Copula函數與核估計理論相結合分析風電場出力相關性的一種新方法

徐玉琴　陳　坤　李俊卿　聶　眑（華北電力大學電氣與電子工程學院　保定　071003）

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Copula函數與核估計理論相結合分析風電場出力相關性的一種新方法

徐玉琴陳坤李俊卿聶眑
（華北電力大學電氣與電子工程學院保定071003）

大型風電場出力的準確預測對風電場接入電網的安全性與經濟性有重要意義。針對鄰近風電場出力存在一定的相關性，結合Copula函數與核估計理論，提出一種分析風電場出力相關性的新方法。首先結合非參數核密度估計和Copula理論推導了一種Copula核估計函數；然后由此估計函數替代經驗Copula函數來分析風電場出力相關性。不同于經驗Copula函數，Copula核估計函數為連續函數，能有效消除參數假設誤差，并且可從原理上降低參數估計的復雜度與計算量。以華北地區某實際風電場出力為例，將基于Copula核估計函數和經驗Copula函數建立的風電場出力相關性模型分別接入到IEEE30節點測試系統進行潮流驗證。結果表明，基于Copula核估計函數建立的風電場出力相關性模型更接近于實際數據模型，兩者的潮流計算結果較為一致。

風電場相關性Copula函數核估計理論

0　引言

對地理距離較近的多個風電場而言，各風電場在相同時刻下基本處于同一風速帶，風場出力將同時具備時間上的隨機性和空間上的相關性［1-4］。空間上的相關性表現為各風電場出力變化的近似同向性。由于風電場出力具有隨機性和波動性，空間相關性將使得累積疊加后的風場總出力波動更加劇烈，進而影響系統的安全穩定運行［5，6］。因此，相關性分析對大型風電場的并網具有重要意義［7-9］。

金融分析中的Copula函數（也稱為連接函數）能較準確描述多維變量的相關結構，近年來該函數已被廣泛應用于金融和風電場相關性分析。文獻［10］采用Gumbel-Copula函數構建多風電場出力的聯合概率分布，并通過分析尾部特征來考慮變量的相關性。文獻［11］基于Copula函數建立多風電場相關性模型，并對荷蘭多個風電場的出力進行相關性分析。文獻［12］采用Copula理論建立風速相關性模型，間接分析風電場出力相關性對電網的影響。這些文獻中所采用的Copula函數均需借助于經驗Copula，而經驗Copula并非連續函數，與實際數據模型之間存在一定的差距，這將導致最終選出的Copula函數參數也存在誤差，進而影響風電場出力相關性的分析結果。文獻［13，14］基于非參數法和Copula函數得到條件概率密度的核估計，并證明在一定條件下條件概率密度的核估計漸進收斂到真實的條件概率密度。文獻［15］采用核估計理論估計二元Copula密度函數，無需進行參數假設，有效縮短了與實際數據模型之間的誤差，并指出由此法得到的變量相關結構具有較強的靈活性和實用性。

本文借鑒文獻［13-15］中的方法，提出一種基于核估計理論與Copula函數相結合的風電場出力相關性分析方法。該方法采用Copula核估計函數來替代經驗Copula函數，有效縮短了與實際數據模型的差距，并從原理上降低參數估計的復雜度。本文推導、論證了一種Copula核估計函數，并給出應用該函數分析風電場出力相關性的具體方法。通過與目前廣泛采用的經驗Copula法對比及改進IEEE30節點測試系統的潮流計算結果，表明了Copula函數與核估計理論相結合的方法更為簡潔、有效。

1　Copula函數基本理論

多維隨機變量的聯合分布函數能反映變量間的相關特性。因此，對多維變量進行相關性分析最直接有效的方法是求出變量的聯合分布函數。但對于非正態的隨機變量而言，其聯合分布函數的表達式不易給出［16］。

1959年，Sklar提出了 Copula函數理論［17］:設F（x1，x2，…，xn）為n維隨機變量x1，x2，…，xn的聯合分布函數，各變量對應的邊緣分布函數為Fk（xk）（k=1，2，…，n）。若邊緣分布函數F1，F2，…，Fn連續，則存在惟一的Copula函數C使得對于隨機變量x1，x2，…，xn，滿足

