長短波方程的同宿解

李龍星

（曲靖師范學院數學與統計學院　云南曲靖　655000）

?

長短波方程的同宿解

李龍星

（曲靖師范學院數學與統計學院云南曲靖655000）

本文通過雙線性方法和拓展的同宿測試法，得到長短波方程方程的新的同宿孤立波解，同時也充分說明了1+1維長短波方程動力學行為的多樣性和復雜性。

長短波方程 同宿測試 同宿解

孤立子的研究是非線性偏微分方程領域的一個重要分支，同時也是許多近現代學者研究的熱門課題。近年來，非線性偏微分方程的精確解受到很多學者的關注，提出許多關于非線性偏微分方程的求解方法，如Hirota方法［1］、逆散射方法［2］、Ba&cklund和Darboux變換、擴展的F-展開法、齊次平衡法、Ja-cobi橢圓函數展開法及指數函數法等，這些方法得到了很好的應用和發展.到目前為止，關于（1+1）維的非線性系統中單變量的周期孤立波解的形式較多，而對于高維的例如（2+1）維的一些可積系統的周期孤立波解的形式相對較少.同宿測試技巧是一種可得到一些可積系統同宿解的方法，應用此方法的擴展形式可得到一些可積系統的周期孤立波解.擴展的同宿測試法與原來的同宿測試法的主要差別在于構造不同精確解的測試函數。在這篇文章中，我們研究了一個非線性偏微分方程---長短波方程。首先，利用廣田雙線性法和同宿測試法，探討了方程的同宿軌道解，最終獲得了方程的雙周期同宿軌解。

本文考慮如下形式的長短波方程：

u代表短波，v代表長波。

作如下變換

其中A是常數，f是實函數，g是復函數。把（2）代入（1）得到方程（1）的雙線性形式：

其中c是積分常數， g*是g是共軛函數。若假設函數f，g為如下形式：

其中b3，p，α，b4，p1待定實數，b1，b2是待定復數。把（4）代入（3）得到一個多項式，再把多項式中的系數設定為零，得到一組關于b3，p，α，b4，p1，A，b1，b2的方程組：

解上述方程組得到：

結合（4）和（6），得到方程（1）的同宿解：

式（7）就是方程（1）的同宿波解，因為可以證明：

隨著對非線性偏微分方程研究的深入和發展，得到了許多關于非線性偏微分方程的求解方法，在這篇論文中主要通過Hirota變換將（1+1）維非線性長短波方程化為它的雙線性型形式，利用同宿測試技巧對此雙線性型進行考慮，同時運用一些運算性質和技巧，得到原方程的同宿周期孤立波解，并對此解的結構進行了討論與研究。

［1］Dai H， Lancaster P. Linear matrix equation from an inverse problem of vibration theory［J］.LinearAlgebraApp1.，1996，246：31-47.

［2］廖安平，自中治.矩陣方程的雙對稱最小二乘解［J］.計算數學，2002，24（1）：9-20.

李龍星（1989年10月-） 女， 碩士。漢族。云南保山人。現任職于曲靖師范學院數學與統計學院，助教。 研究方向：數學物理方程。