軸向運動變截面黏彈性梁的振動與穩定性分析

李成澄, 趙鳳群

(西安理工大學 理學院,西安　710054)

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軸向運動變截面黏彈性梁的振動與穩定性分析

李成澄, 趙鳳群

(西安理工大學 理學院,西安710054)

摘要：由D’Alembert 原理，建立了軸向運動黏彈性變截面梁的運動微分方程，給出了一種重心有理插值DQ法的數值求解方法。對于簡支黏彈性變截面梁，用該方法得到了特征方程，獲得了變截面梁前兩階無量綱復頻率與無量綱軸向運動速度的變化關系。分析了梯形截面梁和拋物形截面梁隨軸向運動速度變化的失穩形式，并與等截面梁進行了比較，同時分析了變截面梁的高度比和黏彈性系數對梁動力穩定性的影響。

關鍵詞：變截面梁；黏彈性；軸向運動；穩定性；DQ法；復頻率

近年來，學者們對軸向運動梁、板等結構的穩定性問題進行了大量研究，Mote等[1-5]研究表明，物質的軸向運動將引發橫向振動，且振動強度與初始軸力、運動速度等有著密切的關系，當運動速度超過臨界速度時，會導致模態失穩。Lee等[6]用譜分析方法研究了均勻張力作用下軸向運動Timoshenko梁的橫向振動特性。趙鳳群等[7]建立了軸向運動FGM Timoshenko梁的運動微分方程組，采用WDQ法，獲得了簡支FGM梁的復頻率，分析了軸向運動FGM Timoshenko梁在不同長高比和梯度指標下的振動特性。Mergen等[8-9]研究了軸向運動梁在變速運動下的橫向振動穩態響應，他們還研究了在屈曲狀態下軸向運動黏彈性梁的非線性動力特性。梁是結構工程中的基本構件，隨著科技的發展，變截面梁的優勢日益突出，在機械、航空、建筑等領域有著廣泛的應用前景。針對變截面梁的振動特性，已經有不少的研究成果。Caruntu[10]研究了高度沿軸線方向，截面呈拋物型矩形變截面梁的非線性振動問題；Mehmet等[11]研究了梁的截面寬度沿軸線方向，截面為指定冪指數函數的變截面梁的振動特性。徐騰飛等[12]利用Frobenius 級數求解振動方程的近似解，獲得了變截面梁振動問題的求解方法，但此方法不具有普遍通用性。但是對于軸向運動變截面梁的振動特性研究較少。

考慮到黏彈性材料的廣泛使用，本文由D’Alembert原理，研究了軸向運動變截面黏彈性梁的振動與穩定性問題，以重心有理插值函數為基函數，采用DQ法求解，克服了傳統DQ法節點增多即出現數值不穩定的缺點。

1控制微分方程的建立

考慮軸向運動變截面黏彈性梁，以軸向為x軸建立坐標系，單位長度密度為ρ(x)，截面面積為A(x)，梁長度為L，軸向運動速度為V。當梁垂直于x軸的截面為矩形，寬度為b，高度為h(x),x∈[0,L]時，截面面積A(x)=bh(x)。如當梁在xoz面上的截面是梯形，如圖1(a)所示，這時

(1)

當梁在xoz面上的截面是拋物型，如圖1(b)所示，這時

(2)

圖1　變截面軸向運動梁Fig.1 Axially moving beam with varying section

假設黏彈性模型為Kelvin-Voigt 模型，即

(3)

式中:ε為軸向應力，E為材料的彈性常數，γ為黏彈性系數。對于小變形，應力-位移關系為

(4)

式中：w=w(x,t)是梁的橫向位移。

梁的截面彎矩M為

(5)

梁沿z軸方向的速度可以表示成

(6)

因此z軸方向的加速度為

(7)

由D’Alembert原理，我們可以獲得軸向運動黏彈性梁的運動微分方程為

(8)

式中:P0為梁的初始張力。

將式(5)代入式(8)，可獲得Kelvin-Voigt模型黏彈性變截面軸向運動梁的運動控制微分方程

(9)

(10)

假設梁的兩端是簡支的，則邊界條件為

w(0,t)=w(L,t)=0,

(11)

則式(10)可化成如下無量綱形式

(12)

邊界條件為

(13)

2穩定性分析

(14)

邊界條件為

y(0)=y(1)=0,y″(0)=y″(1)=0

(15)

對于式(14)～(15)，本文選取重心有理插值基函數作為插值基函數，采用DQ法求解。

取重心有理插值基函數[13]

(16)

式中：wk為權重，且I={1,2,…,N}為一指標集。

計算格式如下

Dk={i∈I:0≤k-d≤i≤N-d}

(k=0,1,…N)

(17)

可見wk只依賴于節點。則一階權系數可以表示如下

(18)

則由各階導數的權系數之間的遞推關系

(i,j=0,1,…N)

(19)

將式(14)、(15)用微分求積法離散，得

(20)

令式(20)的行列式等于0，得到式(14)、(15)的特征方程，由特征方程可以求得無量綱復頻率ω與無量綱速度v之間的關系，進而討論軸向運動黏彈性梁的動力穩定性。

3數值結果及分析

應用DQ法計算時，選取Gauss-Lobatto點，取N=20，局部結點個數d=5。

表1　等截面簡支梁前二階固有頻率(v=2,　α=0)

3.1變截面軸向運動彈性梁穩定性分析

圖2為軸向運動梯形截面簡支彈性(α=0)梁在不同厚度比e=h2/h1下前二階無量綱復頻率隨無量綱軸向運動速度的變化關系。對于等截面梁(e=1，圖中實線表示)，當無量綱速度v

