復合式雙穩能量采集系統動力學及相干共振

李海濤， 秦衛陽， 鄧王蒸， 藍春波， 田瑞蘭

(1.西北工業大學 工程力學系, 西安　710072; 2.石家莊鐵道大學 數理系，石家莊　050043)

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復合式雙穩能量采集系統動力學及相干共振

李海濤1， 秦衛陽1， 鄧王蒸1， 藍春波1， 田瑞蘭2

(1.西北工業大學 工程力學系, 西安710072; 2.石家莊鐵道大學 數理系，石家莊050043)

摘要：提高能量采集系統的采集效率是一個課題難題。提出了含有壓電及電磁效應的復合式能量采集系統，研究了其非線性動力學特性以及相干共振現象。首先建立了壓電與電磁耦合的復合式能量采集系統模型，推導了其耦合方程。采用Runge-Kutta和Euler-Maruyama方法分析了壓電式、電磁式以及復合式結構分別在確定性及隨機激勵作用下的動力學行為，并進行了實驗驗證。結果表明，同時考慮壓電與電磁耦合的能量采集系統不僅在低頻的大幅激勵下具有高效的能量采集效果，而且在寬頻隨機激勵下相干共振時的電壓輸出更高。此研究結果可應用于提高振動能量采集效率，優化電壓輸出。

關鍵詞：隨機激勵;能量采集系統;相干共振

近年來，隨著無線微型傳感器對于自供能的發展要求，常規的供電裝置已經不適應技術革新，能量采集系統引起了研究者的極大的關注[1]。由于日常生活中存在大量可以利用的環境激勵，如何將環境激勵轉化為可以利用的電能并減小對類似電池這種外電源的依賴成為重要的研究課題。

早期的振動能量采集系統的研究主要基于線性振動理論。線性能量采集系統只在激勵頻率等于固有頻率的共振情形下具有良好的能量采集效果，不適用于寬頻的環境激勵。出于拓寬可應用工作頻帶的考慮，能量采集裝置設計當中越來越關注非線性因素[2]。

雙穩態能量采集系統利用結構特有的非線性力，在寬頻激勵下獲得結構大變形，提高能量采集效率[3]。Masana等[4-5]研究了軸向載荷作用下屈曲梁壓電能量采集系統。當軸向載荷達到臨界載荷時候，屈曲壓電梁會呈現雙穩態勢能。通過與線性以及單穩態同類裝置比較，系統在低頻和大幅激勵情況下采集效果更好。Erturk等[6]根據Duffing方程和基爾霍夫定律建立了磁吸力作用下的非線性雙穩態懸臂梁能量采集系統模型，研究了壓電能量采集系統的非線性運動特性。郭抗抗等[7]利用多尺度法分析了壓電能量采集系統的主共振響應，發現當激勵發生變化時系統出現多解和跳躍等非線性現象。Fan等[8]建立了二維的磁斥力壓電雙梁能量采集系統模型，發現磁斥力耦合拓寬了能量采集系統的工作頻帶。Firstwell等[9]提出了帶有端部質量塊的豎直懸臂梁壓電能量采集模型。該模型中質量塊的重力作為軸向載荷導致豎直懸臂梁呈現雙穩態，實驗表明當端部質量達到臨界載荷時候，系統具有較好的能量采集效果。

近幾年，對于隨機激勵作用下的能量采集系統的研究越來越受到重視。Ferrari等[10]建立了Duffing型雙穩態懸臂梁能量采集系統, 采用Matlab工具箱計算了高斯白噪聲激勵下的隨機位移響應，發現除了固有頻率處雙穩態系統的采集效果都優于線性能量采集系統。Cottone等[11]提出了一種電磁式受壓梁能量采集系統，通過與單穩態裝置比較，發現雙穩態系統在特定的加速度激勵下更適合寬頻的環境激勵。對于弱周期力和噪聲協同作用下的非線性系統, 當噪聲強度增大到一定程度時候，呈現信噪比達到峰值的現象，即隨機共振。利用隨機共振原理，可以將周期激勵與隨機激勵下的系統能量集中輸出[12-14]，從而提高能量采集效率。Hu等[15]發現在不含有周期激勵的自治系統中，隨著噪聲強度的增加依然會激發高的信噪比，并將其稱為相干共振。Litak等[16]根據相干共振原理和統計學方法，發現雙穩態懸臂梁能量采集系統在Gauss白噪聲激勵下的功率輸出可以大幅增加。

