重力異常階方差模型精度及其截斷誤差分析

常　岑，王世忠，王慶賓,3，賈　魯，吳　亮

(1.信息工程大學 地理空間信息學院，河南 鄭州 450052；2.61206部隊,遼寧 大連 116023；3.63883部隊，河南 洛陽 471000)

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重力異常階方差模型精度及其截斷誤差分析

常岑1，王世忠2，王慶賓1,3，賈魯1，吳亮1

(1.信息工程大學 地理空間信息學院，河南 鄭州 450052；2.61206部隊,遼寧 大連 116023；3.63883部隊，河南 洛陽 471000)

摘要：在評估重力場模型計算空間擾動引力精度時，對模型截斷誤差常采用階方差方法。文中將6種經典的重力異常階方差模型與現有超高階重力場模型的階方差進行比較，TSD模型與重力場模型的差值最小。根據重力異常階方差模型TSD，文中分析不同高度、不同階次利用重力場模型計算空中擾動引力時截斷誤差的影響。實驗結果表明：36階模型截斷誤差最大徑向和水平方向分別為26.455 1 mGal、25.946 3 mGal；360階模型截斷誤差最大徑向和水平方向分別為9.969 0 mGal、9.960 9 mGal；2160階模型截斷誤差最大徑向和水平方向分別為2.538 5 mGal、2.538 1 mGal；2160階模型計算空中擾動引力時，即使在低空附近，截斷誤差在2.5 mGal以內，計算高度超過5 km，截斷誤差可以忽略；超過400 km的高度，都可以用36階模型計算，截斷誤差在1 mGal以內。

關鍵詞：擾動引力；地球重力場模型；階方差模型；TSD模型；截斷誤差

地球重力場外部變化情況是軍事地球物理主要研究內容之一，利用地球重力場模型可以容易得到地球外部空間擾動引力，為遠程武器和近地飛行器提供準確的制導控制依據。重力場模型的階次越高，所描述的地球擾動引力變化情況越精細。利用重力場模型計算空中擾動引力所產生的誤差主要來自兩個方面：①截斷誤差；②重力場模型的位系數誤差。一般而言，使用的重力場模型階次越高，產生的截斷誤差將會越小。

目前發布的重力場模型最高階能夠到達2190階，例如：2008年發布的EGM2008，2014年發布的EIGEN-6C4。文獻[1]利用1976年Moritz計算出來的重力異常階方差模型分析了截斷誤差隨高度變化情況。文獻[2]利用1981年RAPP計算出的重力異常階方差模型，對不同階次的截斷誤差分別進行了比較。文獻[3]分析了多種重力異常階方差模型，并利用這幾種模型計算出來的重力異常階方差的平均值作為準確值來分析重力場模型精度。文獻[4]以EGM2008模型作為準確值，比較了多種重力異常階方差模型，構建了一個新的重力異常階方差模型—TSD模型。以上文獻中，在分析截斷誤差時，沒有考慮到不同重力異常階方差模型的精度不同，所得到的結果不相一致的情況。本文通過比較幾種重力異常階方差模型，選出與EGM2008和EIGEN-6C4模型最為相符的重力異常階方差模型，再對空中擾動引力截斷誤差進行分析。

1重力異常階方差模型

文獻[1]中用重力異常階方差來研究截斷誤差對空中擾動引力的影響。球面的重力異常Δg可以用n階重力異常來表示，則有

(1)

空中擾動引力T的截斷誤差ε的表達式為

(2)

其中:Cn為重力異常階方差，ερ為徑向方向的截斷誤差，εH為水平分量的截斷誤差。為了分析截斷誤差的大小，先要確定重力異常階方差模型。

重力異常階方差的位系數的表達形式如下：

(3)

其中：γ為正常重力；Cnm,Snm為正則化后的模型位系數。由于現有的模型位系數的階數最高到2190階，所以更高階的階方差只有通過構建階方差模型來求得。Moritz在總結前人的研究成果后，給出了重力異常階方差的通用表達形式

(4)

Jekeli和Rapp的模型均是基于此求解算出來的，表 1給出了5種經典的階方差模型。

表1　重力異常階方差模型

此外，國內學者翟振和等[4]根據Moritz提出的通用模型，構建了一個新的重力異常階方差模型—TSD模型，表達式如下：

(5)

2重力異常階方差模型精度分析

為了驗證以上幾種階方差模型的精度，將它們與現有超高階重力場模型階方差進行比較。現有的超高階重力場模型主要有EGM2008模型和EIGEN-6C4模型，其中EGM2008模型是現有模型中精度較高的超高階模型，它的低階次主要來源于GRACE衛星數據；而EIGEN-6C4模型是在2014年發布，加入了GOCE數據，從文獻[5]得出來的結論可以看出，其精度較EGM2008有所提高。

從圖1、圖2可以看出，EGM2008和EIGEN-6C4模型階方差基本保持一致，只有將局部放大后，才能發現二者細微的差別，所以仍然使用EGM2008模型的階方差作為準確值與另外5種重力異常階方差進行比較。

由圖3、圖4可以發現，在36階之前的低階部分，模型的重力異常階方差變化比較劇烈，在36階之后，變化越來越平緩；在低階部分，Moritz和TSD模型的重力異常階方差與EGM2008模型的重力異常階方差變化更為相符。從圖3、圖4還可以看出，超過200階以后，除了TSD模型，其它模型的重力異常階方差與EGM2008相比表現出了較大的差異。

圖1　EGM2008和EIGEN-6C4階方差

圖2　EGM2008和EIGEN-6C4階方差局部放大

圖3　EGM2008模型階方差和6種重力異常階方差(2100階)

