一類與奇、偶項討論相關的數列問題探討

◇ 江蘇 毛 群

一類與奇、偶項討論相關的數列問題探討

◇ 江蘇 毛 群

數列作為一類特殊的函數,與連續函數不同,因為其離散性可能會出現跳變現象,即數列中元素的值隨著項數的變化忽正忽負,進而呈現出一種獨特的規律.有一類與數列奇、偶項有關的問題,特別受到各種調研考試命題人的青睞,被呈現在廣大學子的面前.因此有必要對這類問題進行梳理,覓得其中的規律,以幫助學生理清這類問題的本質.

1 起源:一道練習題引發的興趣

能夠激發數學研究興趣的問題,并不一定是某次調研考試的壓軸大題,或許在不經意間遇到的一道小題也能點燃我們思維的火花.本文的研究主題恰恰就是源自于一道不起眼的填空題.

例1 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2的值為________.

表面看本題的結論應當是一個關于n的表達式,但問題是當n取不同的值時最后一項呈現出的正、負不同.再仔細審題,可以發現表達式中各項實則為對應自然數的平方,而其系數呈現出正、負交替的規律.結合這一特點,從數列的視角本題可以看成某數列的前n項求和.不妨設數列為{an},則其通項為an＝(－1)n＋1n2,當n取奇數時an為正,當n取偶數時,an為負.因此可以斷定本題應對n的取值為奇或偶進行討論,結論寫分段形式.

當n為偶數時,原式為

當n為奇數時,則n－1為偶數,原式為

反思:解決這個問題的關鍵是學生在頭腦中應當清醒地認識到這是一個數列問題,應當以數列的視角來考慮它.

對于例1,其中有很多地方值得我們深思.首先,如何來捕捉題目中數列的影子;其次,如何來挖掘列數中隱藏的數字規律;最后,奇、偶討論時,如何能夠簡化問題的運算量.帶著這樣的問題,筆者研究了大量這種類型的問題,梳理了如下的理論分析.

2 發展:奇、偶項討論的分析

帶著上述3個問題,我們再次研究例1:1)問題情境并未明示這是一道數列題,但觀察可以發現這是一組極有規律的數,與數列定義極為符合,因此考慮以數列手段處理;2)觀察發現此數列呈現的規律是自然數的平方,并且正、負相間(與(－1)n有關),因此考慮分奇、偶討論;3)在奇、偶討論時,當n為奇數時,則n－1必然為偶數,因此可以先討論n為偶數的結論表達式Tn,在討論n為奇數時,以Tn＝Tn－1＋an為橋梁,用n－1代替偶數項結論表達式中的n,可以簡化計算.

通過上述分析,可以歸納奇、偶討論類型問題的一般規律.首先,在一般情況下,問題情境通過“數列”的字眼明示.若問題情境未明示數列問題,可以通過數列的定義來判斷.數列的定義告訴我們,一列有序的數是數列,它是以正整數集為定義域的一類特殊的函數(離散型函數).當題設中呈現的數據結構表現出以正整數n為變量的離散型函數時,可以考慮以數列的方法來處理這類問題.其次,正如數列的定義所言:數列是一種特殊的函數,其函數表達式(數列中被稱為通項公式)是表現整列數字規律的一個窗口,因此,確定數列的通項公式是挖掘一列數內在規律的重要手段.而需要進行奇、偶討論的問題中數列的通項公式常常表現出與(－1)n相關的結構特征.最后,在進行奇、偶項討論時,先以n為偶數求解結論表達式,在討論n為奇數時,以n－1代替上述表達式中的n,再加上第n項,可減少計算量.

3 后續:理論指導下的問題解決

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)設Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋(－1)n－1anan＋1,若Tn≥tn2對任意n∈N?恒成立,求實數t的取值范圍.

綜上,對于與－1的n次冪有關的數列問題,求解的關鍵是分n為奇數或偶數進行討論.

江蘇省江都中學)