一種擴張AKNS可積方程族的方法

馮莉莉, 于發軍

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

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理論與應用研究

一種擴張AKNS可積方程族的方法

馮莉莉, 于發軍

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

目前人們從反對稱矩陣李代數的角度出發,基本都是圍繞著2×2 Lax對進行研究,而對4×4 Lax對的討論的還比較少。可積耦合系統是當代非線性學科的一個重要研究內容,可積Hamiltonian系統理論在各個學科都有著深遠的意義,利用它能推導出許多有意義的非線性演化方程。巧妙利用6個基元獲得新的loop代數,將2×2 AKNS方程族的Lax對擴張成4×4 AKNS方程族的Lax對,進而獲得其可積耦合系統。首先,構建一個4×4的反對稱李代數。然后,利用伴隨零曲率方程獲得遞推算子L,選定合適的初始值帶入遞推方程中,得到一個新的可積耦合方程族和廣義的AKNS方程。最后,應用跡恒等式和屠格式,成功地建立了相應可積耦合方程族的Hamiltonian結構。

AKNS方程族; 可積系統; 李代數; Hamiltonian結構

孤立子在數學領域是一個嶄新的概念,它有許多獨特的性質,被廣泛應用到非線性偏微分方程中[1-10]。但這種方程求解復雜,沒有通用的求解方法,因而孤立子概念被提出,發展了求解一類非線性方程系統的方法。

本文主要思路如下:首先,構建一個4×4的反對稱李代數,得到了一個新的可積耦合方程族和辛算子J;其次,得到了一系列標量函數Hn和遞推算子L;最后,一些得到的結論將被給出。

1 擴張AKNS方程族的可積耦合系統

本文從反對稱矩陣李代數的角度出發,構造一個4×4的Lax對[11-15],利用屠格式,獲得擴張的AKNS可積系統。令A1=span{e1,e2,e3,e4,e5,e6},

考慮下列的譜問題

其中:λ是譜參數;q(x,t),r(x,t),u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t)是關于x和t的勢函數。 設

其中am,bm,cm,dm,fm,gm也是關于x和t的勢函數。

相應的伴隨零曲率方程為

依據方程(5),得到的遞推關系為

選定如下的初值

將選定的初值代入遞推方程(6)得到

由方程(1)得到一系列的方程族

其中

將n=2代入方程(9)中,則方程(9)可以導出為如下的具體方程

當u1=u2=u3=0,方程(11)將演化成NLS方程,因此方程(9)是廣義的AKNS方程族。可以利用擴張基元的方法,令u1=u2=u3=0,這樣經過一系列的計算就能推出該方程的Hamiltonian結構。

2 Hamiltonian結構

根據跡恒等式,通過計算可以得到

把以上的式子代入跡恒等式中得到

比較λ-n-1的階次,方程(13)有如下的形式

為了得到常數γ,在式子(14)中令n=0,通過計算得到γ=0。于是有

故相應的AKNS可積耦合方程族的Hamiltonian的形式為

根據遞推關系(6),得到AKNS可積耦合方程族的遞推算子L

其中

L51=?-1u2?-?-1ru3

L52=-?-1u1?+?-1qu3

L53=-?-1r?-?-1u2u3

L54=?-1q?+?-1u1u3

L55=0

因此,從Lax對出發,采用譜擴張的方法,通過跡恒等式和屠格式就獲得了此方程的Hamiltonian 結構。

3 結 論

本文利用4×4的Lax對,得到一個廣義的AKNS可積耦合方程族,利用跡恒等式得到該方程的Hamiltonian形式,通過計算,進一步得到辛算子J和一系列標量函數Hn。

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An approach for enlarging integrable hierarchy of AKNS hierarchy

FENG Lili, YU Fajun

(College of Mathematics and Systematic Sciences, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

In this paper, we start from a antisymmetric matrix Lie algebra problem. Because most of works focus on the Lax pairs of 2×2 Lax pairs, there is less work to search for the Lax pairs of 4×4 Lax pairs. Integrable coupling system is an interesting content in nonlinear science. The Hamiltonian structure of integrable coupling hierarchy has an important meaning in other studies, which can derive many nonlinear soliton equations. We obtain a new loop algebra by using six elements of matrix Lie algebra and enlarge AKNS hierarchy with 2×2 Lax pairs to AKNS hierarchy with 4×4 Lax pairs, which can get its integrable coupling AKNS system. We construct a 4×4 Lax pairs with antisymmetric matrix Lie algebra. By zero-curvature representation, a recurrence operator L is presented, then we get a new integrable coupling equation hierarchy and find a generalized AKNS equation hierarchy. At last, its Hamiltonian structure is obtained through the trace identity and Tu scheme.

AKNS hierarchy; integrable system; Lie algebra; Hamiltonian structure

2016-01-07。

遼寧省科技廳自然科學基金資助項目(2015020029)。

馮莉莉(1992-),女,遼寧錦州人,沈陽師范大學碩士研究生; 通信作者: 于發軍(1979-),男,遼寧大連人,沈陽師范大學副教授,博士。

1673-5862(2016)03-0329-04

O175.2

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.03.016