設計矩陣與觀測數據間存在的一種矛盾及其解決方法

馬柳州 張加晉 王川陽萬 軍

（1.江蘇省地質勘查技術院 江蘇南京 210049 2.福建海洋研究所 福建廈門 361013 3.中國測繪科學研究院 北京 100830）

設計矩陣與觀測數據間存在的一種矛盾及其解決方法

馬柳州1張加晉2王川陽3萬 軍3

（1.江蘇省地質勘查技術院 江蘇南京 210049 2.福建海洋研究所 福建廈門 361013 3.中國測繪科學研究院 北京 100830）

在一個觀測系統中，設計矩陣態性和觀測精度都與網形空間分布相關，在某些情況下兩者表現出對立性，兼顧這類矛盾的網形圖形優化設計超出了常規控制網優化設計的范圍，本文提出了折衷函數法解決這類問題，收到了一定的效果。

圖形強度；優化設計；折衷函數法

1 引言

G.Schmitt指出，大地網最優化設計與平差過程具有同樣的意義和重要性，事實也表明，大地網最優化設計與最小二乘平差緊密相關而且在某種程度上來說，兩者已經統一在一起了。應當指出，大地網最優化設計并不比大地網平差計算的重要性低，而且其難度在一定程度上甚至超過大地網平差計算。

研究可以發現，設計矩陣的體積和觀測誤差都與網形的空間分布相關，當兩者間存在矛盾時，以網形圖形強度最強為約束的設計方法將得不到最優化設計方案，因此需要建立折衷函數，平衡兩者間的矛盾。

2 數據矩陣和觀測數據間矛盾的一般化解釋

對于線性反問題Ax=b，若數據矩陣A的廣義逆為G=f（A），則其解為：

式中：DOP（Dilution Of Precision）稱為誤差放大因子。

由式（2）可得，若δ0為一常數，DOP越小，則參數解的精度越高，那么，以反問題解精度最高為目標的優化設計問題可轉化為準則。

需要指出，準則（3）本質上是以網形的圖形強度最強為約束的網形優化設計準則。由于觀測誤差與觀測向量的空間分布相關，δ0往往是一變量，因此，需要把準則（3）推廣為：

當DOP和δ0間表現出很強的對立關系，基于準則（3）和準則（4）得到的優化設計方案將有很大的差異。基于準則（3）將得到一個較大的超誤差圓球，而基于準則（4）將到一個較小的超誤差橢圓，而最上那個狹長的超誤差橢圓為最小化約束δ0得到設計方案。

3 折衷函數法

3.1 數據矩陣與觀測數據精度間矛盾在定位網中的表現

在一個定位問題中，基于準則（3）可得，數據采集階段，需要改善網形圖形強度，數據處理階段，需要加入先驗信息或改善反演算法；而基于準則（4）可得，最小化的DOP不一定不等價與最小化的δx^，當網形圖形強度和觀測數據質量間存在矛盾，不能忽略矛盾雙方中的任何一方。在實際測量中，這種矛盾更是不可避免，例如，在選擇衛星定位星座時，衛星高度角過低則偽距觀測量精度明顯下降，為了保證觀測量精度，通常規定衛星最低高度角為5°或10°，而低高度角衛星往往可以減小幾何精度衰減因子GDOP的取值，已獲得高強度空間定位網形。選取一組網形結構參數xnet，設DOP滿足：

由于觀測數據的質量也與網形的空間分布相關，設觀測系統的單位權中誤差δ0滿足：

結合式（5）和式（6），準則（4）可化為：

需要指出，若控制點靜止，則xnet可選取為待定點向量x；若控制點運動，則xnet可選取為控制點坐標向量；若控制點和待定點同時運動，xnet為控制點和待定點坐標向量同時相關的一組向量。

算例1為無多于觀測的前方交會定位模型，現有的結論：

（1）對于測距交會，最佳交會角；γ=90°

（2）對于測角交會，最佳交會角γ=109.68。

當采用測角交會方法定位時，繪出兩控制點鉛垂線上誤差橢圓分布圖，研究發現，當交會角γ=90°時，坐標解誤差橢圓為一誤差圓，當交會角γ=109.68°時，坐標解誤差橢圓面積較小，各方向精度優于誤差圓的情形。

對照準則（4）就不難理解結論（2）產生的原因了，為了科學起見，簡單做如下的分析：設測角精度分布均勻（測角精度與測角大小無關），且其中誤差為δ0′，將測角觀測量等價轉化為測距觀測量為：

由式（8）可得總量距為：

結合式（9），由誤差傳播定量可得總量距的中誤差δ"為：

其中，α0和 β0為 α 的 β 真值。當 α0=β0時，則式（10）化為：

式（11）可得，在 α0∈[0，π/2）時，δ"α0為的單調遞增函數，且最小值在α0=0處取得，眾所周知，無多余觀測的前方交會定位系統的DOP在α0=45°處取得最小值，因此，在這種情況下，需要利用準則（4）對定位網形進行優化設計。

可見，結論（1）是基于準則（3）得出的結論，即假定測距精度在定位參數空間中分布是均勻，而這種假定在很多情況是不合理，因為測量精度取決于觀測條件，而參數空間的狀態是其中一個很重要的觀測條件，除此之外，在一些差分定位系統中，如水下差分GPS定位系統，差分方法往往是為了提高觀測量的精度，最大限度的差分可能會導致網形結構變壞。

3.2 折衷函數法在前方交會中的應用

算例2折衷函數法在前方交會定位中的應用。

折衷函數法可以在測角交會和測距交會最佳網形結構的巨大差異中找到統一的解釋。不妨設與δ0|PP1|+|PP2|成正例，結合式（9）可得：

為了避免數值分析，用設計矩陣的體積倒數代替DOP，那么：

建立折衷函數如下：

對式（14）定量分析的結果為：

（1）當，λ1=1，λ2=0 時，最佳交會角 r=90°；

（2）當，時 λ1=0，λ2=1，最佳交會角；r=180°

（3）當，λ1=1，λ2=0，98 以及 α=β，最佳交會角 γ≈109.68°

由定量分析結果可得，當設計矩陣體積和觀測數據質量間不存在矛盾時，結論（1）才是成立的；當僅約束觀測數據精度最高時，由結果（2）可知，該定位問題變為不適定問題。

4 折衷函數法

算例3折衷函數法在水下DGPS定位網中的應用。

水下DGPS是一種聲納定位系統，其定位原理類似于單差GPS定位。由于水聲信號傳播受外界條件影響很大（聲速，傳播路線等）以及浮標分布在同一水平面上，定位空間網形圖形強度和觀測數據質量間存在的矛盾更為突出，因此有必要建立折衷函數模型，平衡兩者間的矛盾。

觀測數據的系統誤差可以表示為：

在這種特定的物理背景下（水深100m，每100m距離殘差上存在的系統誤差為0.64m），當α0=40°和β≈20°時為最佳的折衷方案。

5 結語

矩陣體積具有明確的幾何意義，矩陣體積的概念可以應用到網形圖形強度最優化設計之中；為了解決網形圖形強度和觀測數據質量間存在的矛盾，本文提出了折衷函數法解決這類問題，并通過實例證實了該方法的可行性。

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TP212.9

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1004-7344（2016）09-0166-02

2016-3-11