通性通法在高等數學課堂教學中的有效生成

邱云蘭，白偉華，邢喜蓮，蘇 勇

（韶關學院 韶州師范分院數學系， 廣東 韶關 512009）

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通性通法在高等數學課堂教學中的有效生成

邱云蘭，白偉華，邢喜蓮，蘇 勇

（韶關學院 韶州師范分院數學系， 廣東 韶關 512009）

摘要：高等數學課堂教學要根據教學對象、教學內容和教學環境，選擇適當的教學方法和學習方法，變學生的被動接受為主動學習.課堂教學是多元共生，充滿互動變化的空間，課堂的變化性和不確定性決定了生成的豐富性.因此要用變化的、動態的、生成的觀點來看待課堂教學.課堂教學要凸顯新課程倡導的生本觀、課程觀、教學觀，凸顯通性通法，通性通法體現本原的數學思想.

關鍵詞：高數教學；通性通法；教學研究；有效生成

新課程凸顯教學的生成性資源是由其倡導的生本觀、課程觀、教學觀所決定的.生成性資源是在教學過程中動態生成的，師生相互交流及生生交流過程中產生的新情境、新問題、新思路、新方法、新結果等［1］.合理地利用生成資源有利于提高教學質量.要提高文科高等數學課堂教學的有效生成，必須考慮學生的知識基礎、教材、教法和學法等.學生是具有主觀能動性的人，他們帶著不同的家庭環境、人生經歷、經驗和情感參與高等數學課堂，課堂不能只顧自己滔滔不絕而忽視學生主體地位的發揮和感受，不能滿足于一種模式或固定不變的程序作重復勞動，更不能單純用教材上的方法傳授給學生，因為當今的教材出現了不少的問題，教學內容不嚴謹、不銜接等問題.不能用繁瑣、錯誤的知識傳受的學生，而是要選擇學生易接受的方法，易找到解決問題的方法傳受給學生.

1 高等數學教學中的問題

學生仍然看不懂，不知道是怎樣計算出來的，為此，需要從課堂學習向課外學習延伸和拓展，拓展范圍和領域，把有關其他數列的前n項和公式寫出來，從求和過程的中間步驟詳細的寫出來，一步一步地進行提高通性通法的層次.通性通法是體現本原的數學思想，具有原創性［4］.從高等數學例習題可以看到，有的題目雖然入口較寬，不限于一種方法，又如，求極限為自然數，編著大多首先考慮的解題方法是通性通法，即用中值定理求解.當然也可以用積分不等式求解. 所謂“通性通法”是指利用數學概念所反映的基本性質和蘊含的基本思想方法來解決數學問題，通性通法，不僅能經常回顧和復習基本知識和基本方法，而且能不斷地將學生的思維引向數學的基本概念和基本思想，能使學生養成良好的思考問題的習慣. 著名數學史家M·克萊因說，“數學學科并不是一系列技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面；著名的音樂家傅聰說：“技巧有時是音樂的敵人”，“巧解”有其局限性，適應的范圍一般都比較狹窄，在一定條件下才能產生，往往掩蓋了數學基本思想方法的滲透［5］.

2 從“抽象”到 “形象”的轉化，是體現數和形的有效生成

“數”和“形”是數學研究的兩類對象，也是數學發展的兩大支柱.抽象的描述需要得到直觀化、具體化的闡釋；邏輯的結論需要跟隨直覺的發現；靜態的生成需要輔以動態的演示［6］；師生的互動需要伴佐審美情趣和文化氣息，教師根據學生的知識基礎、學習習慣和諸多方面的特點，對教材的抽象內容轉化為直觀形象的圖形.例如，計算和等，如果不憑借直觀形象，學生還會覺得枯燥無味. 枯燥無味學生就會失去學習興趣. 教學中教師要善于將學生從抽象化引到圖形化，即先引導學生用定積分的幾何意義計算，再從圖形化又引到抽象化，體現本原的數形結合的思想.“本原”是本體論中的一個術語，指一切事物的最初根源或構成世界的最根本實體［7］. 哲學上對“本原”的思考凸顯為刨根問題的探索精神，始終把理解世界的“始基”或“構成要素”作為第一問題. 這里并非從哲學角度來探索，而是借用哲學中對“本原”的理解和思考的方式，從學科教學的角度來探索促進學生深刻理解學科內容及其本質的“本原性問題”.凸顯通性通法的目的是加深對數學概念、公式、法則的理解，鞏固所學知識的技能、培養數學能力、提高數學素養.“提高解題能力”是每一個學生學習數學努力追求的目標，但是，不同的解題理念會帶來不同的解題效果.

斯蒂恩說：“如果一個特定的問題，可以轉化為一個圖形，那么思維就整體把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法.”在教學不定積分的換元積分法時，導入例1.

（2）當x＞0時，

如果把被積函數刻畫成幾何圖形，通過用數形結合的方法來解決這個問題. 這一提問制造了學生的認知沖突，使課堂出現了觀點的交鋒、智慧的碰撞，使課堂的熱鬧不僅僅是停留于學生肢體的活動，更體現在學生思維的活動之中. 于是，通過構建直角三角形，用1、x表示直角三角形的直角邊和斜邊，t表示直角三角形的銳角，通過觀察、分析由“抽象”到“ 形象”的轉化，體現本原的思想.

抽象的數量關系和直觀的空間圖形是數學研究的對象，數形結合是一種數學特點的信息轉換. 其實質是將抽象的代數形式與直觀的幾何圖形結合起來，從本質上認識問題、解決問題［8］. 事實證明通過用幾何圖形，分析被積函數，比用倒代換還要簡便，簡得合理，巧得自然.

