計及應力剛化效應的空間大運動曲梁動力學建模與分析

張建書， 芮筱亭， 陳剛利

(南京理工大學 發射動力學研究所，南京　210094)

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計及應力剛化效應的空間大運動曲梁動力學建模與分析

張建書， 芮筱亭， 陳剛利

(南京理工大學 發射動力學研究所，南京210094)

摘要：從連續介質力學非線性位移-應變關系出發，導出計入應力剛化效應的空間柔性梁變形能表達式。利用浮動框架有限元方法和哈密頓變分原理推導了滿足小變形假設的空間曲梁的一般運動動力學方程，并利用模態縮減法對動力學方程進行了維數降階。所推導的動力學方程可用于高速旋轉一般運動空間柔性曲梁動力學問題的求解。通過數值仿真討論了應力剛化效應對大范圍運動小變形空間柔性曲梁動力學特性的影響，并與ADAMS軟件和ABAQUS軟件的仿真結果進行了對比，指出了ADAMS軟件在高速旋轉柔性多體系統數值計算方面的一些缺陷。所提出的計及應力剛化效應的空間曲梁動力學建模方法為高速旋轉一般運動柔性多體系統動力學建模和分析提供了參考。

關鍵詞：空間曲梁；浮動框架有限元方法；高速旋轉；應力剛化

從描述柔性體的位移和變形的策略這一角度來看的話，可以將當前較為流行的柔性多體系統動力學方法分為兩大類：相對節點坐標描述方法和絕對節點坐標描述方法[1-2]。相對節點坐標法用描述柔性構件大范圍運動浮動框架的剛體坐標與描述柔性體相對于浮動框架的位置坐標和變形坐標來描述柔性體在全局慣性系中的運動。該方法較為直觀并有諸多降階方法[3-5]，對大運動小變形柔性多體系統尤為適合。絕對節點坐標法中單元節點坐標定義在全局坐標系下，并采用斜率矢量代替傳統有限元方法中的節點轉角坐標。絕對節點坐標方法構建的動力學模型與傳統浮動坐標法相比更能精確地描述大運動大變形柔性多體系統。但是用絕對節點坐標方法構建的動力學模型尚無有效的降階方法，所以用該方法建立的動力學模型中往往存在剛性問題。Hussein等[6]提出了一種稀疏矩陣隱式積分方法來求解用絕對節點坐標方法建立的剛性代數-微分方程。

利用浮動坐標方法對滿足小變形假設的大運動柔性多體系統進行動力學計算時，如果忽略柔性梁縱向變形與橫向變形的耦合作用，由于離心慣性力的作用，使得柔性體元件的等效剛度隨著浮動框架轉速提高而降低[7-10]，尤其對于高速旋轉柔性多體系統，會嚴重制約動力學仿真精度，甚至導致計算失敗。不計入柔性梁縱向變形與橫向變形耦合作用的計算結果與實驗結果是相背的[11]。

洪嘉振等[12]在前期研究的基礎上提出了上述問題的一種解決方法：通過引入橫向變形引起的縱向縮短效應這一幾何非線性因素導出大運動柔性梁的一次耦合模型。蔡國平等[13]研究了柔性梁的一次耦合模型的模態降階方法，并與有限元方法的結果進行了對比。章定國等[14]研究了做空間任意運動柔性梁的動力學方程，同時考慮了橫向彎曲對縱向變形的影響。劉鑄永等[15]在柔性梁一次耦合模型的基礎上指出：忽略耦合變形對質量分布的影響而只保留耦合變形對彈性力的影響對數值仿真精度影響不大，從而簡化了柔性梁一次耦合模型動力學方程的推導。和興鎖等[16]比較了零次模型、一次耦合模型及精確模型的差異，探討各種模型的適用性。由于在一次耦合模型中，需要通過沿著梁的軸線方向對整個柔性梁進行積分以獲取橫向彎曲變形引起的梁的軸向縮短效應，所以將該方法推廣到具有一般初始構形的曲梁結構具有一定的難度。

趙飛云等[17]根據非線性連續介質力學理論，從非線性位移-應變關系出發，通過對縱向和橫向變形節點坐標進行坐標分離，解出與縱向變形相關的準靜態方程，得到準靜態時的縱向應力表達式，從而獲得附加剛度項。仿真結果與一次耦合模型吻合較好。該方法避免了一次耦合模型建模方法中關于浮動坐標系方向連續積分的因素，但是對縱向和橫向變形采用了獨立的模態陣型，所以需要對該方法進行改進才能將它推廣應用到具有一般初始構形的曲梁結構。

Hansbo等[18-19]討論了曲梁的動力學建模方法，但均未計入應力剛化效應對曲梁動力學的影響，因此不適用于高速大運動曲梁的動力學仿真。徐圣等[20]基于幾何精確建模方法建立了大變形細長空間梁的幾何非線性有限元動力學模型，并對空間直梁動力學仿真結果進行了試驗驗證。計入應力剛化效應的大運動曲梁的動力學模型在文獻中尚很少見。