對式（1）兩端求偏導，得聯合密度函數為

式中，fi（xi）為邊緣密度函數；c為Copula密度函數。令ui=Fi（xi），則c可表示為

由Sklar定理可看出，任何一個多維聯合分布函數均可表示為若干個邊緣分布Fk（xk）與描述相關結構的Copula函數的乘積。采用Sklar定理可方便求出非正態隨機變量的聯合分布函數。

常用的Copula函數主要有橢圓型Copula函數和阿基米德Copula函數，其中前者主要包括Normal-Cpoula 和t-Copula；后者主要包括 Gumbel-Copula、Clayton-Copula和Frank-Copula。這5類常用 Copula函數的特性見文獻［12］。

2　風電場出力分布的核密度估計理論

由于風電場出力不能用某一特定的概率分布描述，因此本文采用非參數法來估計風電場出力的概率分布。然后借鑒文獻［13-15］中提出的將核估計理論與Copula函數相結合的方法，給出一種分析風電場出力相關性的Copula核估計函數。

2.1一元核密度估計理論

式中，h為窗寬；K（·）為核函數；Kh（·）表示K（·）/h；n為樣本容量。

由上述可知，核密度估計的精度取決于窗寬h的選擇。本文采用文獻［21］中的方法來求最優窗寬，求解最優窗寬的數學模型為

根據式（6）求得最優窗寬h0，代入式（4）中即可得f（ω）的核密度估計。

2.2多元核密度估計理論

設W1，W2，…，Wn是一組d維服從同一分布的樣本，以w=（w1，w2，…，wd）表示d維隨機變量，則總體概率密度f（w）=f（w1，w2，…，wd）的核密度估計為

式中，H為窗寬矩陣，是d×d維的對稱正定矩陣；K（·）為d維核函數。

多維核密度估計的窗寬矩陣元素較多，最優窗寬矩陣H的確定十分復雜?？紤]到H為正定對稱矩陣，由矩陣相似變換原理可知H必與某一正對角矩陣等價且相似。為簡化計算，取H為d×d維的正對角矩陣，即H=diag（h1，h2，…，hd），多維核函數K（·）取d個單核Ki（·）的乘積。由此得f（w）的核密度估計為

本文采用文獻［22］中介紹的交叉驗證法來求最優窗寬矩陣。求解最優窗寬矩陣的模型為

由式（9）求得最優窗寬矩陣H后，代入式（8）中即得d維隨機變量的聯合概率密度函數。

由 Copula函數的性質［15］可知，Copula函數是一類特殊的分布函數，其邊緣分布為均勻分布。下面以二元Copula函數為例，結合多變量核密度估計理論，推導一種Copula核估計函數，并給出Copula核估計函數的性質。首先給出幾個相關定理如下:

定理1［15］設隨機變量u1，u2滿足u1～U［0，1］，u2～U［0，1］，則（u1，u2）的聯合概率分布是 Copula函數。

定理2設u=（u1，u2），u1，u2分別服從［0，1］上的均勻分布，則u的聯合概率密度h（u1，u2）是Copula密度函數，即

證明見附錄1。

定理3設｛Uij|i=1，2，…，n；j=1，2｝是隨機變量u=（u1，u2）的樣本空間，u1，u2～U［0，1］，u的聯合概率分布函數為H（u1，u2），真實Copula函數為C（u1，u2），u的核密度估計^u=^u1，^u（）2，則H（u1，u2）的核密度估計由式（11）給出，即

當n→∞時，有

6、栽培管理不當，也會造成早穗現象 如施肥較少，營養供給不足或施肥時間過遲，出現早穗現象的機會相對較多。

證明見附錄2。

由定理3可看出，Copula核估計函數一致收斂到真實Copula函數，能有效縮短與實際數據模型之間的誤差。此外，在定理1～定理3中將隨機變量的數量推廣至3個及以上時，定理仍然成立。

