淺談運用類比思想解題的一些常用思路

◇ 江蘇 徐維蘭

淺談運用類比思想解題的一些常用思路

◇ 江蘇 徐維蘭

在數學解題中類比思想是常用的解題方法之一.運用類比思想解決問題,不僅可以拓寬學生解題思路,使問題得以快速有效解決,而且可以發展學生思維,提高學生自主探索、分析和解決問題的能力.要想學生能夠靈活運用類比思想,就要對教材中的知識點、概念、性質等十分熟悉,這樣看到一個公式時能迅速聯系類似的知識點,然后利用相關的知識點解題.因此,在平時數學解題教學中,教師要注意類比思想的有效滲透,幫助學生掌握解題技巧、提升解題能力.對此,筆者結合實例,就類比思想解題的一些常用思路進行分析,以供參考.

1 類比聯想

類比聯想,通俗說來,就是看到一種事物聯想到另一種與其相關的事物,尋找二者相似或相通之處.通常情況下,類比聯想可以分成3大類:概念類比聯想、定理類比聯想、公式類比聯想.教師在課堂教學中可以啟發學生思路,讓學生學會發現題眼,靈活運用類比聯想快速地解答相似問題.學生在利用類比思想解題時,既能夠將所學知識系統化,又能培養歸納知識點和總結答題技巧的能力.

例1 若a、b、c、d∈R,并且a2＋b2＝1,c2＋d2＝1.求證:－1≤ac＋bd≤1.

看到條件a2＋b2＝1,c2＋d2＝1,聯想公式sin2α＋cos2α＝1,可設

則ac＋bd＝cosacosβ＋sinasinβ＝cos(a－β).

因為|cos(a－β)|≤1,所以

2 類比歸納

在高中的數學教學中,歸納總結是重要的一個環節.教師引導學生全面、系統地歸納相似的知識或定理,有利于提高學生思維拓展能力.

例2 設平面內有n條直線(n≥3),其中有且僅有2條直線互相平行,任意3條直線不經過同一點.若用f(n)來表示這n條直線交點的個數,則 f(4)＝________,當n＞4時,f(n)＝________.(用n表示)

圖1

因為f(n)表示n條直線交點個數,若再增加一條直線,則這條直線與前n條直線都相交,則交點個數增加n個,故f(n＋1)＝f(n)＋n,且f(3)＝2,所以

累加得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1).

例3 設|an|是首項為1的正項數列,且(n＋ 1)2an＋1－na2＋an＋1×an＝0(n＝1,2,3,4,…),則它的通項公式是an＝________.

本題可將(n＋1)a2n＋1－na2＋an＋1·an＝0變形為[(n＋1)an＋1－nan](aa＋1＋an)＝0,由于an＋1＋an＞0,所以(n＋1)an＋1＝nan,即得.又a1＝1,所以

本題也可由不完全歸納法推測an,當n＝1時,由a1＝1,得.同理當當n＝3,a4＝.推測.由類比歸納可以驗證此結論的正確性.

3 類比推理

類比推理,即通過對2個研究對象的對比,找出其相似之處,然后用其中一個研究對象的已知特征去推測另一研究對象的基本特征.類比推理是一種重要的類比思想,也是數學解題的常用思維方法之一.在數學解題中,類比2個不同研究對象時,推理出的共性越多,所得結論的準確性就越高.

例4 在平面幾何中有勾股定理:“設△ABC的2邊AB、AC互相垂直,則AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空間,類比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系,可以得出的正確結論是:“設三棱錐A-BCD的3個側面△ABC、△ACD、△ADB兩兩相互垂直,則________.”

分析 關于空間問題與平面問題的類比,通常可抓住如下幾何要素對應關系作對比:

多面體?多邊形;面?邊;體積?面積;二面角?平面角;面積?線段長……

由此,可類比猜測本題的答案為

本題考查由平面幾何的勾股定理到空間的拓展推廣,因此學生在平時的學習中要重視類比推理的應用,更要重視解題技巧的作用.

同理可證下例.

例5 (1)由“若a、b、c∈R,則(ab)·c＝a·(bc).”類比推出“若a、b、c為3個向量,則(a·b)·c＝a(b·c);

(2)“a、b為實數,若a2＋b2＝0,則a＝b＝0.”類比推出“z1、z2為復數,若z21＋z22＝0,則z1＝z2＝0”;

(3)“在平面內,過不在同一條直線上的3個點有且只有一個圓.”類比推出“在空間中,過不在同一個平面上的4個點有且只有一個球”.

上述3個推理中,結論正確的個數有( ).

A 1; B 2; C 3; D 0

(1)由向量的運算可知(a·b)·c與向量c共線的向量,而由向量的運算可知a(b·c)與向量a共線,因此錯誤.

(2)在復數集C中,若z1、z2∈C,z21＋z22＝0,則可能z1＝1且z2＝i.故錯誤.

(3)由圓的性質類比推理到球的性質,即“平面內不共線的3個點確定一個圓.”我們可類比推理出“空間不共面4個點確定一個球.”故正確.

故選A.

總之,巧用類比思想解題對于提高學生解題速度和效率有著至關重要的作用.在平時解題教學中,教師要注意類比思想的有效滲透,圍繞教學目標,結合學生認知發展規律,緊扣教學內容,巧妙地借助類比思想進行解題,從而拓寬學生解題思維、培養學生思維靈活性和深刻性,提高學生的解題能力.

江蘇省鹽城市第一中學)