本文從連續介質力學非線性位移-應變關系出發，建立計入應力剛化效應的大運動空間曲梁的動力學模型。首先從彈性體非線性位移-應變關系出發，導出計入應力剛化效應的柔性梁變形能表達式。然后利用哈密頓變分原理和浮動框架有限元方法推導滿足小變形假設的空間曲梁的一般運動動力學方程，并利用陣型疊加法對動力學方程進行維數降階。在推導動力學方程的過程中計入柔性梁應力剛化效應對系統動力學的影響，以期所推導的動力學方程可用于高速旋轉一般運動空間柔性曲梁動力學問題的求解。為高速旋轉柔性多體系統動力學建模和分析提供參考。

1空間曲梁模型與坐標系定義

如圖1所示的一個非慣性坐標系中的空間曲梁i為例，討論計及應力剛化效應的大運動曲梁動力學建模方法及其模態縮減策略。

圖1　曲梁模型與坐標系Fig.1 A spatial curved beam and the coordinate systems

2空間曲梁動力學方程

2.1單元位移列陣和形函數矩陣

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

在浮動坐標系中定義的單元位移列陣δij為：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

因此塊對角矩陣Aij滿足：

(Aij)-1=AijT

(11)

根據式(8)和式(11)可得：

(12)

2.2曲梁變形勢能

根據連續介質力學非線性位移-應變關系可得在單元坐標系中表示的空間運動柔性梁變形位移與中性軸軸向應變的關系為：

(13)

根據式(13)可以導出柔性梁i單元j的變形勢能包括軸向變形能、橫向變形能以及軸向和橫向變形耦合作用產生的耦合變形能：

(14)

利用式(3)和式(4)，柔性梁i單元j的變形勢能式(14)在整個單元內積分可得梁單元變形勢能，即：

(15)

(16)

(17)

利用式(12)，柔性梁i單元j的變形勢能表達式(15)可改寫為：

(18)

(19)

對柔性梁i所有單元變形勢能進行求和可得柔性梁i的變形勢能為：

(20)

將曲梁i的整體節點位移列陣δi用模態疊加形式表示，記為：

(21)

式中：

(22)

(23)

將式(21)代入式(20)可得用空間柔性曲梁i廣義坐標表示的變形勢能表達式：

(24)

式中：

(25)

(26)

(27)

2.3曲梁動能

(28)

(29)

(30)

(31)

式中:H是浮動框架廣義轉角Θ的函數，并且與廣義轉角Θ對時間的導數無關。

選用歐拉四元素來表示浮動坐標系相對于全局慣性坐標系的方位，則Θ可記為：

Θ=[ε1ε2ε3ε4]T

(32)

式中:ε1，ε2，ε3，ε4表示四個歐拉參數。四個歐拉參數中只有三個是獨立的，并滿足如下約束方程：

(33)

用這四個歐拉參數表示的方向余弦矩陣A為：

A=

(34)

此時，H的表達式為：

(35)

(36)

對于滿足小變形假設的柔性曲梁i，其節點k的節點坐標系(曲梁變形前節點坐標系與浮動坐標系平行)在全局慣性坐標系中的方向余弦矩陣可表示為：

(37)

根據角速度疊加定理可得該節點的節點坐標系相對于全局慣性坐標系的角速度矢量：

(38)

根據式(36)和(38)可得柔性梁i節點k的動能為：

(39)

將柔性梁i各節點的動能用柔性梁廣義坐標表示，并對所有節點動能求和可得用廣義坐標表示的柔性梁i的總動能表達式為：

(40)

式中：

(41)

柔性梁廣義質量矩陣中各分塊矩陣表達式分別為：

MRR=I1

(42)

(43)

MRF=AI3

(44)

(45)

MFF=I6

(46)

MΘΘ=

(47)

柔性梁廣義質量矩陣中各分塊矩陣表達式里面的九個不變量分別為：

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

2.4空間曲梁動力學方程

根據空間曲梁i變形勢能表達式(24)，動能表達式(40)以及系統約束方程，利用約束系統哈密頓變分原理可導得曲梁i的動力學方程，即：

(57)

(58)

式中:ζ為模態阻尼比。

3曲梁系統動力學仿真與分析

利用本文推導的動力學方程對非慣性坐標系中的空間曲梁進行動力學分析。選取的動力學參數如下：等截面柔性梁體質量密度ρ=2.766 7×103kg/m3，彈性模量E=6.895×1010Pa，泊松比μ=0.33，剪切模量G=E/2(1+μ)，橫截面面積A=7.3×10-5m2，截面慣性矩Iy=Iz=8.218×10-9m4，截面極慣性矩JP=Iy+Iz。空間曲梁在浮動框架中的初始構形為：

