解析幾何題求解錯誤例析

◇ 江蘇 陸 霞

解析幾何題求解錯誤例析

◇ 江蘇 陸 霞

學生在學習解析幾何問題的過程中,經常出現由于考慮問題不全面或者是忽略有利條件等原因導致解題失誤的現象.因此在教學中,教師應當引導學生剖析錯誤根源,提高解題正確率.

1 只注重結論與公式,未關注條件

在解題過程中,很多學生運用概念或者定理來解決問題時往往只關注公式的結論,并沒有關注條件,從而導致解題出現失誤.

例1 過點M(4,1)作圓(x－2)2＋(y＋2)2＝4的切線,此時切線方程為________.

定理:過圓上一點M(x0,y0)作圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的切線,其切線方程為

錯解1 由上述定理得切線方程為(4－2)(x－2)＋(1＋2)(y＋2)＝4,簡化可得2x＋3y－2＝0.

剖析 在求解選擇或填空題時,借助一些定理簡化運算是合理的解題策略.但是很多學生在記憶定理或者結論時,通常會忽略定理的前提條件.上述定理的應用條件是點M在圓上,而在例1中,點M卻在圓外,因此并不適用.

錯解2 假設直線方程為y－1＝k(x－4),即kx－y－4k＋1＝0.按照求得k＝5/12,因此切線方程為5x－12y－8＝0.

剖析 求解此題可使用待定系數法,通過點斜式假設直線方程后求解.而使用點斜式的前提是有斜率,因此忽略了斜率不存在時的情況,此題的正解為x＝4或5x－12y－8＝0.

在學習過程中還有很多類似的案例,如在使用直線法方程的截距式時,很容易忽略截距為0的情況;在使用等比數列求和公式時,很容易忘記公比為1的情況等.教學中教師應當提醒學生關注這些條件,正確引導學生在恰當的條件下運用公式或定理等,由此提高解題效率.

2 考慮問題不全面

在解題過程中全面看待問題是正確解題的基礎.在進行式子變形或條件轉化時應考慮到等價性,如變量的范圍等,這些都是容易疏忽的內容.

例2 已知直線y＝(a＋1)x－1與拋物線y2＝ax有1個公共點,實數a的取值范圍為________.

剖析 上述解題法僅想到了(a＋1)2≠0時的狀況.實際上,當(a＋1)2＝0時,即a＝－1時,得出的直線為y＝－1與拋物線y2＝－x也僅有1個公共點.因此正確答案為a＝－4/5或a＝－1.

除了直線與圓錐曲線相切時有1個公共點外,直線平行于拋物線對稱軸或者平行與雙曲線的漸近線時,也只有1個公共點.因此在解題時,應當綜合考慮.

3 缺乏對問題的直觀認識

在求解時,很多學生只是死記硬背公式、定理等,沒有結合具體圖形來求解,最終導致錯誤.

例3 已知拋物線的方程為y＝2ax2(a＜0),此時焦點坐標為( ).

A (0,－1/8a); B (－a/2,0);

C (0,－a/2); D (0,1/8a)

錯解 按照拋物線方程為y＝2ax2,已知拋物線的對稱軸為y軸,2p＝－2a,因此p＝－a,p/2＝－a/2,因此焦點坐標是(0,－a/2),正確選項為C.

剖析 在解題時,應當先正確理解概念,科學記憶拋物線的標準方程為y2＝2px、y2＝－2px、x2＝2py、x2＝－2py.一次項系數的正、負決定了其開口朝向及對稱軸的正、負.在看到與拋物線相關的題目時,應先把方程變為標準式,隨后再求出拋物線的焦參數p.在求參數時,應注意到p＞0.因此標準方程中一次項系數的絕對值是2p.在得到p后,再去求解拋物線的幾何性質.本題的方程為x2＝－2py型,圖象如圖1所示,焦點坐標為(0,－p/2).正確得出p＝－1/4a后,就能夠得到焦點坐標為(0,1/8a),因此應選D.

綜上所述,在教學中教師應當指導學生合理記憶概念、公式、定理,同時為學生創造良好的學習環境,教會學生在不同的條件下怎樣正確地使用這些知識.經過長期培養,學生就能夠全面地看待問題,由此提高解題效率.

圖1

江蘇省金湖中學)