淺談數學試題本質思考的重要性

◇ 江蘇 趙一霖

淺談數學試題本質思考的重要性

◇ 江蘇 趙一霖

眾所周知,數學問題的解決是數學教學的核心,平時教學中教師對數學問題的研究、編制往往非常重視,從問題的多方面對學生進行訓練.筆者也常常遇到這樣的情況,類似的錯誤剛分析完畢,學生又在同樣的問題中繼續犯錯,教師講得辛苦卻效果很差.這是非常值得思考的一個問題,試想若能解決這樣的問題,那么解題教學的效率就會大大提高.

數學最重要、最核心的是概念.但是學生對于概念的理解卻并未達到我們的目標.比如解析幾何中橢圓、雙曲線、拋物線的定義,其實很多學生是根本不了解的.

例2 如圖1,AB是平面α外固定的斜線段,B為斜足.若點C在平面α內運動,且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角,則動點C的軌跡為________.(填“圓、橢圓、雙曲線、拋物線”中的一種或幾種)

圖1

分析 例1考查的是解析幾何第一定義,即感官定義,對于能力較差的學生來說,其對于條件的分析往往沒有思考問題所需要考查的方向,若能積極思考定義,從定義出發,這樣的問題對于能力較弱的學生也能輕而易舉地解決.例2從立體幾何中去思考解析幾何,挖掘了圓錐曲線為何稱之為圓錐曲線的原因.問題背后體現的是教材“圓錐曲線”這章中的章頭圖,用平面截圓錐,若平面平行于圓錐底面,則截口曲線是圓;稍有傾斜,則截口曲線是橢圓;與圓錐母線平行的平面截圓錐,截口曲線是拋物線;截對頂擺放的2個圓錐得到的平面,截口曲線是雙曲線.這種問題背后的本質思考,就是數學教學最基本的、也是最重要的東西——概念.筆者以為,很多時候教師僅僅是講題,并沒有講透問題背后的本質,就題論題式的教學是事倍功半的.

本質思考 例1綜合考查了橢圓、雙曲線的定義、標準方程和幾何性質.由得所以a＋b＝2(a－b),得a＝3b.所以

例2因為∠CAB等于直線AB與平面α所成的角,不妨記為θ,因此動點C在空間的軌跡是圓錐表面上的點.又直線AB與平面α所成的角大小也是θ,而動點C既在圓錐上又在平面α上,則此時的截口曲線是橢圓.

鞏固1 F1、F2是橢圓C1:x2/4＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點,A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點,若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是________.

分析 不妨令BF1＝m,BF2＝n,利用橢圓和雙曲線定義可知m＋n＝4,m－n＝2a,進而解得m、n.又∠F1BF2是直角,由勾股定理易得離心率

鞏固2 二面角α-l-β大小120°,AB垂直平面β交l于B,動點C滿足AC與AB成30°角,則點C在平面α和β上的軌跡分別是________.(填“圓、橢圓、雙曲線、拋物線”中的一種或幾種)

分析 類似于例2,首先將平面α和β抽去,那么動點C滿足AC與AB成30°角的空間軌跡是以AB為軸的圓錐,此時點C在圓錐的母線上,現將平面β與圓錐相截,由條件“AB垂直平面β交l于B”可知截口曲線為圓,再將平面α與圓錐相截,考慮到平面α與軸AB成30°角,而母線與軸AB也成30°角,根據圓錐曲線定義可知,截口曲線為拋物線.

說明:類似的問題有很多,筆者給出鞏固問題,從概念的角度對于類似問題的認知有了更深入的理解,有助于數學本質的挖掘.

從近年來新課程立足于數學教學需要加強概念教學的理念出發,筆者認為首先數學教學需要脫離題海訓練的模式,要從問題背后去挖掘本質.從例1、2我們不難發現,近年來高考熱點問題尊崇了新課程改革的理念,對于普通問題背后都有著最基本的數學概念的考查.其次是思考,圓錐曲線第一定義是教材中最感官的闡述,而用平面截圓錐得到的曲線正是為何將橢圓、雙曲線、拋物線和圓稱之為圓錐曲線的本質(教材章頭圖).多數學生對于定義的思考和理解、對于截口曲線的認知都是遠遠不夠的,因此教學中需要追求概念本質的思考才是關鍵.

江蘇南通市天星湖中學)