用導數研究函數的單調性

◇ 山東 彭慶柳張兆生

用導數研究函數的單調性

◇ 山東 彭慶柳1張兆生2

用導數求函數的單調區間或判斷函數的單調性問題是本章的重點.解題時應注意如下幾方面:

1)在利用導數討論函數的單調區間時,首先要確定函數的定義域;

2)不能隨意將函數的2個獨立的單調遞增(或遞減)區間寫成并集形式;

3)利用導數解決含參函數的單調性問題時,一般將其轉化為不等式恒成立問題,解題過程中要注意分類討論和數形結合思想的應用.

下面就具體題型進行剖析,希望對大家有所幫助.

1 利用函數的單調性比較大小

例1 定義域為R的函數f(x)對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x),其導函數f′(x)滿足則當2＜a＜4,有( ).

A f(2a)＜f(log2a)＜f(2);

B f(log2a)＜f(2)＜f(2a);

C f(2a)＜f(2)＜f(log2a);

D f(log2a)＜f(2a)＜f(2)

先根據條件求出函數的對稱軸,再求出函數的單調區間,然后判定2、log2a、2a的大小關系,根據單調性比較f(2)、f(log2a)、f(2a)的大小即可.因為函數f(x)對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x),所以函數f(x)的對稱軸為x＝2.因為導函數f′(x)滿足所以函數f(x)在(2,＋∞)上單調遞減,(－∞,2)上單調遞增.因為2＜a＜4,所以1＜log2a＜2＜4＜2a.又函數f(x)的對稱軸為x＝2,所以f(2)＞f(log2a)＞f(2a),故選A.

本題主要考查了導數的運算,以及奇、偶函數圖象的對稱性和比較大小.根據導函數的符號確定函數的單調區間是解決此題的關鍵.最后利用函數的單調性比較函數值的大小,屬于基礎題.

2 借助導數研究不等式問題

由題意,要使對?x1∈(0,2],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,只需fmin(x1)≥gmin(x2),且x1∈(0,2],x2∈[1,2],然后利用導數研究2個函數的最值即可.

易知當x∈(0,1)時,f′(x)＜0,當x∈(1,2)時, f′(x)＞0,所以f(x)在(0,1)上遞減,在[1,2]上遞增,故fmin(x)＝f(1)＝1/2.

對于二次函數g(x)＝－x2－2ax＋4,該函數開口向下,在區間[1,2]上的最小值在端點處取得,所以要使對?x1∈(0,2],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,只需fmin(x1)≥gmin(x2),即g(1)≤1/2或g(2)≤1/2,所以－1－2a＋4≤1/2或－4－4a＋4≤1/2,解得a≥－1/8,故選A.

本題考查了不等式恒成立以及有解問題的綜合思路,概念性很強,注意理解.

3 已知單調性求參數范圍

例3 已知函數f(x)＝x3－12x在區間(2m, m＋1)上單調遞減,則實數m的取值范圍是( ).

A －1≤m≤1; B －1＜m≤1;

C －1＜m＜1; D －1≤m＜1

由函數f(x)＝x3－12x在(2m,m＋1)內單調遞減轉化成f′(x)≤0在(2m,m＋1)內恒成立,得到關于m的關系式,即可求出m的范圍.

因為f(x)＝x3－12x在(2m,m＋1)上單調遞減,所以f′(x)＝3x2－12≤0在(2m,m＋1)上恒成立.所以即解得－1≤m＜1,故選項為D.

此題主要考查利用導函數的正、負判斷原函數的單調性,屬于基礎題.

4 利用導數判斷函數的圖象

例4 函數y＝xf′(x)的圖象如圖1所示,則函數y＝f(x)的圖象可能為( ).

圖1

由函數y＝xf′(x)的圖象可知:當x＞1或x＜－1時,f′(x)＞0,f(x)在區間(－∞,－1)、(1,＋∞)上單調遞增.

當－1＜x＜1時,f′(x)≤0,且只有x＝0時可能為0,f(x)在區間(－1,1)上單調遞減.

根據以上結論可知函數f(x)的圖象可能為C.

本題考查由導函數的圖象判斷原函數的單調性,充分利用圖象提供的信息得出導函數的正、負是解題的關鍵.

5 利用導數研究函數的單調性

例5 已知函數f(x)＝(x＋1)lnx－a(x＋1) (a∈R)

(1)若當x∈[1,＋∞)時,f′(x)＞0恒成立,求a的取值范圍;

(2)求函數g(x)＝f′(x)－a/x的單調區間.

(1)f′(x)＞0恒成立,即a＜lnx＋1/x＋1 (x≥1)恒成立.令h(x)＝lnx＋1/x＋1,則h′(x)＝所以h(x)在[1,＋∞)上是增函數,所以當x∈[1,＋∞)時,h(x)最小值＝h(1)＝2,故a＜2.

當a≥1時,g′(x)＞0,g(x)在(0,＋∞)上遞增;

當a＜1時,由g′(x)＝0,得x＝1－a,x∈(0,1－a)時,g′(x)＜0,函數g(x)遞減;x∈(1－a,＋∞)時,g′(x)＞0,函數g(x)遞增.

熟練掌握利用導數研究函數的單調性的步驟、原理是解題的關鍵.解題中須注意含參數問題討論.

1.山東省平邑第二中學2.山東省平邑曾子中學)