磁共振圖像處理中部分傅里葉重建算法的比較*

何汶靜，陳曉文，朱高杰，羅　海

(1.川北醫(yī)學院醫(yī)學影像學系，四川南充 637000；2.奧泰醫(yī)療系統(tǒng)有限公司，成都 610000)

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磁共振圖像處理中部分傅里葉重建算法的比較*

何汶靜1，陳曉文1，朱高杰2，羅海2

(1.川北醫(yī)學院醫(yī)學影像學系，四川南充 637000；2.奧泰醫(yī)療系統(tǒng)有限公司，成都 610000)

目的比較磁共振(MRI)圖像處理中部分傅里葉重建算法，對比各算法的優(yōu)缺點，改進算法。方法基于部分傅里葉重建算法理論上的k空間數(shù)據(jù)的共軛、對稱性，利用1.5T醫(yī)用MRI設(shè)備，采集全k空間的數(shù)據(jù)，重建時僅利用其中55%～85%的數(shù)據(jù)模擬部分采集方式，用零填充、共軛對稱、Homodyne、POCS幾種算法分別重建圖像。結(jié)果共軛填充方式振鈴偽影最明顯，POCS算法去振鈴偽影效果最好。結(jié)論POCS算法多次用低頻相位加權(quán)迭代，在去掉偽影的同時造成高頻圖像細節(jié)丟失，且耗時較長；Homodyne算法能在保留圖像細節(jié)和消除振鈴中間取得較好的平衡，如果用Sinc函數(shù)作為權(quán)重函數(shù)進行相位解纏繞，還可以進一步提高圖像質(zhì)量。

部分傅里葉重建；磁共振成像；k空間

磁共振(MRI)成像技術(shù)由于其無損傷，無放射性，可成像生理參數(shù)豐富，可進行功能成像等優(yōu)點，目前已日益成為醫(yī)院的核心檢查設(shè)備[1]，廣泛用于臨床影像診斷[2]、腦功能研究[3]、生理學研究[4]、分子生物學[5]等方面。但由于MRI技術(shù)成像原理復(fù)雜，國內(nèi)起步晚等原因，MRI需要解決的科學技術(shù)問題還很多。例如MRI的成像速度較慢一直是待解決的主要技術(shù)問題，成像速度慢不但花費醫(yī)生和被檢者更多的檢查時間，降低設(shè)備利用率，更會由于檢查過程中被檢者的生理性運動造成圖像模糊甚至失真，難以應(yīng)用于動態(tài)成像，實時成像等。

隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，圖像處理速度不斷提高，利用計算機圖像重建的方式縮短硬件采樣時間成為可能。基于k空間的各種加速采集方法不斷涌現(xiàn)，其中部分傅里葉成像算法是基于k空間的信號采集方法，它利用k空間的共軛對稱性，采集50%以上的數(shù)據(jù)，再利用各種算法對未采集的數(shù)據(jù)進行填補，從而大量縮短掃描時間。部分傅里葉重建算法主要包括零填充、共軛對稱、Homodyne等，各種算法的目的都是實現(xiàn)相位校正。這是由于在MRI設(shè)備中，采樣時的運動、共振頻率偏移、硬件延遲、渦流、磁場非均勻性等原因會造成數(shù)據(jù)的非完全對稱[6]，共軛對稱的數(shù)據(jù)會引入相位錯誤。這些重建算法在數(shù)據(jù)的非均勻性增加的時候，越發(fā)顯現(xiàn)其重要性。

本文比較和討論的相位矯正算法包括零填充、共軛對稱、Homodyne、循環(huán)算法填充(POCS)。每一種算法都有其優(yōu)勢和局限性，對它們的定量分析可以找出各算法的適用規(guī)則，在不同的情況下使用合適的算法，更有利于進一步發(fā)展出新的算法。

1　算法的理論基礎(chǔ)

