測量任意形狀物體的轉動慣量

易景鴻

（湖南常德澧縣一中1503班 湖南常德 415500）

測量任意形狀物體的轉動慣量

易景鴻

（湖南常德澧縣一中1503班 湖南常德 415500）

物理實驗中物體轉動慣量的測定是一個重要的實驗，一般的實驗方法有：三線擺測量具有某一平面的轉動慣量，復擺一般測量具有一定的對稱面的物體，但是對于任意形狀的物體他們就無能為力了。用旋轉法既能測量規(guī)則物體的轉動慣量，也能測量任意形狀物體的轉動慣量。本方法的利用液體粘滯系數(shù)及旋轉法測量任意形狀物體的轉動慣量，并運用作圖法消除系統(tǒng)誤差。

旋轉法測量；粘滯系數(shù)；任意形狀；作圖法消除誤差

引言

物體轉動慣量的測定是物理實驗中一個重要的實驗，一般的實驗方法有：三線擺測量具有某一平面的轉動慣量，復擺一般測量雖然具有一定的對稱面的物體，但是對于任意形狀的物體他們就無能為力。用旋轉法既能測量規(guī)則物體的轉動慣量，也能測量任意形狀物體的轉動慣量。以下利用液體粘滯系數(shù)及旋轉法測量任意形狀物體的轉動慣量，并運用作圖法消除系統(tǒng)誤差。

1 實驗裝置

如圖1所示，裝置由旋轉圓筒法測黏性流體的裝置改造而成，主要由高為L半徑分別為R1、R2的內、外圓筒，兩筒間充滿黏度已知的黏性液體。上方為物品托盤，用來放置待測物品，并且有一光電門，可以用來進行角速度的測量。

圖1 實驗裝置圖

基本原理如圖2。

圖2 基本原理圖

由牛頓內摩擦定律可知：平面層流時流層間的內摩擦力F等于表面積s，粘滯系數(shù)η和速度梯度的乘積，即：

本實驗中，當液體部分（1）產(chǎn)生穩(wěn)定旋轉時屬于旋轉層流[1]，對于如圖3所示的高度為L的筒狀薄層，半徑為r處的表面積s=2πrL，該面所受的內摩擦力在柱坐標系中沿切線方向，其大小（在旋轉層流情形）為：

同時穩(wěn)態(tài)旋轉時半徑為r的柱面所受的力矩為常數(shù)，設其值為M1，可得：

利用邊界條件ω|r=R2=ω0和ω|r=R1=0可以得出微分方程的（似）解：

而內摩擦力矩M2底部環(huán)狀液體的摩擦力矩M3較小，曾有文獻分析說：底部環(huán)狀液體（R2＜r＜R1的部分）所產(chǎn)生的摩擦力矩約占總力矩M的1%，M3=0.01M，可以忽略。

測量時將被測物體按要求放在轉臺上，在外力距的作用下，轉臺做勻加速轉動，計時器測量出一系列不同的角位移θ1、θ2、θ3…所用的時間分別為 T1、T2、T3…，設初始角速度為 ω。

由（4）、（5）、（6）等一系列方程可求出勻加速時的角加速度。

在實驗過程中外力矩由儀器提供，使外筒保持勻轉速ω0，再測得液體粘滯系數(shù)η，轉筒高度L，內筒半徑R1，外筒半徑R2，由公式：

即可求得內筒所受力矩。但是由于內筒是轉動的，公式要修改為：

其中ω1為內筒的角速度。為了消除內筒轉動給力矩的影響，可以使用作圖法，如圖3。

圖3 作圖法示意圖

求出不同的ω1時的M值，用一個圖表表示出來，當ω1為零時的M0值即為所要求的在內筒不動時的角速度，同時，根據(jù)這個圖也可求得角加速度β。

加上之前求出來的角加速度β，結合公式：M=Jgβ即可求得內筒與物體組合的轉動慣量。同軸的物體之間有J=J1+J2，故物體的轉動慣量為總的轉動慣量減去內筒的轉動慣量，而實驗時采用規(guī)則形狀、轉動慣量已知的內筒時，實驗便可輕松求出所測量物體的轉動慣量。

假設已經(jīng)通過以上方法求得角加速度β，內圓筒收到的力矩M0，內圓筒的轉動慣量J0，則求待測物體的轉動慣量J的總公式為：

2 實驗誤差分析

實驗時物體與內筒并非真正意義上的角加速度不變的理想轉動，而是近似意義上的，要求η較小。雖然用作圖法一定程度上消除了該種誤差，但由于實驗時的儀器精度限制以及作圖時的作圖誤差，使得本實驗在理論上仍然存在一定的誤差。

在上面的推導過程中涉及到的需要直接測量的物理量有：時間、角位移、半徑等，半徑用游標卡尺（精度0.02mm）能夠比較精確的測定，對測量的影響不到千分之幾；時間的測量由于采用光電門和數(shù)字毫秒計完全克服了停表計時所帶來的誤差，而且記錄的時間可以存取，不必擔心記錯時間；角位移的測量，由于擋光片固定在圓盤一條直徑上，擋光兩次間隔恰好就是π，在儀器加工時已做得很精確。所以直接測量對測量精度影響不大。

另外實驗時環(huán)境的溫度波動，會影響實驗液體的粘滯系數(shù)，從而影響實驗結果。但在誤差允許的范圍內，仍可看成本實驗是可行的。

3 結束語

該儀器完全解決了三線擺、復擺測量物體轉動慣量的局限，由于在討論中沒有涉及物體的具體形狀，所以該儀器不但能夠測定質量分布均勻、形狀規(guī)則物體的轉動慣量，而且能夠測定質量分布不均勻、形狀不規(guī)則的物體的轉動慣量。該儀器擴展性好，且測量穩(wěn)定、重復性好，操作與維護方便，可視為實驗室的理想器材。

TH823

A

1004-7344（2016）11-0027-02

2016-3-28

易景鴻（2001-），男，在校學生，高一。