知識“點”，方法“線”，思想“面”
——九年級《平面直角坐標系中的“點”》專題復習課教學實錄

■張　揚

知識“點”，方法“線”，思想“面”
——九年級《平面直角坐標系中的“點”》專題復習課教學實錄

■張揚

（一）設計數學情境，展示函數和平面直角坐標系之間的關聯

師：同學們，今天我們一起來復習一下《平面直角坐標系中的“點”》這節課的知識內容。

（教師先畫出如圖1所示的平面直角坐標系，標出A（2，1）、B（6，4）兩點的位置）

圖1

師：請同學們根據圖中的信息，設計一個問題，并簡述這個問題的求解思路。

生1：求直線AB的解析式，用待定系數法求解。

師：是的。能否求出經過A（2，1）、B（6，4）兩點的雙曲線的解析式？

生1：不能，已知一點就可以確定雙曲線的解析式了。

師：那A（2，1）、B（6，4）兩點所確定的雙曲線的解析式各是什么？

師：當A、B兩點在同一條雙曲線上時，這兩點的坐標需具備什么條件？

生1：這兩點的橫、縱坐標之積相等。

師：你能舉個例子嗎？

生1：如A（2，1）、B（1，2）或A（4，6）、B（6，4）等。

師：能確定經過A（2，1）、B（6，4）兩點的拋物線的解析式嗎？說說理由。

生2：不能，因為方程組有無數個解，那么，經過A（2，1）、B（6，4）兩點的拋物線就有無數條。

師：何時經過A（2，1）、B（6，4）兩點的拋物線只有一條呢？

生2：當這兩點中的一點是拋物線的頂點時，這條拋物線就是唯一確定的。

師：將“坐標平面內的點的個數”與“確定函數的解析式”之間的關系總結一下。

生2：（略）

【啟示】函數與平面直角坐標系緊密相連，學生很容易由平面直角坐標系中的點聯想到過點的函數圖像，然后利用待定系數法，構建方程組求函數解析式，這也是學習平面直角坐標系的核心。

（二）定點與動點結合，展示數學問題模型

師：回到圖1中，你們還能夠設計出什么問題？

生3：求A、B兩點之間的距離。

師：涉及哪些知識點？說具體些。

生3：過點A、B分別作x軸的垂線段交x軸于點C、點D，再過點A作AE⊥BD于點E，在△ABE中，利用勾股定理求解。（如圖2）

圖2

師：現在添加一個動點M（m，0），繼續設計關于點A、B、M的數學問題。

生4：因為點M（m，0）在x軸上，當MA+MB的值最小時，求點M的坐標。

師：首先要找到這個點，它在哪里？

生4：找點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，與x軸的交點就是所要找的點M（m，0），此時MA+MB最小，最小值就是線段A′B的長度。

師：為什么？

生4：在x軸上另取一點M′，不與點M重合，連接AM′、BM′、A′M′，此時AM′+BM′=A′M′+ BM′，在△M′A′B中，A′M′+BM′＞A′B，所以A′B最小。（如圖3）

圖3

師：這就是著名的“將軍飲馬”問題，也是“最短距離”的數學模型。由“和的最小值”可以聯想到什么問題？

【啟示】什么是數學的“魂”？通過一題多解與多題一解，達到探究一個問題、掌握一種辦法、解決一類問題的能力和水平，這就是數學的“魂”！也就是說，判斷數學是否有“魂”，關鍵就在于能否將一個知識點靈活地遷移運用到新的認知情境中。

生4：在x軸上找一點M（m，0），使得|MA-MB|最大，求點M的坐標。

師：這個點M（m，0）的位置在哪里？先獨立思考，然后再互相討論一下。

生4：如果在x軸上取一點M′，連接AM′、BM′，這時|M′A-M′B|＜AB。（如圖4）

圖4

師：是否存在|M′A-M′B|=AB呢？

生4（思考片刻）：點A、B、M′在同一條直線上時，|M′A-M′B|=AB。

師：請同學們畫出點M，為什么此時|MA-MB|最大呢？

生4（畫出圖5）：|M′A-M′B|＜AB，而|MA-MB|=AB，只有當點A、B、M在同一條直線上時，|MA-MB|最大，最大值就是線段AB的長度。

圖5

師：運用“比較法”推出M點的位置，進而求出M點的坐標。好，請繼續設計問題。

生5：在x軸上找一點M（m，0），使得①MA= AB，②MB=AB，③MA=MB，求點M的坐標。

師：如何找到這些點？試著選擇①②③其中之一，求出點M的坐標。

（學生分組，分別求符合①②③條件的點M的坐標，教師巡視。依據學生完成的情況總結）

生6：①當MA=AB時，以點A為圓心，AB為半徑畫圓，若與x軸有交點，交點就是所要找的點M（m，0）（如圖6）；②當MB=AB時，以點B為圓心，AB為半徑畫圓，若與x軸有交點，交點就是所要找的點M（m，0）（如圖7）；③當MA=MB時，作AB的垂直平分線，與x軸的交點就是點M（m，0）（如圖8）。