MRI信號通過采樣放入數(shù)據(jù)空間，經(jīng)過數(shù)字化轉(zhuǎn)化為k空間，常規(guī)k空間填充方式為直線填充，即一個相位編碼周期填充一行，直到將k空間填充完畢。相位編碼梯度常施加于Y軸，記為Gy，在主磁場均勻，梯度線性情況好的條件下，第(-t)行的線性相位編碼梯度Gy(-t)和第t行的線性相位編碼梯度Gy(t)之間滿足Gy(-t)=-Gy(t)，理論上只需采集一半k空間數(shù)據(jù)，另一半由對應(yīng)位置數(shù)據(jù)共軛填充即可。

然而由于實際情況下數(shù)據(jù)會出現(xiàn)非對稱性，共軛填充就會引入錯誤，這種錯誤往往表現(xiàn)在數(shù)據(jù)的相位上，需要校正。基于k空間的特性，k空間的中心包含最大信號,從中心向外周信號振幅逐漸減小，因此可采用多采集中心附近數(shù)據(jù)的方式，即50%以上的行數(shù)，來糾正相位差。

部分傅里葉k空間數(shù)據(jù)可由部分傅里葉分數(shù)P來表示，全k空間的傅里葉分數(shù)P為1.0，大多數(shù)部分傅里葉分數(shù)P為0.55～0.8。

1.1零填充零填充即對k空間未采集的數(shù)據(jù)采用0補足，再進行傅里葉變換。

1.2共軛填充利用厄米(hermitian)對稱性，共軛填充k空間的未采集數(shù)據(jù)，即對一定層面S(-kx,-ky)=S*(kx,ky)

為消除階躍函數(shù)H(k)引入的信號強度突變所產(chǎn)生的截斷偽影，還需對H(k)進行平滑處理。

由于實際中I(y)不是一個純實數(shù)，所以還Homodyne算法還進行了相位校正，對稱部分提取低頻相位信號IL(y)，并假設(shè)圖像相位信號緩慢變化，集中在低頻部分，忽略高頻相位。

其中對稱部分，即(-PN,PN)行使用加權(quán)因子L(k)=1加權(quán)，其他部分使用L(k)=0加權(quán)。

1.4POCSPOCS重復(fù)的應(yīng)用相位校正填充k空間。首先將部分k空間采樣矩陣作為初始值，該矩陣可以是經(jīng)過零填充的矩陣，也可以是共軛填充的，或者是經(jīng)過Homodyne算法得到圖像數(shù)據(jù)后反變換至k空間的矩陣。然后將相位校正的方法應(yīng)用到該矩陣中，得到圖像數(shù)據(jù)，再反變換至k空間，如此循環(huán)迭代，直到達到約束條件。

2　各算法重建結(jié)果與分析

實驗數(shù)據(jù)由1.5T超導(dǎo)磁共振成像設(shè)備采集(奧泰醫(yī)療系統(tǒng)有限責任公司，四川成都)。其射頻信號經(jīng)體線圈發(fā)射，人體氫質(zhì)子磁共振信號可經(jīng)頭線圈為8通道并行采集，或經(jīng)脊柱線圈7通道并行采集，其他部位也有相應(yīng)接收線圈。接收到的信號最后保存為和通道數(shù)相同個數(shù)的復(fù)數(shù)矩陣，經(jīng)傅里葉變換后將矩陣元素(復(fù)數(shù))的模相加得到最終結(jié)果并顯示。

實驗均采用全k空間數(shù)據(jù)采集，即傅里葉分數(shù)PF=1.0，然后根據(jù)不同的傅里葉分數(shù)PF的值，去掉部分行，即在y方向討論部分傅里葉算法。接著將部分傅里葉矩陣按照前面的方法填充數(shù)據(jù)，并根據(jù)公式(1)定量描述圖像質(zhì)量。

其中D表示圖像a和標準圖像s之間差異的定量描述，N表示矩陣大小，ai,j和si,j表示每一個矩陣元素。

A:原圖片;B:零填充，PF=0.55;C:共軛填充，PF=0.55;D:Homodyne算法，PF=0.55;E:POCS算法，PF=0.55;F：共軛填充，PF=0.75。

