感悟研讀教材 培養幾何直觀
———從人教A 版《必修２》說起

◇ 福建 林賢忠

感悟研讀教材 培養幾何直觀
———從人教A 版《必修２》說起

◇ 福建 林賢忠

《普通高中數學課程標準》指出:“培養和發展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力,是高中階段數學必修系列課程的基本要求”.人教A版《必修2》的主要內容有立體幾何初步及解析幾何初步,這2部分內容的學習離不開幾何直觀.幾何直觀是《必修2》教學中必不可少的有效工具,本文就此進行探討.

1 教材設計突出了幾何直觀

過去的《立體幾何》教材是按照“平面基本性質—點、直線、平面之間位置關系—空間幾何體”的順序來安排,基本上遵循了從局部到整體的原則.而《普通高中數學課程標準》卻是按照空間幾何體—直線平面之間位置關系—空間向量與《立體幾何(選修)》的順序來進行,實際上采取了“整體—局部—整體”的布局方式.先從對空間幾何體的整體感受入手,再以長方體為載體(包括其他的實物模型、實際例子等)研究空間點、直線、平面的位置關系及有關定理,最后在選修中把立體幾何與空間向量結合起來,嚴格地推理論證平行、垂直等有關問題.

新課標“立體幾何”中有著大量的圖片,這些圖片反映出在實際生活中我們時刻與圖形打交道,說明立體幾何研究的內容與生活有密切聯系,所涉及的問題都來源于生活,研究的結果最終又回到實際生活.立體幾何中的問題不是數學家閉門造車造出來的,而是生活中實際模型的反映,這些模型在生活中比比皆是,有利于學生直觀感知.

三視圖是新課標增加的內容,學習三視圖的目的是為了進一步認識空間圖形,通過空間幾何體與其三視圖之間的互相轉化,對空間圖形形成比較完整的認識,進而培養和發展學生的空間想象能力、幾何直觀能力,更全面、準確地把握空間幾何體的結構特征.

在過去很長一段時間,學生都有種錯誤的認識,所謂解析幾何就是用代數、方程、坐標等解析方法去研究幾何問題,既然將幾何問題代數化處理了,那么就不必重視解析幾何中圖形的直觀性了.新教材“解析幾何初步”試圖改變這種認識,我們來看看對傾斜角與斜率的教材(人教A版《必修2》)處理部分:

1)提問:過定點P有一直線束,這些直線有何區別?(通過畫圖讓學生直觀感知)

2)把直線放入坐標系,引入直線傾斜角概念;

3)舉出生活中實際例子(如坡度,進2升3等)讓學生去直觀感知傾斜角與傾斜度的關系.

例1 (人教A版課本第93頁例6)已知A(5,－1)、B(1,1)、C(2,3),試判斷△ABC的形狀.

本例如果不畫圖直觀感知,先猜測圖形形狀的話,那么入手將非常盲目.教材對本例的處理就采用了畫圖直觀感知—猜測結果—邏輯證明3個步驟.

新教材模塊2的編排意圖很明顯,就是想突出幾何直觀對探究的影響,刻意培養學生的幾何直觀能力.

2 培養目標突出幾何直觀

幾何的學習基本上有4個階段,即直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算.在以往的教材中往往偏重于后2點,缺乏或不太重視直觀性特別是幾何直觀性教學,陷入凡事都得邏輯證明的誤區.使學生無形中陷入了“得意忘形”的境界,忽視甚至排斥幾何直觀,拋棄了幾何的原始來源動機與直觀.但是幾何直觀是一種很重要的科學研究方式,是我們認識的基礎,是揭示數學本質的有力工具.

《普通高中數學課程標準》多處使用了“觀察”“認識”“畫出”“直觀感知”“操作確認”等行為動詞,適當降低了對推理論證的要求,只要求對有關線面平行、垂直關系的性質定理進行證明,而對相應的判定定理只要求學生直觀感知、操作確認,從圖形中直接得出結論,不過分追求嚴密性,很多繁難的定理都不證明,這樣安排的目的就是為了培養學生的幾何直觀能力.

3 如何培養學生幾何直觀能力

3.1 善假于物

新課標在幾何教學中強調實物、模型對幾何學習的作用,生活中有著豐富的模型供我們使用.比如長方體模型就是在立體幾何教學中經常用到的一個“黃金體”,而我們的教室就是長方體,教學中可以讓學生在教室內部仔細觀察這個長方體的線、面關系,在某些問題的求解中即可利用長方體的相關性質解題.

例2 已知直線l、m,平面α、β,下列命題正確的是( ).

