高考數列求和中對錯位相減法新的探索

◇ 湖北 吳 莎

高考數列求和中對錯位相減法新的探索

◇ 湖北 吳 莎

數列是以正整數集(或它的有限子集)為定義域的函數,是一列有序的數.數列中的每一個數都叫做這個數列的項.排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫做首項),排在第二位的數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項,通常用an表示.

數列求和是指對按照一定規律排列的數進行求和,即求Sn.實質上是求{Sn}的通項公式,應注意對其含義的理解.常見的求和方法有公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、數學歸納法、通項化歸、并項求和等.數列是高中代數的重要內容,又是學習高等數學的基礎.在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位.數列求和是數列的重要內容之一,除了等差和等比數列有求和公式外,大部分數列的求和都需要有一定的技巧.

錯位相減法是數列求和中的一種重要方法,主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列求和,是等比數列求和公式推導過程的推廣.

下面我們從一個高考題出發得到我們的結論.

例1 (2012年天津卷)已知{an}是等差數列,其前n項和Sn,{bn}是等比數列,且a1＝b1＝2,a4＋b4＝27,S4－b4＝10.

(1)求數列{an}與{bn}的通項公式.

(2)記Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn,其中n∈N?,證明:Tn＝an－1bn＋1＋8,n≥2.

(1)設等差數列{an}的公差為d,等比數列{bn}的公比為q,由a1＝b1＝2,得a4＝2＋3d,b4＝2q3,S4＝8＋6d.

(2)證明:由(1)得

由式①－②得

而當n≥2時,an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1,所以

通過上面的高考題發現一個有趣的結論:錯位相減法求和的結論可以寫成:Tn＝an－1bn＋1＋C(其中n∈N?,n≥2,C為常數),那么這個結論是不是真的成立呢?能否給出證明呢?

經過反復的驗證,我們發現上面的結論對于q＝2是成立的.

例2 (2012年江西卷)已知數列{an}前n項和Sn＝kcn－k(其中c、k為常數)且a2＝4,a6＝8a3.

(1)求an;

(2)求數列{nan}的前n項和Tn.

(1)由Sn＝kcn－k得

由a2＝4,a6＝8a3,可得

所以a1＝S1＝2,an＝kcn－kcn－1＝2n(n≥2).

(2){an}為等比數列,q＝2滿足我們前面結論的條件,則有結論Tn＝an－1bn＋1＋C成立.T2＝1·a1＋2a2＝1·23＋C.所以1·2＋2·22＝1·23＋C得C＝2.所以Tn＝an－1bn＋1＋C＝(n－1)·2n＋1＋2,即有這樣的結論:{an}是首項為a1、公差為d的等差數列, {bn}是首項為b1、公比為q＝2的等比數列(其中a1、d、b1均為常數),則{an·bn}的前n項和Tn,可以寫成Tn＝an－1bn＋1＋C(其中n∈N?,n≥2,C為常數).

上面證明了數列求和中與錯位相減法有關的一個結論,應用該結論解答高考題,可以迅速找到結果,大大簡化了計算量.其實我們在教學的過程中發現,數列錯位相減求和法中存在更一般的結論:{an}是首項為a1、公差為d的等差數列,{bn}是首項為b1、公比為q的等比數列(其中a1、d、b1、q均為常數)則{an· bn}的前n項和Tn可以寫成Tn＝(An＋B)·qn－B (其中n∈N?,A、B均為常數).這個結論我們通過大量題目的驗證,目前來說都成立,也嘗試證明,但是難度較大,分享給讀者.如果能得到證明,那么以后數列錯位相減法將可以用待定系數法來解決,只需要決定公式中的常數A、B即可,大大提高學生解答數列求和問題的速度和準確率.

湖北省武漢市第十五中學)