圖1各算法重建圖像

2.1吉布斯振鈴圖1B～1E顯示由體線圈一次采樣的圖像，在傅里葉分數(shù)PF=0.55，即采樣全空間數(shù)據(jù)的55%時，不同算法填充k空間后的數(shù)據(jù)進行傅里葉變換得到，其中零填充和共軛填充顯示了明顯的吉布斯振鈴偽影，而Homodyne和POCS算法的振鈴偽影較輕。隨著傅里葉分數(shù)P增大，吉布斯振鈴逐漸消失(圖2)。由圖2可知各種算法大概在P=0.75處和原圖的差異下降到0.1%附近。

A:歸一化圖像對應(yīng)像素灰度差;B:部分傅里葉變換方向梯度圖之差。

圖2重建圖像和原圖像之間差異定量分析

2.2定量分析及其局限性圖2A，y軸表示各圖片歸一化后與原圖的誤差，圖2B表示y方向，即欠采樣方向的梯度圖像與原圖梯度圖像之間的誤差，誤差越小，成像質(zhì)量越好。可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)式(1)的定量公式，零填充算法和原圖的差異較小，但定量式(1)表現(xiàn)不出零填充算法引入的振鈴效應(yīng)。Homodye和POCS算法從消除振鈴的角度來講效果更好，這是由于這兩種算法利用低頻部分k空間數(shù)據(jù)加權(quán)實現(xiàn)相位糾錯，POCS更是多次迭代加權(quán)低頻圖像，所以振鈴基本消失。但是高頻部分在一定程度上有其不可替代性，所以低頻部分的加權(quán)反而引入了誤差，因此Homodye和POCS算法從圖2A上看，其定量誤差的值大于零填充。

2.3適用范圍另外，圖像相位的劇烈變化對圖像質(zhì)量影響較大。例如由頭線圈采樣的圖像，它由8個線圈8個通道構(gòu)成，每個通道獨立采樣成一幅圖像再進行合成。如圖3A所示是其中一個通道的采樣圖像，如果對其去掉部分高頻k空間數(shù)據(jù)，再采用各種部分傅里葉變換算法，在相位變化劇烈的位置圖像質(zhì)量會在欠采樣方向出現(xiàn)模糊，例如體外和含有空氣的骨骼組織，如圖3B所示，在離本通道對應(yīng)線圈較近的位置，信號較強，圖像對比度高，圖像相位變化劇烈，因此部分傅里葉變換后其附近出現(xiàn)了模糊，說明這種方法采樣的圖像不適合使用以上所描述的部分傅里葉填充算法，應(yīng)改用其他算法[7-9]。圖3以Homodyne算法，PF=0.6為例實現(xiàn)圖像重建，但效果欠佳，如圖3B所示。其他算法重建效果與此接近或者更差，此處限于篇幅不再贅述。

A:原圖像;B:Homodyne算法填充圖像，PF=0.6。

圖3陣列線圈采用圖像重建

A:用B函數(shù)加權(quán)重建的圖像;B:Homodyne算法加權(quán)函數(shù);C用D函數(shù)加權(quán)重建的圖像;D階躍加權(quán)函數(shù);E用F函數(shù)加權(quán)重建的圖像;F:Sinc加權(quán)函數(shù)。

圖4不同加權(quán)函數(shù)重建的圖像

3　結(jié)　　論

部分傅里葉變換是一種簡單基礎(chǔ)的通過欠采樣方式提高成像速度的方法，已有的方式主要有零填充，共軛填充，Homodyne算法，POCS算法。

3.1關(guān)于加權(quán)函數(shù)的討論Homodye和POCS算法都需要用加權(quán)函數(shù)。計算表明POCS算法對加權(quán)函數(shù)的要求相對來說不高。其原因可能是多次迭代降低了加權(quán)函數(shù)的影響。Homodye沒有采用迭代，凸顯出加權(quán)函數(shù)的重

要性。加權(quán)函數(shù)最簡單的形式是階躍函數(shù)，即前面提到的H(k)和L(k)。但是由于階躍函數(shù)的傅里葉變換是脈沖函數(shù)，會引入振鈴。所以Homodye算法在使用H(k)和L(k)時對其進行了平滑處理，圖4A是傅里葉分數(shù)P=0.6時，用圖4B所示平滑的加權(quán)函數(shù)其進行相位糾正后的圖像，圖4C是直接使用階躍函數(shù)圖4D糾正后的圖像。根據(jù)卷積定理，函數(shù)在頻域與階躍函數(shù)相乘等于在時域與脈沖函數(shù)卷積，所以圖4C的效果并不理想。