圖4　EGM2008模型階方差和6種重力異常階方差(200階)

從表2可以看出，Pellinen、Moritz、Jekeli 3種模型在低階部分與EGM2008的重力異常階方差的差值較大；超過360階之后，它們的差值都變得非常小。其中，TSD模型與EGM2008的重力異常階方差的差值相對其他幾種模型更小。由此，可以認為TSD模型更加符合EGM2008模型的變化趨勢。

表2　EGM2008模型階方差與6種重力異常階方差的差值

3截斷誤差對擾動引力計算的影響

根據上節分析，選擇TSD重力異常階方差模型計算重力場階方差。根據式(5)，分別計算截斷到36階、72階、360階、720階、1 440階、2 160階時的截斷誤差，高度每隔1 km取一次值，計算至36 000階。截斷誤差與計算點高度統計見表3。

表3　截斷誤差與計算點高度統計(重力異常階方差計算)

圖5　模型徑向方向截斷誤差

圖6　模型水平方向截斷誤差

由圖5、圖6可以看出，模型徑向和水平方向的截斷誤差隨高度變化具有一致性，隨高度增加，截斷誤差的影響變弱。使用36階模型來看，在100 km以內的低空，截斷誤差的大小隨高度急速下降；超過100 km以后，截斷誤差變化越來越緩慢；超過400 km，截斷誤差幾乎不變，無限接近于1 mGal。使用2 160階模型計算時，超過5 km的高度時，截斷誤差已經幾乎保持不變。

4結論

利用EGM2008和最新EIGEN-6C4重力場模型分析了幾種經典重力異常階方差模型，可以得到以下結論：

1)經典的重力異常階方差模型的高階部分與兩種超高階重力場模型的重力異常階方差不相符合。重力異常階方差TSD模型在高階部分與重力場模型的符合程度比較好。

2)利用TSD模型分析截斷誤差，36階模型截斷誤差最大徑向和水平方向分別為26.455 1 mGal、25.946 3 mGal；360階模型截斷誤差最大徑向和水平方向分別為9.969 0 mGal、9.960 9 mGal；2160階模型截斷誤差最大徑向和水平方向分別為2.538 5 mGal、2.538 1 mGal；2160階模型計算空中擾動引力時，即使在低空附近，截斷誤差在2.5 mGal以內，計算高度超過5 km，截斷誤差可以忽略；超過400 km的高度，都可以用36階模型計算，截斷誤差在1 mGal以內。

3)由于TSD模型本身的限制，使得計算截斷誤差時，在高階和高空時截斷誤差數值收斂于1 mGal，這與實際收斂于0 mGal的情況不符。在后續研究中，有必要對于重力異常階方差模型作進一步深入研究。

參考文獻：

[1]張皞.快速逼近彈道擾動引力的算法研究[D].鄭州：信息工程大學，2007.

[2]劉曉剛，吳曉平，趙東明,等.EGM96和EGM2008地球重力場模型計算彈道擾動引力的比較[J].大地測量與地球動力學，2009，29(5):62-67.

[3]KONESHOV V N，NEPOKLONOV V B，SERMYAGIN R A，et al.Modern global Earth’s gravity field models and their errors [J].Gyroscopy & Navigation，2013，4(3):147-155.

[4]翟振和，任紅飛，孫中苗.重力異常階方差模型的構建及在擾動場元頻譜特征計算中的應用[J].測繪學報，2012，41(2):159-164.

[5]KONESHOV V N，NEPOKLONOV V B，SERMYAGIN R A，et al.On the estimation of accuracy for global models of gravitational field of the earth[J].Izvestiya Physics of the Solid Earth，2014，50(1):127-136.

[6]PELLINEN L P.Estimation and application of degree variances of gravity [J]，Studia Geophys.Geod.，1970，14(2):168-173.

[7]TSCHERNING C C，RAPP R H.Closed Covariance Expressions for Gravity Anomalies，Geoid Undulations，and Deflections of the Vertical Implied by Anomaly Degree Variance Models [J].Scientific Interim Report Ohio State Univ.columbus.dept.of Geodetic Science，1974.

[責任編輯：劉文霞]

DOI:10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.10.008

收稿日期：2015-06-23；修回日期：2015-09-01

基金項目：國防基金(973-6132220202-2)；63880部隊博士后基金

作者簡介：常岑(1990-)，男，碩士研究生.

中圖分類號：P223

文獻標識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)10-0038-04

Analysis of degree variance of the gravity anomaly model precision and its truncation error

CHANG Cen1，WANG Shizhong2，WANG Qingbin1,3，JIA Lu1，WU Liang1

(1.School of Surveying and Mapping，Information Engineering University，Zhengzhou 450052,China;2.Troops 61206，Dalian 116023,China;3.Troops 63883，Luoyang 471000,China)

Abstract：When the precision of the gravity field disturbance is analyzed，the truncation error is the main factor which should be considered.Six classical degree variance of the gravity anomaly models are compared with the existing high-order earth gravity model.The difference between the TSD model and the earth gravity model is the smallest.According to the TSD，the influence of truncation error is analyzed when gravity field model is used to calculate the gravity of air disturbance.When using the 2160 order model to calculate the gravity of the air disturbance，even in the vicinity of the low altitude，the truncation error is within the 2.5 mGal;and when the height of the computation is over 5 km，the truncation error can be ignored;when the height of the computation is over 400 km，it can be calculated with the 36 order model and the truncation error is within 1 mGal.

Key words：disturbing gravity;earth gravity model;degree variance of the gravity anomaly;model TSD;truncation error