時變時滯切換系統的指數穩定性及L2增益分析

武淑平, 劉玉忠

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

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運籌學與控制論

時變時滯切換系統的指數穩定性及L2增益分析

武淑平, 劉玉忠

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

研究時變時滯切換系統的指數穩定性及相應的L2增益分析問題。構建了一類限定時滯上界和下界的特殊分段Lyapunov-Krasovskii函數,通過時滯分解方法及Jensen積分不等式與倒數凸組合相結合的技術處理了分段Lyapunov-Krasovskii函數中的積分項。更進一步,在估計泛函微分的上界過程中,一方面,未引入加權矩陣,從而涉及較少的決策變量,降低了計算復雜性;另一方面,未忽略任何有效信息,因此獲得了具有更小保守性的穩定性結論。此外,利用平均駐留時間的方法給出了時變時滯切換系統的指數穩定性及L2增益的充分條件,同時也給出了切換律的設計方案。最后,將時變時滯切換系統的穩定性及L2增益分析問題歸結為線性矩陣不等式的求解問題,這樣便于利用Matlab工具箱求解并驗證結論有效性。

切換系統; 指數穩定性;L2增益; 倒數凸組合

0 引 言

切換系統是一類重要的混雜動態系統,一般由一族連續(離散)的子系統以及一個決定子系統間切換作用的切換律組成。文獻[1]闡述了切換系統的穩定性設計的3個基本問題。眾所周知,如果切換系統存在一個共同的Lyapunov函數,則它在任意切換律下都是穩定的。然而,大多數的切換系統并不存在共同的Lyapunov函數,對于這類切換系統可以利用平均駐留時間的方法得到其穩定性。

另一方面,時滯現象在實際工程中普遍存在。例如通訊網絡系統、化學過程系統、電力系統等。時滯現象通常影響系統的穩定性且使系統的性能變差[2],當切換系統帶有時滯時,系統的分析和控制設計都會變得更為復雜[3],盡管如此,這樣的系統卻更能準確地描述實際的工程系統,所以研究時滯切換系統具有更重要的理論意義和實際價值。

近些年來,對于時滯切換系統的研究引起了專家學者的重視。在分析時滯切換系統的穩定性時,通常采取L-K函數技術[4-5]以及LMIs方法[6-10]。在文獻[8-12]中,分別將切換系統的穩定性和指數穩定性等轉化為LMI問題。另一方面,在減少保守性上,Jensen積分不等式方法[9-13]是非常有效的工具。特別地,文獻[9]提出一種新的方法稱為倒數凸組合方法,可以直接處理Lyapunov函數導數中出現的積分項。近期在Lyapunov函數中又出現三重積分項,文獻[10]將倒數凸組合方法擴展為二重倒數凸組合方法,從而可以有效地處理三重積分項。這2種方法通過涉及較少的決策變量從而獲得更小的保守性。

本文通過構建一種新的分段Lyapunov-Krasovskii函數,利用平均駐留時間的方法得到系統的指數穩定性及相應的L2增益的充分條件。利用Jensen積分不等式及倒數凸組合相結合的方法,直接處理Lyapunov函數中的積分項,通過涉及較少決策變量的數量和計算的復雜程度來獲得更少的保守性。

1 問題描述

考慮下面的時變時滯切換系統

其中:x(t)∈Rn,z(t)∈Rm分別代表著系統的狀態和控制輸出;ω(t)∈L2[0,+∞)是擾動輸入;切換信號σ(t):[0,+∞)→M={1,2,…,m},其中m是正整數,表示子系統的個數;Ai,Ei,Bi,Ci,Di(i∈M)是具有適當維數的常數矩陣;連續向量函數φ(θ)∈[-h2,0];時變時滯函數d(t)滿足

‖A‖表示矩陣或向量A的歐幾里得范數;P>0(≥0,<0,≤0)表示矩陣P為正定(半正定,負定,半負定)矩陣;λmax(R),λmin(R)分別表示矩陣R最大和最小特征值;矩陣中的“*”表示對稱矩陣中的對稱項。下面引入本文所需的引理。

引理1[9]令f1,f2,…,fN:Rm→Rn在開子集D∈Rm上有正值,則fi在D上的倒數凸組合滿足

且滿足如下條件

引理2[13]假設0≤h10,有下面的線性矩陣不等式成立

2 主要結果

2.1 指數穩定性分析

考慮如下時變時滯切換系統

證明 構造分段Lyapunov-Krasovskii函數為

當t∈[tk,tk+1),系統(3)切換到第i個子系統,此時σ(t)=i,V(t)沿著系統(3)軌跡的導數為

利用引理1和引理2有

在ti時刻,分段Lyapunov-Krasovskii函數(6)在條件(5)下可以得到

當k=Nσ(t0,t)≤(t-t0)/Ta時,由式(10)、式(11)有

根據a,b及V(t)的定義知

a‖x(t)‖2≤V(xt),Vσ(t0)(xt0)≤b‖

結合式子(12)、(13)得

因此系統(3)是指數穩定的。

2.2L2增益分析

接下來研究時變時滯切換系統(1)的L2增益。

證明 選取分段Lyapunov-Krasovskii函數(6),在式子(5)的條件下可以得到

結合式(15)和式(16)可以得到

3 結 論

本文研究了時變時滯切換系統的指數穩定性及L2增益問題。通過時滯分解方法及Jensen積分不等式與倒數凸組合相結合的技術處理分段Lyapunov-Krasovskii函數導數中的積分項,得到其導數的緊上界。本文涉及較少的決策變量,降低了計算復雜度,從而獲得更小的保守性。應用平均駐留時間的方法獲得系統的指數穩定性及L2增益的充分條件。最后,將時變時滯切換系統的穩定性及L2增益分析問題歸結為線性矩陣不等式的求解問題,便于利用Matlab工具箱求解并驗證結論的有效性。

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Exponential stability andL2gain analysis for switched systems with time-varying delay

WU Shuping, LIU Yuzhong

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

This article studies the problem of exponential stability andL2gain analysis of a kind of switched systems with time-varying delay. By using delay decomposition approach and the method of combining Jensen integral ineqaulity and reciprocally convex, the integer terms in the Lyapunov-Krasovskii function that taking both the lower bound and upper bound of delay into consideration are dealt. On the one hand, because of any free weighting matrix is not introduced, which can decrease decision variables and reduce the complexity of the operation. On the other hand,the information about the time-varing delay is not ignored to estimate the upper bound of the derivation of Lyapunov-Krasovskii function. So this method can develop a less conservative stability criterion. Moreover, the sufficient conditions of exponential stability andL2gain analysis of a kind of switched systems with time-varying delay are gained by the average dwell-time approach. In the meantime, the designing scheme of switching law is given. At last, the problem of exponential stability and L2gain analysis of a kind of switched systems with time-varying delay can be solved by linear matrix inequality technique, which is convenient to solve and prove to be valid by the LMIs tool box of Matlab.

switched systems; exponential stability;L2gain; reciprocally convex

2016-06-09。

國家自然科學基金資助項目(11201313)。

武淑平(1990-),女,遼寧朝陽人,沈陽師范大學碩士研究生; 通信作者: 劉玉忠(1963-),男,遼寧新賓人,沈陽師范大學教授,博士。

1673-5862(2016)03-0282-05

TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.03.006