目前，振動能量轉化為電能的機制主要為三種：靜電式，電磁式以及壓電式。三者之中，壓電式具有結構簡單、無電磁干擾的特點，而電磁式具有體積小，感測頻率高的優勢[17-18]，當前對兩者進行綜合研究尚不多見。為了促進能量采集效率的提高，本文針對綜合了壓電和電磁效應的復合式能量采集系統在確定激勵和隨機激勵下的動力學行為進行了研究。首先建立了考慮壓電和電磁的能量采集系統的數學模型，根據平衡點的穩定性分析了靜態分岔的特性。通過Euler-Maruyama等數值方法給出了不同能量采集機理對確定性激勵和隨機激勵下系統響應的影響。最后針對原始模型實驗驗證了相干共振現象和復合式能量采集系統的優越性。

1復合式能量采集系統

1.1模型描述

復合式能量采集裝置如圖1(a)所示，由壓電片，軸向受載的歐拉梁，永磁鐵以及線圈構成。壓電式能量采集機理是通過壓電片從受壓梁的變形中采集能量產生電壓，而電磁式則通過梁跨中的磁鐵的位移產生變化的磁場，從而在線圈中產生電流來采集能量。軸向受壓的屈曲梁在一階振動模態近似的情況下，簡化為一對受壓的斜支撐彈簧振子模型(圖1(b))。 Cao等[19-20]研究了不考慮壓電和電磁效應的斜彈簧振子的混沌、余維2分岔等非線性動力學行為。

圖1　模型示意圖Fig.1 Schematic figure of mode

本文建立動力學模型需要考慮三方面的因素：壓電梁的力學特性、壓電耦合以及電磁耦合。根據牛頓定律和基爾霍夫定律，復合式能量采集系統的集總參數模型的控制方程為：

(1)

式中:m為壓電振子的等效質量，X為質量塊的相對位移，k為等效剛度，c為阻尼系數，L0為彈簧原長，l為振子質心到支點的水平距離，u為外界的振動源位移，Θ1為壓電耦合系數，C表示等效電容，V表示電壓，Θ2為電磁耦合系數，L*表示等效電感，I為電流,R1為壓電電路的電阻，R2為電磁電路的電阻。式(1)中的第一式左邊第四項和第五項分別表示壓電和電磁的耦合作用。

(2)

其中

1.2平衡點靜態分岔分析

通過考察式(2)對應的自治系統的平衡點及其穩定性, 分析復合式能量采集系統的靜態分岔特性。將x1=x,x2=x′,x3=v,x4=i,式(2)所對應的自治系統寫成一階微分方程的形式：

(3)

平衡點(0,0,0,0)所對應的雅克比矩陣為

(4)

它的特征方程det(J1-λI)=0表示成:

(5)

當α>1時，由于θ1,θ2,η1,η2,β1,β2,ξ為正，根據Routh-Hurwitz判據可得，平衡點(0,0,0,0)是漸進穩定的；而α=1時，特征方程出現零根，平衡點(0,0,0,0)是分岔點；當0<α<1時，特征方程必有正實根，故推出平衡點(0,0,0,0)不穩定。

(6)

它的特征方程det(J2-λI)=0表示成:

λ4+λ3(η1+η2+2ξ)+λ2(1-α2+η1η2+β1θ1+

β2θ2+2η1ξ+2η2ξ)+λ((η1+η2)(1-α2)+

β1η2θ1+β2η1θ2+2η1η2ξ)+(1-α2)η1η2=0

(7)

通過上面分析可知，0<α<1時，式(2)有兩個穩定的平衡點和一個不穩定的平衡點，α=1為系統的分岔點，α≥1時，式(2)只有一個穩定的平衡點。因此在α=1處，能量采集系統發生亞臨界叉形分岔(如圖2(a) 所示)。

圖2　靜態分叉和勢能函數Fig.2 Static bifurcation and potential function

2數值模擬

2.1確定性激勵

(8)

圖3(a)為系統取無量綱參數α=0.75,ξ=0.05,θ1=0.05,θ2=0.05,η1=0.01,β1=0.1,η2=0.008,β2=0.05,ω=1.05.時候，位移響應x關于激勵幅值a的分岔圖。a從0.1到1.5之間變化時，系統將會發生倍周期分岔以及混沌。隨著激勵幅值a的逐漸增大，混沌窗口和周期窗口交替出現，但是當激勵幅值增大到一定程度時候，系統最終變化為大幅周期-1運動。

圖3　隨激勵振幅變化時的輸出響應變化Fig.3 Response versus variation of a

為了進一步說明激勵幅值對系統動力學行為的影響。圖4(a)～圖4(b)為a分別取0.15和0.16時系統的相平面圖、Poincaré截面圖。當激勵幅值較低的時候，系統圍繞一個平衡點做小幅單阱周期-1運動(圖4(a)); 而a增大為0.16時，系統將獲得足夠的能量越過勢壘，演變成圍繞兩個穩定平衡點的大幅雙阱周期-3運動(圖4(b))。

