邊形。

【診斷】

1.本質認識有偏差。圖形在按比例放大與縮小的變換過程中應該有兩個本質屬性：一是不改變每個角的大小，二是對應線段都擴大或縮小相同的倍數。在錯解中，學生把平行四邊形的底和高都擴大了2倍，但是左右兩條斜邊擴大的并不是2倍，而且4個對應的角的大小也都發生了改變，即兩個本質屬性都不符合。

2.素材選取太片面。在教學“放大與縮小”這一內容時，教材例題以及習題中只有讓學生讓一定比例放大或縮小長方形、正方形或直角三角形，這幾種圖形其實是比較特殊的，因為它們只需要關注兩條成直角的邊放大或縮小相同的倍數即符合了兩個本質要求，無意中就回避了對相鄰兩條邊的夾角不能發生變化的屬性的關注。由于習慣性操作的負遷移，學生在解答這類習題時，也無意中會選擇成直角的底和高來放大或縮小，學生發生錯誤也就在情理之中。

【對策】

1.豐富教學素材。在學生初步認識“放大與縮小”時，即選擇長方形、直角三角形、一般三角形、平行四邊形等多種圖形作為教學素材，分別討論放大與縮小過程中的相關變化與不變的因素，豐富學生的感知。

2.強化變換本質。在不同類圖形的變換討論中，強化變換過程中的兩個本質屬性：不改變每個角的大小，對應邊的長度都擴大或縮小相同的倍數。同時讓學生理解兩個屬性之間的內在聯系，即每個角的兩條邊的長度擴大或縮小，原本就對角的大小是沒有影響的。在提供正面例子積累感性經驗的同時，也可呈現錯誤的反例，在對比中加深認識。

3.指導變換方法。圖形的放大與縮小可采用不同的方法，如圖a中將兩條鄰邊及中間夾著的對角線分別延長2倍至A、B、C多個點，再把AC、BC連接即可；也可如圖b所示把平行四邊形的底和一條高分別擴大2倍，但要注意這條高所在的垂足位置始終應該在底邊的三分之一處，然后再把相應的邊連接起來。這些方法的指導，還是要引導學生討論，這樣的操作從本質上講還是為了保證放大與縮小的兩個屬性。

（張敏）

統計與概率

【錯例】

1.氣象站在一天的2點、8點、13點、20點測得的溫度分別是8度、15度、24度、17度。求這天平均氣溫的算式是（B）。

A.（8+15+24+17）÷4

B.（8+15+24+17）÷（2+8+13+20）

2.下面是開元公司2015年4個季度生產情況統計圖，根據統計圖提供的數據選擇。要求平均每月生產多少萬噸，正確的算式是（A）。

A.（40+60+80+120）÷4

B.（40+60+80+120）÷12

開元公司2015年各季度生產情況統計圖2016年1月

3.一輛汽車從相距400千米的甲地開往乙地，去時平均每小時行80千米，回來時平均每小時行100千米。求這輛汽車往返甲、乙兩地平均速度的算式是（A）。

A.400÷（400÷80+400÷100）

B.400×2÷（400÷80+400÷100）

4.小強身高155厘米，他到一個平均水深90厘米的小河里游泳，（B）危險。

A.還會有B.不會有

【診斷】

1.平均數意義剖析不到位。教學時教師沒有很好地將平均數的意義剖析到位，導致學生對平均數意義的理解不全面，從而在解決實際問題時，出現思路混亂現象。

2.學生多種習慣沒有養成。學生沒有養成良好的審題、檢驗習慣，對題中的關鍵性已知條件也沒有進行細致分析，從而出現錯誤的解答。

【對策】

1.從動態演示中幫助學生理解平均數的意義。雖然學生在第一學段已學過平均分，但是這與平均數的意義既有聯系又有區別。所以在教學時，教師要充分借助多媒體技術，通過動態演示，讓學生理解“平均數是把一組數據里多的移一些補給少的（移多補少），勻得每份變得同樣多”，同時要通過教學，讓學生理解“平均數”代表一組數據的總體情況，它不是指這組數據中每個數據都是平均數的值，它的范圍在最大數和最小數之間，一組數據中的任意一個數的變化，都會影響平均數的大小。

