關于函數項級數一致收斂判別方法的探討

河南省濮陽市衛生學校 王菲菲

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關于函數項級數一致收斂判別方法的探討

河南省濮陽市衛生學校 王菲菲

摘要：高等數學在整個高職教學體系中占有非常重要的作用，函數收斂問題貫穿于整個高等數學的知識鏈中，是教學重點也是教學難點。本文從定義、定理角度對函數項級數一致收斂性的判別方法加以歸納探討，結合實例介紹幾種常見方法。

關鍵詞：函數項級數 收斂 一致收斂 判別

函數項級數在收斂時是函數的一種表示方法，這種表示方法可以從更深刻的背景描述一個函數的性態：連續性、可積性、可微性。有了函數項級數知識后就產生了如何通過無窮多個函數的疊加產生新函數以及這樣產生的新函數的性質的可能性，而函數項級數的一致收斂性和非一致收斂性在其中起了關鍵作用。

一、函數項級數的相關知識

1.函數項級數的定義

2.收斂和一致收斂的相關定義

（1） 收斂

（2）一致收斂

二、一致收斂的判別方法

1.M判別法（優級數判別法）

（2）求優級數的方法除了觀察法外，還可以用如下的方法：①求un(x)在區間D上的最大值；②利用已知的不等式；③用泰勒公式、微分中值定理等各種方法變形再放大。

2.定義法

證明：由函數g（x）在D上有界知，存在M＞0，對于任意x∈D，有|g（x）|≤M。

又知∑un(x)在D上一致收斂于s（x），由函數項級數收斂的定義知對于任意ε，存在N。

3.柯西收斂準則

函數項級數∑un(x)在數集D上一致收斂推導出對任意ε＞0，存在N∈N*，任意n＞N，對任意x∈D及任意p∈N*，有sn+p-sn（x）＜ε或|un+1（x）+......un+p（x）＜ε。

（1）推論1：函數項級數∑un(x)在數集D上一致收斂推導出函數列｛un（x）｝在D上一致收斂于0。

（3）該方法通常用于抽象的函數項級數。

（4）用柯西準則判斷函數項級數是否一致收斂完全取決于充分大后的“片段”是否能一致的任意小，而無需求出和函數。

4.確界法

（1）這種情況要求函數項級數的部分和函數列｛sn（x）｝和其極限函數s（x）容易求出。

例4，證明函數項級數∑x2(1-x)n在（0，1）上一致收斂。

5.阿貝爾判別法和狄利克雷判別法

阿貝爾判別法：

（ii）對于每一個x∈D，｛νn（x）｝是單調的；

狄利克雷判別法：

（ii）對于每一個x∈D，｛νn（x）｝是單調的；

（iii）在D上νn（x）一致收斂于0（n→∞），則∑un（x）νn（x）在D上一致收斂。

若要根據阿貝爾判別法和狄利克雷判別法，證明函數項級數一致收斂，關鍵是將通項寫成兩個因子的乘積，使之符合判別法的條件：un（x）=an（x）·bn（x）。

6.狄尼定理

設 un（x）≧0，在D上連續，（n=1，2 …），又在D上收斂于連續函數s（x），則∑un（x）在D上一致收斂于s（x）。

（1）方法步驟：判別un（x）≧0（或un（x）≦0），且連續推導出求和函數s（x），推導出判定和函數s（x）在定義域上連續，推導出一致收斂。

（2） 在狄尼定理中，可將un（x）≧0（n=1，2…）改變為“固定x時，各un（x）保持同號（當x變化時，un（x）可以變號）”，結論仍然成立。

四、小結

M判別法、狄利克雷判別法及阿貝爾判別法使用較為方便，但是，M判別法多用于證明絕對一致收斂的函數項級數；狄利克雷判別法和阿貝爾判別法常用于條件收斂的函數項級數。柯西收斂準則在理論上很重要，通常用于證明抽象函數項級數的一致收斂性（M判別法、狄利克雷判別法及阿貝爾判別法即由其推導得到）。在不易使用M判別法、狄利克雷判別法及阿貝爾判別法時，常用確界法，而且確界法不僅可以判別一致收斂，也可以判別非一致收斂。

參考文獻：

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文章編號：ISSN2095-6711/Z01-2016-04-0220