預算方面：現有的科研經費預算管理研究是針對傳統管理模式，而針對科研經費管理系統的預算研究還很少。根據《意見》內容，科研經費管理系統的預算管理模塊未來應以實現以下功能為研究方向：首先，把傳統的十余項科研預算明細項目對應到會計核算科目，并且將個別預算項目（差旅費、會議費、國際合作交流費）設為一個預算控制項，內部可以互相調撥，項目經費支出時僅受總額控制。其次，在預算編制界面，提供預算編制的詳細指引，指導科研人員合理編制項目預算。再次，在科研預算管理模塊增加預算調整功能，項目負責人在系統里申請預算調整，科研管理部門電子審批后，反饋到財務的預算執行系統，減少紙質文件傳輸的時間成本和人工成本。

由于外部激勵已經為系統提供了足夠的能量，當繼續增大激勵幅值a時，系統宏觀上將保持圍繞兩個穩定平衡點的大幅度雙阱運動。圖4(c)～圖4(d)為隨著a的增加，非線性系統在x1-x2相平面上呈現出混沌運動、雙阱倍周期運動交替狀態。

(a)a=0.15周期-1運動(b)a=0.16周期-3運動

(c)a=0.35混沌運動(d)λ=0.66周期-5運動圖4 不同激勵幅值情況的相平面圖以及Poincaré截面圖Fig.4PhaseportraitandPoincarésectionatdifferentexcitationamplitude

2.2隨機激勵

如果假設外部激勵y″為零均值寬帶平穩Gauss白噪聲過程F(τ)，滿足如下關系式：

F(τ)=0

〈F(τ)F(τ+Δτ)〉=2Dδ(Δτ)

(9)

式中：D為Gauss白噪聲的強度，δ為單位脈沖函數，Δτ是時移。

圖5顯示了系統參數選取α=0.75,ξ=0.05,η1=0.01,β1=0.1,η2=0.008,β2=0.05,時，利用Euler-Maruyama方法得到的壓電耦合系數q1、電磁耦合系數q2以及隨機噪聲強度對系統響應的影響。圖5(a)、5(c)是信噪比曲面(σx/σF,σF，σx分別為激勵和響應的標準差[16])，其中峰值所對應的噪聲強度就是發生相干共振的臨界值。圖中看出，隨著耦合系數q1、q2逐漸增加，發生相干共振的臨界噪聲強度先逐漸減少然后再逐漸增加。由此得到在一定條件下，同時考慮壓電耦合和電磁耦合的復合式能量采集系統比只考慮壓電或電磁耦合的能量采集系統更加容易出現明顯的相干共振現象。圖 5(b)、5 (d)表明，由于相干共振的作用，復合式能量采集系統在臨界噪聲強度處的輸出電壓均方值要比壓電式和電磁式的高，從而輸出功率也較大。

(a)壓電耦合系數q1對信噪比以及電壓均方值的影響(b)壓電耦合系數q1對信噪比以及電壓均方值的影響

(c)電磁耦合系數q2對信噪比以及電壓均方值的影響(d)電磁耦合系數q2對信噪比以及電壓均方值的影響圖5 機電耦合對響應輸出的影響Fig.5Theinfluenceofelectromechanicalcouplingonoutputresponce

圖6為噪聲強度為D=0.03,q1=0.05,q2=0.05時，不同能量采集機理作用情形時候的相平面圖以及時間歷程圖。在只考慮電磁耦合情形下，系統始終圍繞一個平衡點做單阱運動(圖6 (a))；而在只考慮壓電耦合情形下，可以看到短暫的雙阱運動(圖6 (b))；但是在同時考慮壓電和電磁作用機理時，系統頻繁出現適合能量采集的大幅雙阱振動現象(圖6 (c))。雙穩態系統在相干共振發生時，穿越勢壘的大幅位移響應被稱為相干跳躍[21]。如圖6(d)所示，寬頻激勵下的復合式能量采集系統更容易產生平衡點之間的相干跳躍, 因而采集效率也比壓電式或電磁式的能量采集效率高。

(a) 電磁式(b) 壓電式

(c) 復合式(d) 時間歷程圖圖6 D=0.03時,考慮不同機理時相平面圖Fig.6PhaseportraitandtimehistoriesconsideringthedifferentmechanismforD=0.03

3實驗驗證

為了驗證復合式能量采集系統相干共振時能量采集效率，本節對復合式能量采集系統原始模型在隨機激勵下開展了實驗研究，圖7為實驗裝置，系統參數見表1。該實驗裝置主要由實驗夾具，永磁鐵，空心線圈，振動臺，受壓梁，應變片，壓電薄膜(PVDF)，振動控制器以及動態應變儀(DH5922)組成。

