例析自主定義型問題的求解

◇ 北京 丁益祥(特級教師)

例析自主定義型問題的求解

◇ 北京 丁益祥(特級教師)

自主定義型問題是指根據問題的設計需要,人為地定義某個概念、某種運算、某條規則等等,并要求按照這些自主定義的概念、運算、規則處理的問題.因此,讀懂并理解這些概念、運算、規則的定義,對于解決這類問題起著至關重要的作用.

1 自主定義新概念問題

例1 設S為復數集C的非空子集,若對任意x、y∈S,都有x＋y,x－y,xy∈S,則稱S為封閉集.現給出下列命題:

①集合S＝{a＋bi|a、b為整數,i為虛數單位}為封閉集;

②若S為封閉集,則一定有0∈S;

③封閉集一定是無限集;

④若S為封閉集,則滿足S?T?C的任意集合T也是封閉集

其中所有真命題的序號是________.

按照題目中給出的定義,如果復數集C的一個非空子集S是封閉集,那么,必須滿足對于S中的任意2個數,它們的和、差、積仍是S中的數.因此,要完成題目中4個命題真假的判斷,必須依據封閉集的概念,逐一審視.

對于命題①,?x、y∈S,不妨設x＝a1＋b1i, y＝a2＋b2i,且a1、b1、a2、b2都是整數,則

由于a1、b1、a2、b2都是整數,所以a1±a2,b1± b2,a1a2－b1b2,a1b2＋a2b1都是整數,所以x＋y∈S,x－y∈S,xy∈S,因此①正確.

對于命題②,?x、y∈S,由于S為封閉集,所以x－y∈S.取x＝y,得0∈S,因此②正確.

對于命題③,若集合S＝{0},顯然S滿足封閉集定義中的所有條件,所以S是封閉集.但S是有限集,因此③錯誤.

對于命題④,取S＝{0},T＝{0,1},滿足S? T?C.但由于0－1＝－1?T,故T不是封閉集,因此④錯誤.

綜上所述,真命題是①、②.

例2 設[x]表示不超過x的最大整數(如[2]＝2,[5/4]＝1),對于給定的n∈N?,定義＝則當x∈ [3/2,3)時,函數的值域是________.

上述2個問題,都是自主定義新概念問題.例1自主定義了封閉集的概念.正確理解封閉集的意義,明確封閉集中元素的基本特征,并據此逐一分析所給命題,是解決問題的基本方法.例2自主定義了一個新函數將命題視角聚焦在對新函數符號的閱讀和理解上.同時,著意考查了函數的單調性及其值域、考查了閱讀理解能力、自主學習能力以及分類與整合的思想.由于符號“”與組合記號“”有著相同的結構形式,極易弄混,因此,此題對思辨意識也有著較高的要求.

自主定義新概念是自主定義型問題中的典型問題之一,求解這類問題,關鍵在于對自主定義的新概念的閱讀和理解.

2 自主定義新運算問題

例3 定義一種運算“?”:當m,n都是正奇數或都是正偶數時,m?n＝m＋n;當m,n一個是正奇數另一個是正偶數時,m?n＝mn.則集合M＝{(a,b)| a?b＝36,a、b∈N?}中元素的個數是( ).

A 21; B 26; C 31; D 41

當a、b都是正奇數或都是正偶數時,a?b＝

36＝1＋35＝2＋34＝…＝34＋2＝35＋1,有35個(a,b);

當a、b一個是正奇數另一個是正偶數時,a?b＝1×36＝3×12＝4×9＝9×4＝12×3＝36×1,有6個(a,b).

綜上,集合M中共有41個元素.選D.例4 任意2個非零平面向量α和β,定義α?β＝若平面向量a、b滿足|a|≥|b|＞0,a與b的夾角且a?b、b?a都在集合{n/2|n∈Z}中,則a?b＝( ).

A 1/2; B 1; C 3/2; D 5/2

由定義,得

所以(a?b)∈(1,2).而(a?b)∈{n/2|n∈Z},所以a?.因此選C.

上述2個問題,都是自主定義新運算問題.例3的求解,應分正整數m、n奇偶性相同或奇偶性相異2種情況,并按題目中關于“?”的不同定義分別進行運算.例4自主定義了2個非零向量α和β之間的一種運算“?”,讀懂這種運算的意義,并注意運算結果所在集合中元素的特征以及三角函數的有界性,是解決問題的關鍵.

