聚焦高中數(shù)學解題中化歸轉化思想的應用

◇ 山東 李秀振

聚焦高中數(shù)學解題中化歸轉化思想的應用

◇ 山東 李秀振

高中數(shù)學學習的過程一般是按照“概念和定理的理解記憶—知識點的應用訓練”這一順序.后者實際上就是化歸思想的應用的過程.因此在學習中應加強常規(guī)化歸思想方法的積累、應用,進而提高解題效率.

1 生與熟的轉化

數(shù)學能夠借助題型變化來對學生知識掌握程度加以深度考查,針對我們不熟悉的題型,學生應具備“化歸轉化”思想,構建輔助元素,建立問題和條件間的聯(lián)系.

例1 在平面直角坐標系xOy中,設定點A(a, a),P是函數(shù)(x＞0)圖象上一動點,若點P、A之間的最短距離為則滿足條件的實數(shù)a的所有值為________.

若a≤2,則當t＝2時,PA2取得最小值.從而有(2－a)2＋a2－2＝8,解得a＝－1,a＝3(舍去);

若a＞2,則當t＝a時,PA2取得最小值.從而有a2－2＝8,解得或(舍去).故滿足條件的實數(shù)a的所有值為

2 繁與簡的轉化

某些題目本身難度不大,但其題干敘述較為模糊,學生分不清已知條件之間的關系.針對這一情況,就可借助轉化與化歸思想實現(xiàn)化繁為簡的目的.

初看此題不知如何下手,但若具備“數(shù)形結合”思想的話,可將其變形為的形式,從而聯(lián)想到令y＝便可將解題內容定位為點(－2,0)、(sinx,cosx)連線斜率的最大、最小值問題.

3 正與反的轉化

逆向思維是一種重要的發(fā)散性思維,尤其是在正面解題運算量大且復雜的情況下可采用反面求解.

例3 2b2－2b＋c＝0,2a2－2a＋c＝0,a－b＝c,求c值.

本題學生很容易想到配方消元,但由于其所含未知元素太多,運算復雜,故應引導學生借助“逆向思維”的辦法.

a和b相當于一元二次方程2x2－2x＋c＝0的解,再利用根與系數(shù)的關系得ab＝－c/2,a＋b＝1,結合a－b＝c便可獲得答案.

又如計算3－32－33－34－35－36－37－38－39＋310,應第一時間確定逆向思維分析思想,利用從右到左的“3n－3n－1＝3n－1”關系來計算.

4 數(shù)與形的轉化

例4 已知x、y、z都是正實數(shù),求證

從已知條件所給形式看與“三角形兩邊之和大于第三邊”這一定定理頗有相似之處,而開方式又能和余弦定理相類比,故而如此構建三角形便可解答此題.

5 特殊與一般的轉化

例5 函數(shù)y＝f(x)的定義域為(0,＋∞),且對定義域內的任意x、y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y),且f(2)＝1,則的值為( ).

由已知條件“對于定義域內的任意x、y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)”聯(lián)想特殊的對數(shù)函數(shù)具有此性質,故可令f(x)＝logax.

又因為f(2)＝1,即loga2＝1,所以a＝2,所以

綜上所述,教師于平日教學活動中,應有意識地對學生的化歸轉化思想加以引導和培養(yǎng),從而有效促進解題效率的提升.

山東省鄒平縣魏橋中學)