在高等數學教學中，既要充分挖掘幾何直觀，實現由幾何直觀發現概念，又要理解性應用概念，再到探索概念的嚴密性，并在此基礎上提高抽象邏輯思維能力和動手操作能力.教師要善于制造認知沖突，把學生推到自主探索知識的前臺，使學生親身經歷“做數學”的過程，從而激發學生思考，激活數學思維［9］.

3 從“錯誤”到“感悟”的轉化，進行以錯相教

習題是數學知識的載體，是數學思想方法的生長點. 在課堂教學中及時發現問題、發現郭運瑞主編的，西南交通大學出版的公共基礎課系列“十二五”精品規劃教材《高等數學》有些問題，以下簡稱教材，如，第四章第130頁，習題5（6）答案錯誤，現以此題為例.

解法2

教材包括習題及答案要嚴謹，盡量避免以錯相教，否則教材就會充滿不確定性.課本的答案錯誤.錯誤是一面鏡子，不但能充分暴露教材的嚴謹性、科學性、示范性、權威性和影響性.而且也能暴露師生的思維過程［10］；同時錯誤也是課堂教學的重要資源.這個資源來之不易，誰能找到這個資源，即課本答案的原題？這個提問，引發了學生的廣泛關注，知識觀體現在教材觀的一種較量，學生預想不到此題是正常的. 課本答案的題目求有理函數的積分

題型千變萬化，見多識廣才行. 樹立新的教學觀和學習觀，善于用批判的、創造性的眼光研究問題、發現問題、提出問題、分析問題、解決問題. 例如，教材P119頁例29，求，有的學生發現不了此題的解錯在哪里？設則但通過引導，即從“錯誤”到

“感悟”，構建了一個新的平臺，引伸拓展和發現了新問題，發現從而解決了新問題類似這些問題的解決要善于潛心研究，在問題在悟，在問題中探，在問題中明，不能盲目相信崇拜類似的所謂“十二五”精品規劃教材. 要善于以錯為戒，克服錯誤、指出錯誤和糾正錯誤［11］.

4 結論

課堂是教學的主陣地，更是課改和有效教學質量的核心. 構建有效生成的課堂，應該是每個教師不斷追求的目標. 課堂教學是多元共存，充滿互動變化的空間，教材的變化性和嚴謹性決定了生成的豐富性.教師應在研究學情、環境、教材、教法、學法，把握教材要求的基礎上，用變化的、動態的、有效生成的觀點來看待數學課堂，預測數學課堂，預測教材、環境、學生可能生成的情況. 擺脫時間與空間的限制，縮短師生間的距離，和學生形成共同進步的學習共同體. 對豐富師生的生活智慧與促進彼此精神生命的共同成長具有深遠的意義.課堂以內在關聯為前提，以互動開放為基礎，以有效生成為根本. 突出雙重研究，即通性通法和技巧解法的研究. 使學生能真正掌握知識，獲取知識的本領，獲得優秀的認知成績、良好的認知結果、積極的數學學習情感、濃厚的理性思維，較強的教學效率意識和較強的數學學習能力的行為. 從而，有效促進文科高等數學教學質量的提升.

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011）年版［S］. 北京：北京師范大學出版社出版，2012：71.

［2］ 邱云蘭，曾崢.高職高等數學課堂教學中的互動解題研究［J］.數學教育學報，2013，22（3）：39-43.

［3］ 施巍.促進初中數學課堂教學有效生成的幾種途徑［J］.數學通報，2013，（5）：34-37.

［4］ 陸正濤.從教到考，再談通性通法的教學［J］.數學通報，2013，（4）：49-51.

［5］ 王藝平，王敬華.讓解題思想來得更自然一些［J］.數學通報，2013，（2）：43-46.

［6］ 王欽敏.如何對數學教材進行有益的拓展與改造［J］.數學通報，2013（1）：45-48.

［7］ 李靜，王秀蘭.本原性問題驅動下的高等數學變式教學［J］.數學教育學報，2013，22（6）：94-97.

［8］ 王國棟.學生為什么不善于利用幾何意義解題［J］. 數學通報，2006，45（1）：28-30.

［9］ 岳寶霞，馮虹.眼動分析法在數學應用題解題研究中的應用［J］. 數學教育學報，2013，22（1）：93-96.

［10］ 韓裕娜.對高中實驗教材中一些問題的商榷［J］. 數學通報，2006（1）：25-26.

［11］ 邱云蘭.對高等數學“十二五”精品規劃教材中一些問題的商榷［J］.曲阜師范大學學報：自然科學版，2014，40（3）：123-128.

［12］ 程曉亮，劉影.高等數學教學策略再思考［J］. 數學教育學報，2012，21（2）：78-80.

（責任編輯：邵曉軍）

中圖分類號：G642.1

文獻標識碼：A

文章編號：1007-5348（2016）02-0076-04

［收稿日期］2015-12-27

［作者簡介］邱云蘭（1956-），男，廣東樂昌人，韶關學院韶州師范分院數學系教授；研究方向：數學教育.

Recitation Teaching Mode of Higher Mathematics in Vocational Colleges

QIU Yun-lan，BAI Wei-hua， XING Xi-lian， SU Yong

（Department of Mathematics Shaozhou Normal College， Shaoguan University，Shaoguan 512009， Guangdong，China）

Abstract:Higher mathematics recitation teaching should be based on the teaching objects， teaching contents and teaching environment to choose its own teaching methods and way of studying. It should encourage the students to learn actively. The teaching methods should be various and interactive space. The variations and uncertainties decides the riches of the teaching production.It should adopt a flexible， dynamic and productive teaching approach. Teaching should be student-oriented， course-oriented， teaching-oriented which is a package approach which reflects the very essence of mathematics learning.

Key words:higher mathematics； exercise teaching； thinking ability； interactive inquiry