自主定義新運算問題,通常會對所給出的運算符號賦予明確的意義,并給出與之“等價”的常規意義下的算式.處理這類問題,一般只需把給出的算式當作公式或法則使用,即可快速獲解.

3 自主定義新規則問題

例5 為綠化環境,某地區大面積植樹造林,在區域{(x,y)|x≥0,y≥0}內植樹(如圖1).第1棵樹在A1(0,1)點,第2棵樹在B1(1,1)點,第3棵樹在C1(1,0)點,第4棵樹在C2(2,0)點,接著按圖中箭頭方向每隔一個單位種2棵樹,那么第2016棵樹所在的點的坐標是( ).

A (8,45);

B (9,45);

C (8,44);

D (9,44)

觀察圖中各正方形右上角頂點處所植樹的序號以及方向,不難發現,正方形對角線OB1所在直線上的點(1,1)處種植第1×2棵樹,點(2,2)處種植第2×3棵樹,點(3,3)處種植第3×4棵樹,……,點(n,n)處種第n(n＋1)棵樹.并且,當n是奇數時,由該頂點出發的箭頭方向向下,當n為偶數時,由該頂點出發的箭頭方向向左.

由此只需確定滿足不等式n1(n1＋1)≤2016≤n2(n2＋1)的正整數n1或n2即可.

因為44×45＝1980＜2016＜2070＝45×46,所以與第2016棵樹對應點的縱坐標為44.

又2016－1980＝36,所以第2016棵樹所對應點的橫坐標為44－36＝8.因此,第2016棵樹所在的點的坐標是(8,44).

例6 甲、乙2人做報數游戲,游戲的規則是:2人從1開始輪流連續報數,第一個報數的人1必須報,每人一次至少報1個數,最多可以連續報7個數,并且前一個人報完數后,后一個人必須接著前一個人所報的最后一個數往后依次連續報數.例如:前一個人報數“1,2”,則后一個人可以有“3”,“3,4”,…,“3,4, 5,6,7,8,9”共7種報數方法.規則約定,誰先報出“100”誰獲勝.現從甲開始報數,若甲要想必勝,則甲第一次報出的數應該是________.逆過來想.由于規則約定每人一次至少報1個數,最多可以連續報7個數,因此,若甲想下一次能報出100,則甲前一次報出的最后一個數必須是92.這樣,乙雖可以有“93”,“93,94”,…,“93,94, 95,96,97,98,99”共7種報法,但此時,甲只需對應報“94,95,96,97,98,99,100”,“95,96,97,98,99,100”,…,“100”,即可獲勝.

如此看來,當乙報m(1≤m≤7)個數時,甲只需報8－m個數,就可以搶先報出“100”.這是一個首項為100,公差為－8的等差數列問題.易知,甲只需逐次搶先報出92,84,76,…,4,即可獲勝.因此,甲要想必勝,第一次報出的數應該是“1,2,3,4”.

上述2個問題,都是自主定義新規則問題.例5規定了植樹的初始位置、株距間隔以及走勢.求解此題我們從2個不同角度進行了分析.分析1由正方形對角線上點的坐標特征與該點處所植的樹的序號之間的關系切入,通過直觀抽象和適當的計算快速地解決了問題.分析2通過與平方數的聯想,結合株距間隔以及箭頭走勢分析,也不難獲得正確的結果.例6規定了報數游戲的規則以及獲勝的標準,通過逆向思維,利用倒推的方法,把問題轉化成了等差數列問題來求解.

從以上2個問題的處理過程,我們清晰地看到,問題給出的規則是定律,只要我們真正理解問題提出的規則,并且堅決遵照執行,那么問題必將迎刃而解.

自主定義型問題在近年的數學高考中有著較高的考查頻率,讀懂自主定義的概念、法則、運算或規則,并能真正理解和掌握,是解決這類問題的關鍵.為此,我們既要重視課本中現成的概念、法則、運算或規則的學習和應用,又要善于從所給的材料中,學習領悟或抽象概括出課本中沒有的新的概念、法則、運算或規則,進而達到利用新概念、新運算、新規則解決“從未見過的”新問題的目的.

北京陳經綸中學)