2.從指導審題中培養學生良好學習習慣。教師要指導學生認真審題，特別是要將題中隱藏的或容易被忽視的已知條件挖掘出來，通過畫一畫或再讀一讀等方法，理解其含義。同時在解題結束后，要引導學生檢驗。如第3題中“往返甲、乙兩地”，通過審題，要讓學生明白這輛汽車行駛的總路程不是400米，而是“400×2”米，解題結束時，可以通過估算判斷平均速度為千米/小時是錯誤的，因為算出的平均數不是在80和100之間。

【錯例】

1.下面是某校五年級一班體育達標合格人數統計圖。

五年級一班體育達標合格人數統計圖2016年1月

觀察統計圖回答問題：這個班至少有多少人？

答：這個班至少有48人。

2.在一個圓形花壇內種了三種花（如下圖所示），用條形統計圖表示各種花占地面積應該是（A）。

【診斷】

1.教師教學偏差。上面兩題都是學生不會進行數據分析引起的，其深層的原因在于教師對“數據分析觀念”理解不透，教學時，過于關注技能性目標的達成，而忽視讓學生經歷收集、整理、描述和分析數據的全過程，從而導致學生缺少對數據的“感悟”。

2.學生觀察不全。學生的關注點只落到某一兩個數據上，由于觀察不全面，導致解題錯誤。如第1題，學生只關注“立定跳遠”，將“立定跳遠”中達標合格的男、女生人數相加，而沒有整體觀察四個項目中男、女生達標最多的各有多少人。第2題學生關注到了扇形統計圖中雞冠花和萬年紅表示的數量相等，菊花的數量比雞冠花和萬年紅多，但是沒有根據扇形統計圖的意義進行思考，從而沒有形成三種花各占總數的百分之幾的數學意識。

【對策】

1.引導學生全面看圖、整體分析。如教學復式條形統計圖時，可以將“圖例”“項目和數量”“數據”等作為重點來學習。教學扇形統計圖時，要讓學生理解“用整個圓的面積表示總數，用圓內各個扇形的大小表示各部分數量占總數量的百分之幾”，還要培養學生看圖讀圖的意識，從圖中不但要能看出部分數量占總數量的百分之幾，還要能夠從扇形的大小中估計出部分數量占總數量的百分之幾。在這基礎上，引導學生從關鍵性知識入手，作數據分析，這里的分析不只停留在數據信息的直接描述上，而要通過觀察、比較、計算和估算，對統計數據進行分析、判斷或解釋，從而提高學生數據分析觀念的形成與發展。

2.指導學生根據分析提出問題并解決問題。如第1題中，在分析數據后，可以引導學生提出數學問題：男、女生成績相差最大的運動是哪一項？這個班最需要加強的是哪一項訓練？

【錯例】

拋兩枚硬幣，如果兩枚硬幣朝上的面相同，小明勝，否則小強勝。這個游戲規則公平嗎？為什么？

答：不公平。因為拋兩枚硬幣時，硬幣朝上有三種情況：正正、正反、反反，所以兩枚硬幣朝上的面相同的可能性比兩枚硬幣不同的面朝上的可能性大。

【診斷】

1.綜合思考能力不強。這是一個比較綜合的題，它涵蓋可能性的大小和一一列舉等知識。這里的錯誤主要在于學生沒有用列舉的方法，將拋兩枚硬幣出現的各種情況（兩面朝上和一個面朝上、一個面朝下），不遺漏也不重復地一一列舉出來，并進行綜合思考。

2.學生參與活動不足。在教學“可能性”時，學生實際參與活動是必不可少的一個重要環節。但是由于時間緊加上課堂紀律難以控制，被許多教師所省略，取而代之的是課件操作。由于學生沒有親身體驗，從而失去了感悟的過程，影響了學生分析能力的提高。

【對策】

1.分組探索，通過實踐操作感悟規則是否公平。這一游戲規則是否公平，可以通過分組探索的方法讓學生在小組中活動，從而初步感悟拋兩枚硬幣，兩面朝上和一個面朝上、一個面朝下出現的情況有四種。

2.策略引領，通過一一列舉發現規則的公平。教學時引導學生用一一列舉的方法完成，讓學生明白，如果第一枚硬幣正面朝上，有“正正”“正反”兩種情況；如果第一枚硬幣反面朝上，有“反正”“反反”兩種情況。這樣拋兩枚硬幣的結果一共4種情況，其中兩枚硬幣朝上的面相同的有2種情況，兩枚硬幣朝上的面不相同的也是2種情況，也就是兩枚硬幣朝上的面相同的可能性與朝上的面不相同的可能性相等，所以這個游戲規則公平。