(—表示e=1；-·表示e=0.9；……表示e=0.8)圖2　梯形截面梁前兩階復頻率隨軸向運動速度的變化曲線(e=1,0.9,0.8)Fig.2 Curves of the first two order complex frequencies of beam with trapezoid cross section vs. the moving speed(e=1,0.9,0.8)

當v3v5時，梁發生前兩階模態耦合顫振失穩，v5為顫振失穩臨界速度。對于梯形截面梁(e=0.9,0.8)，其穩定性與等截面梁類似，但隨著厚度比的減小，各階失穩臨界速度也在減小。

圖3為軸向運動拋物形截面簡支彈性梁在不同厚度比下前二階無量綱復頻率隨無量綱軸向運動速度的變化關系。可以看出拋物形截面梁的振動穩定性與梯形截面梁類似，故以下只討論以梯形截面梁。

(—表示e=1；-·表示e=0.9；……表示e=0.8)圖3　拋物形截面梁前兩階復頻率隨軸向運動速度的變化曲線(e=1,0.9,0.8)Fig.3 Curves of the first two order complex frequencies of beam with parabolic cross section vs. the moving speed (e=1,0.9,0.8)

3.2變截面軸向運動黏彈性梁穩定性分析

圖4為e=0.9時梯形截面梁在不同黏性系數α=0.005,0.01下前二階無量綱復頻率隨無量綱軸向運動速度的變化關系。可以看出，對于黏彈性梁，已經不出現前兩階模態耦合現象。在一階模態上，當無量綱速度v0，Im(ω1)>0，表明梁做衰減周期振動，處于穩定狀態；當v1v2時，Re(ω1)≠0，Im(ω1)<0，表明梁出現顫振失穩，v2為顫振失穩臨界速度。在二階模態上，當無量綱速度v0，Im(ω1)>0，表明梁做衰減周期振動，處于穩定狀態；當v>v1時，Re(ω1)=0，Im(ω1)≠0，表明梁出現二階模態發散失穩。

(—表示α=0.005；-·表示α=0.01)圖4　梯形截面梁前兩階復頻率隨軸向運動速度的變化曲線(e=0.9)Fig.4 Curves of the first two order complex frequencies of beam with trapezoid cross section vs. the moving speed(e=0.9)

圖5　不同厚度比下梯形截面梁一階復頻率隨軸向運動速度的變化曲線(α=0.01,e=0.9,0.8,0.7)Fig.5 Curves of the first order complex frequency of beam with trapezoid cross section vs. the moving speed(α=0.01,e=0.9,0.8,0.7)

可見黏彈性系數的大小基本不影響梁的一階發散失穩臨界流速值，但一階顫振失穩臨界流速值隨著黏性系數的增大而增大，而二階發散失穩臨界流速值隨著黏性系數的增大而減小。

圖5為α=0.01時梯形截面梁在厚度比e=0.9,0.8,0.7下一階無量綱復頻率隨無量綱軸向運動速度的變化關系。可見對同一黏性系數，隨著厚度比的減小，一階失穩臨界流速值也在減小。

4結論

本文建立了軸向運動變截面黏彈性梁的運動微分方程，分析了簡支梯形和拋物形黏彈性梁隨軸向運動速度變化的振動特性和失穩形式，結論如下：

(1) 對軸向運動彈性梁，隨著運動速度的增大，梁經歷了穩定(等幅周期振動)-一階發散失穩-再穩定-一、二階模態耦合顫振失穩-再穩定-前兩階模態耦合顫振失穩的過程。梯形截面和拋物形截面梁的穩定性與等截面梁類似，隨著厚度比的減小，失穩臨界速度值也在減小。

(2) 對軸向運動黏彈性梁，隨著運動速度的增大，梁經歷了穩定(衰減周期振動)-一階發散失穩-一階模態顫振失穩的過程，沒有一、二階模態耦合現象。對同一種截面梁，黏性系數的大小基本不影響一階發散失穩臨界流速值，但一階顫振失穩臨界流速值隨著黏性系數的增大而增大，而二階發散失穩臨界流速值隨著黏性系數的增大而減小。對同一黏性系數的變截面梁，隨著厚度比的減小，一階失穩臨界流速值也在減小。

參 考 文 獻

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基金項目：陜西省教育廳科學研究計劃(11JK0524);陜西省自然科學資金資助項目(2011JM1013)

收稿日期：2015-01-13修改稿收到日期：2015-08-04

通信作者趙鳳群 女，碩士生導師，1963年2月生

中圖分類號:O317

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.017

Vibration and stability analysis of axially moving viscoelastic beam with varying section

LI Cheng-cheng, ZHAO Feng-qun

(School of Sciences, Xi’an University of Technology, Xi’an 710054, China)

Abstract:The governing differential equation of an axially moving viscoelastic beam with varying section was derived according to the D’Alembert principle, and a numerical method by the name of local differential quadrature method based on gravity interpolation was provided. The characteristic equation of a simply supported viscoelastic beam with varying section was obtained and the first two orders non-dimensional complex frequencies of the beam changing along with the non-dimensional axial moving speed were calculated. The form of instability of the viscoelastic beam with trapezoid cross section and parabolic cross section under different axial moving speed was analyzed in detail and compared with that of a uniform beam. The effects of height ratio and viscoelastic coefficient on the dynamic stability of the beam were discussed.

Key words:variable cross-section beam; viscoelasticity; axially moving; stability; differential quadrature method; complex frequency

第一作者 李成澄 女，碩士生，1988年12月生