A l∥β,l?α?α∥β;

B l∥β,m∥β,l?α,m?α?α∥β;

C l∥m,l?α,m?β?α∥β;

D l∥β,m∥β,l?α,m?α,l∩m＝M?α∥β

圖1

如圖1所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中, AB∥CD,則AB∥平面DC1, AB?平面AC,但是平面AC與平面DC1不平行,所以A錯誤;

取BB1的中點E,CC1的中點F,則可證EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.EF?平面BC1,B1C1?平面BC1,但平面AC與平面BC1不平行,故B錯誤;

可證AD∥B1C1,AD?平面AC,B1C1?平面BC1,平面AC與平面BC1不平行,所以C錯誤;

很明顯D是面面平行的判定定理,所以D正確.

另外在課堂教學中引入現代信息技術等多媒體手段,在加強幾何直觀、促進數與形相結合等方面有著特殊的作用.借助多媒體可以形象、直觀地幫助學生認識所研究的圖形.比如在“解析幾何初步”的教學中,運用多媒體可以進一步驗證得到的結果,為抽象的認識增添形象的支撐.

例3 (人教A版教材第129頁例5)已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運動,求線段AB的中點M的軌跡方程.

本例中在探究點的軌跡時,可以借助信息技術,讓學生先感知軌跡的形狀,提出猜想,然后再進行準確的論證.

3.2 善于構圖

幾何圖形是空間想象能力的具體反映,同時又為邏輯思維(推理)能力提供幾何直觀和表象.所以構圖是解決幾何問題的最基礎性的工作.對于條件中沒有提示圖的幾何題,解題時如果學生畫的示意圖不規范或者不正確,那么這道題就很難解出來.

1)首先要讓學生熟練掌握一些基本圖形的畫法,如幾何體的三視圖、直線與平面的位置關系(平行與垂直)、空間四邊形、三棱錐、三棱柱、球等直觀圖的畫法,并畫出這種圖形的空間感.

圖2

有一些立體幾何問題,不通過構造模型是很難作出正確判斷的.如:某些幾何問題是以正四面體為背景,我們在平面上畫一個正四面體時,畫出的圖形很難將正四面體的性質直觀地體現出來,此時如果構造正方體模型,連接正方體的面對角線(如圖2所示),即可構造出正四面體,這樣正四面體的相關性質得以直觀體現.因此在教學中要鼓勵學生親手制作立體幾何模型,讓學生可以更直接地感受空間幾何圖形的特征.學生通過親身體驗柱、錐、臺的結構特征,逐步形成空間想像能力.

2)對于結構相對比較復雜的幾何直觀圖,要求學生先根據已知的描述進行空間想象,在腦海中形成一個基本圖形,大致確定圖形的元素之間的位置關系,要分清哪些是可見的輪廓線,哪些是不可見的,最后再畫出正式的直觀圖.

3.3 善于轉譯

很多數學問題都是用自然文字語言或精煉的數學符號語言來敘述的,這樣敘述比較抽象,如果能夠轉譯成形象的圖形語言,無疑對解題帶來很大幫助.

例如,在學習了一個定義、性質或定理后,我們可訓練學生用文字語言、符號語言、圖形語言3種語言來表示所學的內容.

例4 線面平行的判定定理的3種表述.

1)文字語言:平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行.

圖3

2)符號語言:直線a、b與平面α,若a?α、b?α且a∥b,則a∥α.

3)圖形語言:如圖3所示.通過這樣的訓練不僅提升了學生對概念的認識,也增加了空間想象能力的培養.

再如:教學中在講解2條直線垂直的判定條件時,在推出結論“如果2條直線l1、l2的斜率k1、k2存在,那么這2條直線垂直的等價條件是k1k2＝－1”后,某些老師就直接教給學生利用結論解題,但是這個結論的幾何意義是什么?結論背后有什么本質的東西呢?我們可以利用圖形來繼續探討:

圖4

不妨把2條直線平移到坐標原點處如圖4.令AB⊥x軸, OH＝1,所以k1＝|HA|,k2＝－|HB|.在Rt△AOB中,因為|OH|2＝|AH|·|HB|,所以k1k2＝－1.

我國拓撲學家張素誠曾說過:對數學中的許多問題來說,“靈魂”往往來自幾何.由此可見,幾何直觀對于激發學生“靈感”的重要性,這就要求我們教師在教學中要盡可能地借助幾何直觀來分析、講解問題,這樣既能培養學生借助幾何直觀解決問題的意識,又能為學生創造用幾何直觀去尋找解題方法的條件.

福建省泉州師范學院附屬培文實驗高級中學)