(59)

式中:R=25.25 m。式(59)描述的柔性梁中性軸在浮動框架中的初始構形如圖2所示。

圖2　空間曲梁中性軸在浮動框架中的初始構形Fig.2 The undeformed configuration of the neutral axis of the spatial curved beam

選取左端固定右端自由邊界條件下的柔性曲梁前36階模態陣型作為Φi。同時令各階模態阻尼比均為ζ=0。

系統約束條件為曲梁最左端節點(一號節點)線位移為零、角位移隨時間的變化給定，即：

C(qi,t)=

(60)

式中：

(61)

Adr=Ay(θdriven)

(62)

式中:Ay(θdriven)為繞y旋轉θdriven角所得的方向余弦矩陣，θdriven為給定的角度驅動，其對時間的一階導數為：

(63)

式中:Ω=10 rad/s，T=20 s。

系統約束方程式(60)對時間的二階導數可表示為：

(64)

聯立式(57)和式(64)得系統總體動力學方程：

(65)

利用本文推導的動力學方程分別考察計入應力剛化項和未計入應力剛化項對系統動力學的影響。同時利用ADAMS多體系統動力學軟件和ABAQUS非線性有限軟件對該動力學模型進行計算。在利用ADAMS多體系統動力學軟件進行計算時選取的界面節點如圖2所示。仿真結果如圖3所示。

圖3中計及剛化效應和未計及剛化效應在本文所述方法中指的是：是否考慮了根據柔性梁非線性位移-應變公式導出的柔性梁軸向變形和橫向變形耦合作用產生的耦合變形能，即式(14)中的最后兩項：

(66)

圖3　柔性曲梁末端變形位移與變形速度Fig.3 The deformation and deformation velocity of the end of the curved beam

從圖3所示的仿真結果不難發現，當柔性曲梁轉速較低時，計入剛化項和未計入剛化項以及ADAMS軟件的仿真結果基本一致；當柔性梁轉速逐漸增高時，未計入剛化項的仿真結果逐漸偏離計入剛化項的仿真結果，最終發散，得出錯誤的結果，而ADAMS在運行到8.12 s時顯示仿真失敗。

4結論

本文從非線性位移-應變關系出發，導出計入應力剛化效應的空間柔性梁變形能表達式。利用浮動框架有限元法和哈密頓變分原理，導出了滿足小變形假設的空間曲梁的質量矩陣和剛度矩陣及其一般運動動力學方程，并利用陣型疊加法對動力學方程進行了維數降階。該方法進一步拓展了一次耦合模型的應用范圍，避免了一次耦合模型建模方法中關于柔性梁軸線方向連續積分的因素，同時舍棄了獨立的縱向和橫向變形模態陣型，可應用到具有一般初始構形的曲梁結構。通過數值仿真討論了應力剛化效應對系統動力學的影響，指出了ADAMS軟件在處理應力剛化問題方面的不足。所建立的動力學方程和仿真結果為高速旋轉柔性多體系統動力學建模和分析提供了參考。

參 考 文 獻

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基金項目：國家自然科學基金(11102089);江蘇省研究生培養創新計劃基金(CXZZ12_0177)資助

收稿日期：2015-08-28修改稿收到日期：2016-01-13

通信作者芮筱亭 男，博士，教授，博士生導師，1956年8月生

中圖分類號:O313.7

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.005

Dynamics modeling and analysis of a spatial curved beam with stress stiffening

ZHANG Jian-shu, RUI Xiao-ting, CHEN Gang-li

(Institute of Launch Dynamics, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

Abstract:Based on the nonlinear relationship between deformation and strain of elastic flexible bodies, the expression of the potential energy of spatial flexible beams was derived, in which the effect of stress stiffening was accounted for. The dynamics equation of a spatial curved beam undergoing large displacement and small deformation was deduced using the finite element method of floating frame of reference (FEMFFR) and Hamiltonian variation principle. The order of the dynamic model was reduced by using the modal synthesis method. The stress stiffening effect of the curved beam on the system dynamics was accounted for in the deduction procedure, which makes it applicable to the dynamic simulation of multi-flexible-body system with high rotational speed. The effect of stress stiffening was numerically analyzed using the deduced dynamics equations. The simulation results were compared with those obtained by the software of ADAMS and ABAQUS, which shows some defects of the commercial dynamics softwares. The proposed modeling method for the dynamics of spatial curved beams with stress stiffening effect will lay a foundation for the dynamics modeling and analysis of high speed rotary multi-flexible-body systems under small deformation using FEMFFR.

Key words:spatial curved beam; finite element method of floating frame of reference; high rotational speed; stress stiffening

第一作者 張建書 男，博士生，1986年7月生