無言有理
——勾股定理的“無字證明”

張小娟

（陜西西安高新第二學校　陜西西安　710065）

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無言有理
——勾股定理的“無字證明”

張小娟

（陜西西安高新第二學校陜西西安710065）

一、學情分析

鑒于八年級學生思維活躍，參與意識強，喜歡拼圖，喜歡展示自我的特點，以及八年級學生在學習第一章《勾股定理》中，已具備了通過拼圖利用等面積法驗證勾股定理的技能和活動經驗，因此，本節課通過實踐活動，經歷“無字”驗證勾股定理是對課本知識在深度上和廣度上的進一步延伸和拓展，使學生感受解決問題方法的多樣性和開放性，從而激發學生的探究意識，享受數學思維的快樂，體會勾股定理的文化價值，培養學生良好的思維品質。

二、教材分析

本節課是北師大版八年級上冊，第一章勾股定理的一節拓展課。勾股定理是幾何中幾個重要定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，是對直角三角形性質的進一步學習和深化，它可以解決許多直角三角形中相關的計算問題，在實際生活中用途很廣泛。它不僅在數學領域而且在其他自然科學領域中也被廣泛地應用，在數學發展史上，東西方都很早就展開了對勾股定理的研究。尤其對于勾股定理的證明，人們更是趨之若鶩。迄今，已多達五百多種證法，而勾股定理的“無字證明”，整個證明不著一字，單靠移動幾塊圖形隱含在圖形中的勾股定理便清晰呈現，讓人心領神會。無字證明中，包含的精巧與美麗是一道無與倫比的風景線。通過本節課的學習，將有力的培養學生數形結合的意識以提高學生分析問題、解決問題的能力。同時也為后期學習四邊形、圓中的有關計算等奠定基礎，因此本節課無論從知識的角度還是從數學技能、數學思想方法及數學活動經驗的積累等層面都將起著舉足輕重的作用。

三、任務分析

1.教學目標

（1）知識與能力目標

① 了解無字證明的概念；

② 會制作并運用“青朱出入圖”驗證勾股定理；

③ 掌握古印度“無字證明”驗證勾股定理的原理；

④ 理解勾股定理五百余種證法的實質。

（2）過程與方法目標

① 感受剪、拼、割、補在解決幾何圖形問題過程中的重要作用，培養學生分析問題、解決問題的能力。

② 在活動過程中，感受同一問題解決方法的多樣性，進一步培養學生的發散思維能力。

（3）情感態度價值觀目標

① 通過對勾股定理歷史的了解，感受數學人文文化，激發民族自豪感和學習熱情。

② 在探究活動中體驗解決問題的多樣性，培養學生的合作交流意識和探索精神。

③ 增強民族自豪感，同時體會數學的無國界性。

2.教學重點：

（1）“青朱出入圖”的制作及原理；

（2）古印度“無字證明”的原理；

3.教學難點：

（1）“青朱出入圖”的制作及原理；

（2）古印度“無字證明”的原理；

（3）理解“無字證明”的實質——等面積法。

4.教學準備

（1）教具：三角板 、ppt課件、磁鐵

（2）學具：紙、彩筆、剪刀、三角板

（3）自學任務：

① 學生課前觀看微視頻，掌握“青朱出入圖”的制作方法。

② 每人制作一幅美觀的“青朱出入圖”。

四、教法學法設計

1.教學方法：探究式教學法

2.學法：自主探究法

五、教學過程設計

第一環節：舊知導課

教師活動：

學生回答： 利用多項式乘以多項式法則，將2）（ba+寫成（a+b）（a+b）的積，從而得出結論，以數證數。

設計意圖：以舊導新，消除學生對新知識的陌生感，從而引出無字證明的概念及課題。

第二環節：活動探究

活動一：“青朱出入圖”

（1）學生展示“青朱出入圖”；

（2）師生共同分析“青朱出入圖”的原理；

（3）學生動手操作驗證勾股定理。

（4）師生共同探究“青朱出入圖”的實質。

設計意圖：

① 學生通過提前觀看“青朱出入圖”的制作視頻，已掌握了繪制“青朱出入圖”的方法，所以讓學生當堂展示親手制作的“青朱出入圖”，以激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛。

② 引導學生解讀“青朱出入圖”，理解其驗證勾股定理的原理。

③ 學生通過剪、拼等操作，發現蘊藏在圖中的勾股定理不言而喻，清晰明了，切實體會無字證明的魅力所在。教師再用ppt課件演示圖形的移、拼過程，重現圖形的無縫、不重疊拼接，進一步加深對“青朱出入圖”的理解。

④ 師生共同探究“青朱出入圖”的實質，進一步體會等面積法在證明勾股定理中的應用。

活動二：古印度“無字證明”

（1）小組探討古印度“無字證明”的原理，并由學生在全班交流分享；

（2）四人一小組，共12個活動小組，討論交流、探究分割方法，并在全班交流不同的分割方法；

（3）學生動手分割、拼圖，驗證，并展示。

設計意圖：在活動一的探究過程中，學生經歷了“青朱出入圖”的制作、原理、驗證、實質都已掌握。在此基礎上，教師放手讓學生去探究，適時點撥，學生在交流的過程中，由思維碰撞產生了火花，進一步培養了學生的發散思維，以及嚴謹的思維習慣。同時，學生學會了交流、分享、達成共識，體驗合作的樂趣。

活動三：師生共析中外兩種無字證明的實質。

設計意圖：通過ppt演示，使學生理解等面積法在無字證明中的應用，再次體會不證自明的魅力。

第三環節：小結歸納

（1）勾股定理的證法達500多種，分三種類型。

（2）我想說……

設計意圖：更新知識系統，逐步完善知識脈絡，提高分析問題解決問題的能力；梳理數學方法、數學思想，理解其中的內在聯系。

第四環節：作業布置

實踐報告：搜集整理“無字證明”

設計意圖：激發學生繼續探究的興趣和欲望，培養學生的鉆研精神，提高其自學能力。