Homodyne算法的加權(quán)函數(shù)利用中間對稱部分的k空間數(shù)據(jù)進行相位糾正，雖然能消除振鈴，但高頻非對稱部分未能用上，所以作者提出用SINC函數(shù)(如圖4F)所示作為加權(quán)函數(shù)，SINC函數(shù)的傅里葉變換是矩形函數(shù)，所以在消除振鈴時可以更好的還原圖片細節(jié)，如圖4E所示是在傅里葉分數(shù)P=0.6時采用SINC加權(quán)函數(shù)還原的圖像。圖2所示的定量分析也可以看出用SINC函數(shù)加權(quán)還原的圖像(紫色曲線)與原圖和原梯度圖的差異優(yōu)于改進前的Homodyne算法(紅色曲線)。

3.2關(guān)于各算法的討論部分傅里葉重建算法更適用于相位緩慢變化的圖像。其中零填充，共軛填充方式會引入吉布斯振鈴，這是由于零填充和共軛填充都可以看成是完整 k空間數(shù)據(jù)和一個權(quán)重函數(shù)相乘的結(jié)果，如果該權(quán)重函數(shù)是階躍函數(shù)，則由卷積定理，函數(shù)在頻域相乘等于在時域的卷積。而階躍函數(shù)的傅立葉變換是脈沖函數(shù)。由此卷積的結(jié)果就會給圖像帶來振鈴偽影。但其優(yōu)點在于更多地保留了圖像細節(jié)；Homodyne算法和POCS算法利用低頻k空間數(shù)據(jù)加權(quán)的方式降低振鈴偽影，其中POCS算法通過迭代多次加權(quán)低頻數(shù)據(jù)，所以振鈴偽影消除得最好，但是高頻數(shù)據(jù)，即圖像細節(jié)未受到保護，且多次迭代的方式也延長了計算時間，更依賴于計算機處理速度，降低了成像效率。

利用SINC函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)，可進一步提高Homodyne重建質(zhì)量。定量計算對比了這種改進算法變換后的圖像的誤差，結(jié)果表明與原圖和原圖梯度圖像對應(yīng)像素相比，SINC加權(quán)的誤差小于原Homodyne算法。

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Comparison of partial Fourier reconstruction algorithms in MRI image processing

HeWenjing1，ChenXiaowen1，ZhuGaojie2，LuoHai2

(1.DepartmentofMedicalImage,NorthSichuanMedicalCollege,Nanchong,Sichuan637000,China; 2.AotaiMedicalSystemCo.,Ltd.,Chengdu,Sichuan610000,China)

ObjectiveTo compare the various partial Fourier reconstruction algorithms in MRI image processing and their advantages and disadvantages for improving algorithm.MethodsBased on the conjugate symmetry in k-space data in the partial Fourier reconstruction algorithm theory,the 1.5T medical magnetic resonance equipment was utilized,the k-space data were collected,in reconstruction,only 55%-80% of full data were utilized to simulate the partial collection pattern and reconstruct the images by using the several algorithms of zero filling,conjugate synthesis,Homodyne detection and POCS.ResultsThe results presented that the ringing artifact was most obvious in the conjugate filling pattern and the POCS algorithm had the best effect for eliminating the ringing artifact.ConclusionThe POCS algorithm repeatedly uses the weighted iteration with low frequency phase positions,which eliminates artifact,meanwhile causes the lose of high frequency image details,moreover the time consuming is longer;the Homodyne algorithm can keep a good balance between maintaining the image details and diminishing ringing.If the Sinc function serves as a weighting function for conducting phase unwrapping,the image quality may be further improved.

partial Fourier reconstruction;magnetic resonance image;k-space

四川省教育廳資助課題(1BZB0237)。作者簡介：何汶靜(1983-)，講師，碩士，主要從事生物醫(yī)學方面的研究。

TP391.41

A

1671-8348(2016)20-2804-03

2016-01-29

2016-04-07)

·技術(shù)與方法·doi:10.3969/j.issn.1671-8348.2016.20.022