【錯例】

根據小明對一個月天氣情況的描述，繪制條形統計圖。

“這個月有30天，晴天經常出現，陰天和雨天出現的少，雪天偶爾出現。”已知晴天的天數超過總天數的一半；陰天天數和雨天天數相等；雨天天數是雪天天數的2.5倍。（均以整天數計算）算出各種天氣的天數，再完成下面的條形統計圖。

看到這道題，比較多的學生無從下手。

【診斷】

1.思考策略單一。這一題以課本畫條形統計圖為載體，將統計與可能性的練習綜合在一起，只有學生正確算出晴天、陰天、雨天和雪天的天數才能畫出條形統計圖。由于題中條件較多且比較復雜，學生不知從哪個條件入手分析，當一種解題思路受阻時，不知道從另外的角度思考，因而一時找不到解題思路。

2.推理方法無序。要知道30天中各種天氣的天數，其關鍵要通過題中條件進行推算。由于學生不會根據題中條件進行有序合情推理，加之對相關數學術語理解不透，出現解題困難。

【對策】

1.從梳理數學術語中引導感悟。教材中出現比較多的“可能性”方面的數學術語為“一定”“可能”和“不可能”。所以在復習階段要讓學生正確理解這三個數學術語的意義，同時通過日常生活中的具體例子讓學生感悟。教學時還要對于表述可能性大小的特殊詞語進行比較，讓學生體會其含義。例如“經常出現”“偶爾出現”等。

2.從指導分析中學會合情推理。教學時要根據解決問題的需要，引導學生進行分析、推理與猜測，發展初步的合情推理能力。這題我們可以先用列舉的方法，推算出晴天、陰天、雨天和雪天的天數，再繪制條形統計圖。我們從“雨天天數是雪天天數的2.5倍（均以整天數計算）”中，可以知道，雪天天數應該是2的倍數。這樣并可推得雪天為2天，雨天為2×2.5=5（天），由于陰天天數和雨天天數相等，所以陰天也為5天，晴天為30-2-5-5=18（天）。

【錯例】

星期日小芳爸爸帶全家開車去游玩，開始以1.2千米/分的速度行駛。20分鐘后，汽車發生了故障，爸爸停車進行維修，10分鐘后故障排除，車又重新啟動，以1千米/分的速度繼續前行，又經過50分鐘到達了目的地。根據下面的統計圖回答問題。

哪一幅表示他們全家的途中運行情況？在正確的圖上打“√”。

【診斷】

1.學生綜合思考能力不強。這一題與我們平時看到的折線統計圖不同，它是表示兩種量關系的運行圖。選擇時，學生只顧及看圖，而忽視了通過題中的已知條件先計算再進行綜合思考，從而出現錯誤。從練習中還發現，有的學生看不懂圖形，從而出現不會選擇的情況。

2.教師缺少全面分析指導。教師在教學時只按一般折線統計圖進行指導觀察和分析，導致學生沒有真正理解圖形所表述的意義，因而答題錯誤。

【對策】

1.對運行圖要進行全面剖析。教學時首先要選擇一幅圖，指導學生看懂運行圖的意思。既要看橫軸和縱軸所表示的意義，又要分析圖中曲線的走向。比如第1幅圖，先看橫軸，時間為0分時，對應的縱軸上的數為0千米；時間為10分時，對應的縱軸上的數大約為6千米，也就是汽車10分鐘大約行了6千米……時間為20分時，對應的縱軸上的數大約為11千米，時間為30分時，對應的縱軸上的數仍大約為11千米，也就是汽車在這10分鐘內沒有行駛……

2.對有用信息要進行整合思考。指導學生閱讀題，并根據問題，選擇有用信息進行整合思考：先求出20分鐘行的千米數：20×1.2=24（千米），再根據“20分鐘后，汽車發生了故障，爸爸停車進行維修，10分鐘后故障排除，車又重新啟動”和“以1千米/分的速度繼續前行，又經過50分鐘到達了目的地”進行綜合思考，得出第2幅圖是正確的運行圖。選后再看圖檢驗：從第2幅圖中可以看出，汽車20分鐘，大約行了24千米，到了第30分鐘還是24千米，說明在這10分鐘內汽車沒有行駛，從題中條件知道，這段時間正好在修車，繼續觀察，再行駛50分鐘，一共行了70千米多一些，與題中已知條件吻合。

（趙云峰）