3　風電場出力相關性模型的構建方法

3.1數據信息

以華北地區某兩個風電場實際出力為樣本，樣本容量為16 068。兩風場基本信息見表1。為便于對比分析，本文先將樣本數據進行歸一化處理，處理后的部分結果如圖1所示。從圖1可看出兩風場出力具有較強的相關結構。

表1　風電場基本信息Tab.1　Basic information of wind farms

圖1　歸一化后的風電場出力Fig.1　Normalized output of wind farms

3.2分析風電場出力相關性的方法

結合2.3節推導的Copula核估計函數，可得基于Copula核估計函數分析風電場出力相關性的方法如下:

1）采用非參數法確定風電場出力的邊緣分布函數。設｛ωir｝（i=1，2，…，n；r=1，2）為兩個風電場出力序列，則風場出力的核分布為

2）由式（13）將風電場出力序列變換為［0，1］上的均勻分布，根據樣本的相關特性，選取能準確刻畫變量相關結構的Copula函數。由于Copula函數種類眾多，為選取方便，圖2繪制出變換后的風電場出力序列二元頻率直方圖。從圖2可直觀看出，頻率直方圖在低位和高位具有較大的密度，說明兩風場同時高出力和同時低出力的概率比較大，并且風電場同時高出力的概率比低出力大。

圖2　兩個風電場聯合頻率直方圖Fig.2　Histogram rate distribution of two wind farms

結合文獻［12］中給出的5類常用Copula函數特點，發現這些Copula函數均無法準確刻畫圖2所示的分布特性。文獻［23，24］選取多個單一Copula函數進行組合得到混合Copula函數，用混合Copula函數來分析風電場相關性，并指出混合Copula函數對相關性的刻畫較單一Copula函數準確。本文沿用此方法，選取反映下尾特征的Clayton-Copula和上尾特征的Gumbel-Copula組成的混合Copula函數來描述變量的相關特性?；旌螩opula函數形式為

式中，CC、CG分別為Clayton-Copula函數和Gumbel-Copula函數；θ1、θ2為相應Copula函數的參數；Θ為混合Copula函數的參數；λ1、λ2為權重系數，滿足λ1+λ2=1，0≤λ1，λ2≤1。可證明混合Copula函數也是Copula函數［25］。

3）確定選取Copula函數的方法。目前從Copula函數族中選擇刻畫變量相關結構的Copula函數的方法主要有基于備選Copula函數與經驗Copula函數之間的最小L2范數和基于似然函數的AIC準則兩種方法。當備選Copula函數沒有顯式或表達式極其復雜以及樣本信息量很大時，基于AIC準則的方法將陷入困境。經驗Copula函數法是目前比較認可的方法，其表達式為［26］

式中，I［·］為示性函數。當F（xi）≤u時，I［F（xi）≤u］=1；否則I［F（xi）≤u］=0。

式（15）給出的經驗Copula函數不連續，由Sklar定理可知，基于經驗Copula法確定的Copula函數可能不惟一。本文采用2.3節中給出的Copula核估計函數替代經驗Copula函數來選擇Copula函數。生成Copula核估計函數的具體步驟如下:

（1）將兩風電場出力視為二維隨機變量X、Y，采用式（13）給出的風電場出力分布的非參數核密度估計，將X、Y變換為在［0，1］上均勻分布的u，v。由定理1可知（u，v）的聯合分布函數是Copula函數。