表1　復合式能量采集系統參數

圖7　能量采集系統實驗裝置Fig. 7 The energy harvesters for comparison

整個實驗測試系統框架如圖8所示，實驗中，振動控制器可以產生不同強度且帶寬為15～100 Hz的隨機激勵，該激勵信號經過功率放大器及振動臺作用到能量采集裝置上，能量采集裝置在壓電效應和電磁效應下產生電能，產生的電壓經過引線和數據采集器進行采集，并在計算機中進行分析。

圖8　能量采集實驗測試系統Fig.8 Energy harvesting experimental test syste

響應的標準差和開路輸出電壓有效值同隨機噪聲標準差之間的關系如圖9所示。 由圖9(a) 所示，隨著激勵的標準差的增加，壓電式和復合式能量采集系統響應的標準差基本上是遞增的，且復合式能量采集系統的標準差幅值較大，這一結果證明了引入電磁采集機理能夠使原有的壓電式能量采集系系統出現明顯的相干共振現象。由圖9(b) 可知，隨著激勵的標準差的增加，復合式能量采集系統獲得的輸出電壓有效值明顯高于單純考慮壓電時的情況。這一結果證明了引入電磁采集機理能夠提高原有的壓電式能量采集系統的采集效率。圖10和圖 11為隨機激勵標準差為σF=0.005和σF=0.03時的系統的動態響應和輸出電壓變化。由圖10可以看出，當激勵標準差為σF=0.005時，受壓梁只圍繞某個平衡位置運動，此時復合式能量采集系統出現高峰值壓電的次數較少。圖11表明當激勵強度增大到σF=0.03時，系統出現了大幅頻繁雙阱跳躍，成為主要的運動狀態，此時復合式能量采集系統出現高峰值壓電的次數較多。這一結果驗證了相干共振能夠有效的提高能量采集系統的采集效率。

(a)　應變標準差

(b)　電壓有效值(VRMS)圖9　系統的響應隨激勵的標準差的變化Fig.9 The change law between the excitation standard deviation and the system’s response

圖10　激勵σF=0.005時復合能量采集系統的應變Fig.10 The system’s dynamic strains and open circuit voltage with excitation standard deviation σF=0.005.

圖11　激勵σF=0.03時復合能量采集系統的應變Fig.11 The system’s dynamic strains and open circuit voltage with excitation standard deviation σF=0.03

4結論

為了提高能量采集系統的采集效率和功率輸出，本文提出了同時考慮壓電效應和電磁效應的復合式能量采集系統，研究了其在確定性激勵和隨機激勵下的動力學行為。得到了以下結論：

(1) 壓電和電磁耦合的復合式能量采集系統在簡諧激勵下呈現出分岔和混沌等復雜的非線性動力學行為。低頻大幅激勵作用下的大幅的周期運動，相對于其它情形的動力學行為能量采集效率更高。

(2) 復合式能量采集系統在隨機激勵下會出現相干共振。發生相干共振的臨界噪聲強度隨壓電耦合系數q1、電磁耦合系數q2變化。復合式比只考慮壓電或電磁的能量采集系統更容易出現明顯的相干共振現象并產生高峰值輸出電壓。

(3) 實驗結果表明在寬頻的隨機激勵下, 復合式能量采集裝置隨著激勵強度的增加會出現相干共振現象, 其能量采集效率會超過只考慮壓電或電磁效應的裝置。

參 考 文 獻

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基金項目：國家自然科學基金(11172234;11372196);河北省杰出青年培育項目(A2015210097)

收稿日期：2015-03-12修改稿收到日期：2015-07-28

通信作者秦衛陽 男，教授， 1967年生

中圖分類號:O322；TN384

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.019

Dynamics and coherence resonance of a hybrid energy harvesting system

LI Hai-tao1, QIN Wei-yang1, DENG Wang-zheng1, LAN Chun-bo1, TIAN Rui-lan2

(1 Department of Engineering Mechanics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China；2. Department of Mathematics and Physics,Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

Abstract:Improving the energy harvesting efficiency is currently of topical interest. A novel hybrid energy harvester integrated with piezoelectric and electromagnetic effects was presented. The corresponding governing equations were derived and its nonlinear dynamics and coherence resonance were investigated. The dynamical behaviors of the hybrid energy harvester were explored by using the Runge-Kutta and Euler-Maruyama methods when it is subjected to deterministic and stochastic excitations. The experimental results show that the hybrid energy harvesting system, which combines the mechanisms of piezoelectric and electromagnetic effects, has a better scavenging performance when it reaches the state of coherence resonance. In addition, the results reveal that it is possible to improve the energy harvesting efficiency and output voltage by optimizing the structure’s parameters.

Key words:random excitation; energy harvesting system; coherence resonance

第一作者 李海濤 男，博士生，1985年4月生

E-mail:qinweiyang@aliyun.com