基于高中數學問題解題中圓錐曲線定義的應用分析

溫益朋

（江門市江海區禮樂中學 廣東江門 529060）

基于高中數學問題解題中圓錐曲線定義的應用分析

溫益朋

（江門市江海區禮樂中學 廣東江門 529060）

圓錐曲線知識是貫穿高中數學教學的重要部分，而圓錐曲線定義是數學解題中極其重要的理論依據。圓錐曲線的方程和性質是根據圓錐曲線定義推理出來的，掌握好圓錐曲線定義能夠提高解題的效率，在高中教學中，教師應該培養學生的舉一反三的學習能力，本文對高中數學問題解題中圓錐曲線定義的應用進行了探討。

高中教學 應用 教學建議

在當今的應試教育中，高中學生普遍采用的方法就是題海戰術，學生們通過大量的做題來提高學習成績，然而并沒有掌握真正的方法，只是一味的模仿和套用，許多學生在學習這部分內容比較吃力，因為他們沒有掌握解題思路，對圓錐曲線的定義熟練程度還不夠，形不成一套完整的解題方式。圓錐曲線定義的學習是高中的要點，也是教學中的難點。

圓錐曲線定義中主要是利用雙曲線定義、橢圓定義中的性質，通過分析圓錐曲線上的點與兩個焦點之間的關系來尋找解題的關鍵，某點的運動軌跡是雙曲線、橢圓或者是拋物線是由兩者的關系而決定的。要想達到快速的解題效果，就必須對雙曲線、橢圓、拋物線等定義進行深入的學習和熟練的掌握。在高中數學解題中圓錐曲線定義的應用是想讓學生建立等價轉換的意識，在解題中注意數形結合，從圓錐曲線的定義著手，尋找解題思路。

一、圓錐曲線的定義在解題中的運用

1.圓錐曲線的定義在離心率中的運用

圓錐曲線重要的性質就是離心率，研究離心率是研究圓錐曲線的前提。在高中數學題目中，有很多題目是對離心率的考查，主要是考查離心率的范圍和離心率的值，所以學生們應該要特別關注圓錐曲線中離心率問題；無論是求離心率的范圍還是數據值，都是與圓錐曲線的定義不可分的。

學生在遇到這類題目時，要明確自己的解題思路，根據圓錐曲線的定義，運用簡單的步驟簡化題目，得到正確的答案［1］；另一種方法就是利用相應的解題技巧，靈活得運用“通徑”的基本知識，把題目化繁為簡，進行計算。針對不同的題目，學生們要采取不同的解決方法，將題目化繁為簡，經過一定時間的運算，最終得到正確的結果。

2.利用圓錐曲線的定義求軌跡方程

參數法、直譯法、定義法和相關點法都是求圓錐曲線軌跡方程的方法，其中最常用的就是結合圓錐曲線的定義進行求解。定義法就是利用圓錐曲線的定義通過觀察曲線運動的軌跡和運動特點來判斷是橢圓、拋物線還是雙曲線，最后確定其中的參數和方程的形式，得到正確的結果。例如已知兩個半徑為圓和，它們的圓心距為a，另有一動圓和內切，與外切，求動圓圓心的軌跡方程，并判斷是哪種圓錐曲線，類似的問題，主要是運用圓錐曲線的定義來求解，解題時要建立一直角坐標系，坐標系的原點為和的中點，x軸為和所在的直線，建立好坐標系之后，得到和的坐標，設動圓的半徑是r，由和內切得的值，由和外切可得的值，然后根據他們之間的相互關系求得的軌跡方程，最終確定這個軌跡，利用圓錐解題，思路比較簡單，下面舉兩個例子來說明

例2：如圖1，已知F1，F2是橢圓上的左右焦點，P是橢圓上的任意一點，從點F1引∠F1P F2的外角平分線的垂線，求垂足Q的軌跡。

解：延長F1Q，F2P，相交于點A，在等腰三角形中

確定垂足為Q的軌跡為圓，這是常見的考試應用題目。

3.利用圓錐曲線的定義求焦點三角形

在圓錐曲線中，常有一大部分題目是求解焦點三角形的面積，這類題目需要學生們加以總結和分類，形成自己完整的解題思路，例如：

已知P為某一雙曲線上任意一點，雙曲線中的a、b均大于0，求三角形的面積。

解析：解答這種題目，需要熟悉圓錐曲線的定義，還要對正弦定理有所了解，根據正弦定理以及雙曲線的定義可以得到以下式子：

最終得到的三角形面積如以上步驟。

4.利用定義進行證明題的解答

在有關圓錐曲線的題目中，除了大部分的求解軌跡方程之外，證明題也是高中數學中常遇見的問題，其中有求證橢圓的焦點弦為直徑的圓與準線相離，如果換成曲線的話，就是圓與相應的準線相交。對這類題目進行解答時，應該掌握好圓錐曲線的第二定義，然后在根據對第二定義的熟知下進行證明，下面就是對這種類型例題的分析。

一拋物線的表達方式為：y2=2px，過它的焦點F作一條直線x=p與拋物線相交于A1和A2兩點，證明以A1A2為直徑的圓與拋物線的準線相切。

解析：把握拋物線的定義是解答這類題目的前提，然后再根據平面幾何知識進行分析，首先設A1A2中點是M，然后過這三個點分別做垂線，垂足為C1、C2、C3，只有作圖之后才能快速的解題，根據垂足之間的關系，能夠判斷出以A1A2為直徑的圓的半徑是MC3，從而得到與MC3與P相交的垂線，最后才能得到與拋物線的準線相切。

在解答這種題目時熟練掌握圓錐曲線的定義是關鍵，然后再根據三角函數等知識，可以快速算出準線、焦點三角形等一些數據值，極大得縮短了做題的時間。

二、圓錐曲線教學中的思維策略

在學生學習圓錐曲線類的知識時，思維常常是混亂的，有時候讓學生們找不到頭緒，甚至害怕；教師可以培養學生利用“數形結合”的思維方式，將復雜的問題簡單化，將試卷上的文本變成圖像呈現出來，就有利于找出的解決辦法。在做圓錐曲線類的題目中，不畫出圖，可能會導致結果不會全面、不夠準確，而利用“數形結合”的方法可以迅速找到解答的方法。

在教學中過程中，需要學生運用數字和圖形的結合［3］，掌握這種方法并能熟練的運用。

結束語

圓錐曲線是高中重點考查的題目，學生要真正把自己掌握的知識遷移到題目中去，需要加強練習。圓錐曲線之所以在高中題目中占有大部分的內容是因為圓錐曲線在軍事、測量、建筑、機械、天體運動都有普遍的運用，圓錐曲線對實際生活中的探究發揮著重要的作用，所以學生們要加強學習力度，為在現實生活中的運用奠定基礎。學生在學習中要熟知圓錐曲線的定義，利用圓錐曲線的性質靈活的解決問題，從而提高自我的思維能力。

［1］常云.理科考試研究［J］.圓錐曲線定義在高中數學解題中的應用.2014.03（28）：25-27.

［2］王新.科技視界［J］.淺談圓錐曲線的性質及推廣應用.2013.01（02）： 35-36

［3］柳秀紅.成功教育［J］高中學生教學思維障礙的成因及突破.2013.07（03）：45-46