（2）設變換后的風電場出力序列為｛ui｝、｛vi｝（i=1，2，…，n），采用式（9）給出的極小化模型確定出二維序列（ui，vi）的最優窗帶寬矩陣H。

（3）將最優窗寬矩陣元素代入式（11）中即可得到二維變量（u，v）的聯合概率分布函數的核估計C^（u，v），即Copula核估計函數。

圖3為兩個風電場的Copula核密度估計函數。對比圖2可看出，二者具有類似的空間分布，說明Copula核估計函數方法是有效的。

圖3　Copula核密度估計函數Fig.3　Kernel density estimation of Copula function

（4）確定出反映風電場出力相關性的Copula函數?；谏衔乃觯詡溥xCopula函數與Copula核估計函數之間的范數作為目標函數來選擇Copula函數，即

式中，Cx（·）為待確定的混合Copula函數。

通過求解式（16）給出的極小化模型即可得到混合Copula函數的參數及權重系數。

為說明Copula核估計函數法的優越性，引入經驗Copula函數與備選 Copula函數之間的范數，計算方法為

計算結果見表2。為便于說明混合Copula函數的優越性，表2中同時給出了單一Copula函數與Copula核估計函數的最小L范數?？梢钥闯?，兩種方法最終選出的Copula函數均為混合Copula函數，說明采用Clayton-Copula函數和Gumbel-Copula函數組合得到混合Copula函數更能準確地反映兩風場出力的相關特性。觀察計算的最小范數，發現基于Copula核估計選擇法的最小范數均比經驗Copula函數法小，說明基于Copula核估計選擇法得到的結果更準確。

表2　基于Copula核估計函數和基于經驗Copula函數的選擇結果Tab.2　Selected results based on kernel estimation Copula and empirical Copula

將基于經驗Copula函數法和Copula核估計函數法選擇的混合Copula函數分別記為CEM和CKM。圖4為CKM的密度函數。對比圖2～圖4可看出，CKM基本保持了樣本數據的分布特性，進一步說明基于Copula核估計函數的選擇方法是有效的。

3.3Copula函數的統計檢驗

由定理3可知，Copula核估計函數在n→∞時與真實 Copula函數相同，而樣本容量有限。因此，Copula核估計函數只是真實Copula函數的近似。為進一步說明Copula核估計法優于經驗法，下面對兩種方法選出的Copula函數進行統計檢驗。

圖4　混合Copula密度函數Fig.4　Density function of mixed Copula

文獻［27］指出，若u，v～U［0，1］，則C（u，v）為關于u的偏導函數，即條件分布滿足C（v|u）～U［0，1］，其中C（v|u）=C1（u，v）=?C（u，v）/?u。因此，可通過判斷C1（u，v）是否服從（0，1）上的均勻分布來檢驗兩種選擇方法確定的Copula函數對樣本數據的擬合效果。下面采用P-P圖來檢驗所選Copula函數的條件分布是否服從（0，1）上的均勻分布。圖5為兩種混合Copula函數的P-P擬合效果圖。

圖5　兩種混合Copula函數的P-P擬合效果圖Fig.5　P-P diagrams of two mixed Copula functions

從圖5可看出，兩種方法確定的Copula函數的條件分布與理論分布較接近，即兩種Copula函數都能模擬變量的相關特性，但CKM的條件分布更接近于理論分布。表3分別給出了CKM和CEM的條件分布與理論均勻分布的偏差信息。從表3可看出，CKM的條件分布與理論分布偏差均較CEM小。說明采用核Copula函數法選出的混合Copula函數來分析風電場出力的相關性更為準確。

表3　實際分布與均勻分布的偏差信息Tab.3　Deviations of actual and uniform distribution

4　風電場出力相關性模型的算例

為說明本文所提方法的有效性，下面引入文獻［23］中給出的系統潮流計算方法對所建風電場出力相關性模型進行驗證。其中，風電場的風電機組以恒功率因數0.95運行。

首先建立3種不同類型的風電場出力模型P= ［PEM，PKM，PH］，其中PEM為基于經驗Copula函數法建立的風電場出力模型；PKM為基于Copula核估計函數法建立的風電場出力模型；PH為風電場實際出力模型。然后將風電場視為負的負荷，分別接入IEEE30節點系統的節點10和節點20，進行3次系統潮流計算。具體方法如下:

1）隨機產生兩組滿足混合Copula函數CEM和CKM的樣本序列ηEM和ηKM?？芍摌颖拘蛄蟹模?，1］上的均勻分布。

2）采用式（13）對序列ηEM和ηKM進行逆變換，分別得到兩個風電場出力序列P1EM、P2EM和P1KM、P2KM。同時讀取實際風電場出力序列P1H、P2H。

3）進行3次潮流計算，得到3組不同數據類型下的潮流結果，記錄節點6的電壓和支路28（10-22）的有功功率。

4）重復1）～3）1 000次，得到節點電壓和支路有功的概率分布信息，并對3組模型的潮流計算結果進行對比。

圖6　節點6的電壓概率密度函數Fig.6　Probability density of voltage of bus 6

圖7　節點28的有功概率密度函數Fig.7　Probability density of power of branch 28

圖6和圖7分別為節點6的電壓和支路28的有功功率的概率密度函數。表4為節點電壓和支路功率的平均值和標準差?？煽闯觯瑑煞N選擇方法得到的混合Copula函數均能反映風電場出力的相關結構，但基于Copula核估計函數的方法更準確，表現為其潮流結果與實際出力的潮流更接近。

表4　節點電壓及支路功率的平均值與標準差Tab.4　Bus voltage and branch power expectations and standard deviations

5　結論

本文基于Copula函數和核估計理論推導、論證了一種Copula核估計函數，并基于此函數給出分析風電場出力相關性的方法。總結可得以下結論:

1）Copula核估計函數的建立完全基于樣本數據，無需進行分布假設，采用該函數選出的Copula函數能較好保持原始樣本數據的空間分布。

2）與經驗Copula函數法對比可看出，Copula核估計函數與理論Copula函數之間的最小范數更小，說明基于Copula核估計函數選擇法得到的Copula函數更能準確地反映風電場出力的相關性。

3）將兩種方法得到的風電場出力相關性模型應用于IEEE30節點測試系統進行潮流計算。通過與實際風電場出力模型進行對比，結果表明，基于Copula核估計法建立的風電場出力相關性模型更接近于實際數據模型，二者的計算結果比較一致。

附錄

1定理2的證明

證明:由Sklar定理和式（2）可得

由于u1，u2服從均勻分布，故有

式中，i=1，2。將式（A2）代入式（A1）中，即可得式（10）。

2定理3的證明

證明:由定理2可得

在如下的證明中，所有h（·）均由c（·）代替。由分布函數的定義，得

結合定理2和式（7）可得

進一步，可得

由于 u1，u2∈［0，1］，為簡化書寫，下文中將

一方面，有

將式（A10）代入（A9）中，得

另一方面，有

結合式（A11）～式（A13）可得

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徐玉琴女，1964年生，教授，碩士生導師，研究方向為電力系統運行與控制，配電網及電力系統繼電保護。

E-mail:xuyuqin_ncepu@126.com

陳坤男，1990年生，碩士研究生，研究方向為電力系統運行與控制。

E-mail:chkncepu@163.com（通信作者）

A New Method Analyzing Output Correlation of Multi-Wind Farms Based on Combination of Copula Function and Kernel Estimation Theory

Xu YuqinChen KunLi JunqingNie Yang
（School of Electrical and Electronic EngineeringNorth China Electric Power University Baoding071003China）

Accurate wind farms'output prediction possesses a vital part in the security and the economy research when wind farm connecting to the power grid.Considering that there often exists output correlation between adjacent wind farms，a novel method based on the Copula function and the kernel estimation theory is proposed to analysis wind farms'output correlation.Firstly，the kernel estimation Copula function is derived by the Copula function and the nonparametric kernel density estimation theory.Then，the empirical Copula function is replaced by the kernel estimation Copula to analysis the correlation of wind farms'output.Unlike the empirical Copula function，the kernel estimation Copula is a continuous function，and can effectively eliminate the parameter hypothesis error.Moreover，using the kernel estimation Copula can reduce the complexity and calculated amount of parameter estimation in principle.The actual output of wind farms in North China is chosen as an example.The wind farms'output model based on the kernel estimation Copula and the empirical Copula function are connected to the IEEE30 node test system to calculate the power flow.The results show that the correlation model of wind farms'output established by the kernel estimation Copula function is closer to the actual data model，and the two calculation results are consistent.

Wind farm，correlation，Copula function，kernel estimation theory

TM614

河北省自然科學基金資助項目（E2014502015）。

2015-05-12改稿日期 2015-08-18