圖6

圖7

圖8

師：符合條件①②的點M的坐標易求，如何求使得MA=MB的點M坐標呢？

生7：求出線段AB的垂直平分線的解析式，再令y=0，即可求出。

師：可以的，但如何求這條垂直平分線的解析式，請課后求解。還有其他方法嗎？

生8：利用勾股定理求解。分別過A、B兩點向x軸作垂線段，垂足分別為C、D。（如圖9）

圖9

∵AM2=AC2+MC2，BM2=BD2+DM2，AM=BM，

∴AC2+MC2=BD2+DM2，

即12+（m-2）2=42+（6-m）2，

師：如何用一個問題來概括以上三個小問題呢？

生9：在x軸找一點M（m，0），使得△ABM是等腰三角形。

師：這樣的點M（m，0）怎么找？

生9：要分三種情況：（1）以∠A為頂角的等腰三角形；（2）以∠B為頂角的等腰三角形；（3）以AB為底邊的等腰三角形。

師：由△ABM是等腰三角形，我們又聯想到什么問題？

生10：在x軸上找一點M（m，0），使得△ABM是直角三角形，求出點M的坐標。

師：如何找出這樣點M（m，0）？

生11：也要分三種情況：①如圖10，以A為直角三角形的直角頂點，過點A作AM⊥AB，交x軸于點M，則△ABM是直角三角形；②如圖11，以B為直角三角形的直角頂點，過點B作BM⊥AB，交x軸于點M，則△ABM是直角三角形；③如圖12，以AB為直徑作圓，若與x軸有交點，則交點就是點M。

圖10

圖11

圖12

師：每種情況下點M（m，0）的坐標怎么求？我們先來看第一種情況。

生12：如圖13，過點A作AC⊥x軸，交x軸于點C，過點B作AC的垂線交AC于點E。易證△AEB∽△MCA，∴，∴CM=，∴m=2.75。

圖13

師：再看第二種情況。

生13：如圖14，先求出直線AB與x軸交點G的坐標，過點B作BH⊥x軸于點H，可證△GBM∽△GHB，就可以求出點M的坐標。

圖14

生14：如圖15，過點M作MF⊥x軸，過點B 作BF⊥MF于點F，過點A作AE垂直于FB的延長線于點E，可證△BFM∽△AEB，就可以求出點M的坐標。

圖15

圖16

師：那第三種情況呢？

生15：如圖16，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，可證△BDM∽△MCA，就可以求出點M的坐標了。

師：圖13、圖15和圖16的構造有什么共同特征？

生16：都是構造“K”型圖，通過三角形相似求得線段的長度來確定點M的坐標。

師：同學們設計的問題很精彩，解決問題更是精彩。

【啟示】“你們還設計出什么問題？”“涉及哪些知識點？由‘和的最小值’可以聯想到什么問題？”“還能設計什么問題？”“如何找到這些點？”“如何求使得MA=MB的點M坐標呢？”“還有其他方法嗎？”“如何用一個問題來概括以上三個小問題呢？”“由△ABM是等腰三角形，我們又聯想到什么問題？”“如何找出這樣點M （m，0）？”“每種情況下點M（m，0）的坐標怎么求？”隨著一個又一個問題的拋出，一步一步引導學生的知識和思維由“點”及“線”，再由“線”及“面”。學生在提出問題、解決問題中自覺或不自覺地進行知識和思維的串聯、歸類，最終形成某項知識的系統和解決某項問題的系統方法。

（三）課堂小結（略）

（四）布置課外作業

已知兩點A（2，1）、B（6，4），解答下面問題：

（1）將線段AB繞著點A順時針旋轉90°得到AB′，求點B′的坐標；

（2）在x軸上找一點M（m，0），使得S△ABM=5；

（3）試求M（m，0）、N（0，n）兩點，使得四邊形NAMB是平行四邊形。

（4）試求M（m，0）、N（0，n）兩點，使得以A、B、M、N為頂點四邊形周長最小。

【啟示】適當、適量、適度的課外作業，既能引發學生進一步攻堅克難的欲望，又能體現數學學習的延續性，從而讓數學學習發揮最大的輻射功能和延伸作用。