淺析導數在函數中的應用

琚金玲

（河南師范大學 河南新鄉 453007）

淺析導數在函數中的應用

琚金玲

（河南師范大學 河南新鄉 453007）

高中新修訂的數學教學大綱中增加了導數的概念，導數的引入不僅增加了高中數學的深度，加強了在教學過程中由有限到無限的辨證思想的教育，也為以后數學分析等基礎學科的研究奠定了堅實的基礎，導數的意義深遠，它可以與函數聯系起來，也可以與物理方向聯系起來，是微分學中最基本的概念，本文主要就導數在一元函數，多元函數方面的應用進行簡單的探討。

導數；一元函數；多元函數；應用

在數學學習中，導數作為解決數學問題不可缺少的工具，它的地位是毋庸置疑的。把導數真正運用到數學中去，使導數在一元函數，多元函數中的應用充分體現出來。

1 導數在一元函數中的應用

1.1 可導與連續的關系

定理1[1]如果在點x0處，函數f（x）是可導的，那么f在x0處是連續的。

注1[1]可導只是f（x）在該點連續的充分條件，而不是必要條件。例如函數f（x）=|x|在點x=0處是連續的，但是并不是可導函數。

例1設有函數 （fx），當x=0時，（fx）=0，當x≠0時，；那么若（fx）在x=0連續，m為何值？若（fx）在x=0可導，m為何值？

1.2 利用導數研究函數的根

研究函數的根，也就是要弄清楚它的圖像與x軸的交點。這樣的點有多少個，那么這個函數就有多少個根。利用導數，就可以判斷函數根的問題。

例2若k＞0，試問k是何值時，arctanx-kx=0存在正實根？

解：作f（x）=arctanx-kx，k＞0，則有f′（x）=1/（1+x2）-k，f（0）=0。

如果方程arctanx-kx=0有正實根x0，由羅爾中值定理，存在ξ∈（0，x0），使f′（ξ）=0，即1/（1+ξ2）-k=0，k=1/（1+ξ2），則有0＜k＜1。反之，如果0＜k＜1，則 f′（0）=1-k＞0。于是故存在 h1＞0，使得，由此得f（h1）＞0。

綜上可知，若 0＜k＜1，arctanx-kx=0 存在正實根。

1.3 利用導數研究函數圖像

先確定f′（x）=0和f″（x）=0成立和f′（x），f″（x）不存在的點，利用這些點把f（x）的定義域分為若干個子區間，用列表顯示出來，最后綜合分析畫出圖像。

例3做出y=3x5-5x3的圖像.

解：函數定義域是（-∞，+∞），若f（x）=3x5-5x3，那么：

故f（x）是奇函數.若x，y分別為零，那么f（x）和x，y軸的交點是：

又 y′=15x4-15x2，令 y′=0，則 x=0，1，-1。又 y″=60x3-30x，令 y″=0，則有，那么有表1。

表1

做出函數圖像為如圖1。

圖1

1.4 對復合函數求導方法

定理2[2]如果u=φ（x）在x0是可導的，y=f（u）在u0=φ（x0）是可導的，那么復合函數 f·φ 在 x0可導，并有 （f·φ）′（x0）=f′（u0）φ′（x0）=f′（φ（x0））φ′（x0）。

注2我們把上面的公式稱作復合函數的求導公式，也稱作鏈式法則，函數y=f（u），u=φ（x）的復合函數在點x的求導公式也可寫作為

解：首先對上面的函數式取對數，那么有：

然后對上面式子兩邊分別求導，可以得到：

對復合函數求導可以用鏈式法則，但在某些情況下，函數會比較復雜，除了利用一些基本的求導法則，我們還有其他更為簡便的方法.例如上面的例子如果我們用常規方法來做會比較麻煩，但我們用對數求導法使計算變的相當簡便。

1.5 導數在參變量函數中的應用

利用導數可以更簡便的解決參變量函數問題，通過研究下面這個例題，能夠加強對數學知識的理解：

解：假設 t=t0，那么相對應的點是（x0，y0），于是：

2 導數在多元函數中的應用

與一元函數類似，在多元函數中，依舊可以得出兩個極限表示式：

由第一個式子我們看出式子右邊的極限是關于x的一元函數f（x，y0）在x=x0處的導數，第二個式子是關于y的一元函數f（x0，y）在y=y0處的導數。

2.1 偏導與連續的關系

在一元函數中，如果一個函數可導，那么這個函數必連續；而在二元函數中，如果偏導函數存在，那么這個函數不一定連續。具體看下面的這個例子：

2.2 偏導數與物理結合應用

偏導數不僅在數學中應用廣泛，它也可以與物理等學科結合，解決科學中的實際問題.但是最重要的還是要掌握偏導數的求法，偏導數的求導方法是在最基本的求導法則基礎上建立起來的[3]：

2.3 方向導數的應用

在很多數學問題中，我們不僅需要判斷函數在兩軸上的變化率，還要進一步研究函數在其他方向上的變化率，這就用到了方向導數。

例9設f（x，y，z）=x+y2+z3，確定f在P0（1，1，1）沿著方向l：（2，-2，1）的方向導數。

解：由題意 fx（x，y，z）=1，fy（x，y，z）=2y，fz（x，y，z）=3z2，則在點 P0（1，1，1）處有：

在數學教材知識中，導數起到了極其重要的作用，是處理數學問題的非常有效的工具。在上面的研究中，我們討論了導數在一元函數，二元函數方面的應用，都起著化繁為簡的作用。不僅是一元函數，二元函數，在隱函數的問題上，例如隱函數或隱函數組是否存在的判定，極值的確定等，都要以導數的知識為基礎。

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊，第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001：92～94.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（下冊，第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001：116～134.

[3]鄭永春.Jacobians法對熱力學偏導數的應用[J].大理學院學報，2001，4（2）：91～94.

O172.1

A

1004-7344（2016）10-0030-02

2016-3-15

琚金玲（1992-），女，漢族，河南濟源人，碩士研究生，研究方向為學科教學（數學）。