“方程的根與函數的零點”（高三二輪復習）

潘淑淑

一、教材分析

“方程的根與函數的零點”是人教版A版必修1第三章“函數的應用”第一節內容，主要內容是函數零點的概念、函數的零點與相應方程根的關系、函數零點的存在性定理，函數零點個數的判定。本課揭示了方程與函數之間的本質聯系，這種聯系是函數與方程思想的理論基礎。

二、學情分析

學生已經學習了函數的圖象和性質，會畫簡單函數的圖象，會通過圖象研究、理解函數的性質，這為學生理解函數的零點提供了幫助。

三、教學目標

1.了解函數零點的概念，理解函數零點與方程根的聯系，掌握零點存在的判定方法，能利用函數圖象和性質判斷某些函數的零點個數及所在區間。

2.體會函數與方程思想，數形結合思想，轉化與化規思想。

四、教學重點和難點

1.教學重點：了解函數的零點概念，掌握函數零點的存在性定理。

2.教學難點：準確理解零點的存在性定理。

五、課堂實錄

例題：已知函數f（x）=1-x-1

問：求函數f（x）的零點。

生1：x=0或x=2

師：我們復習一下函數的零點。

生2：對于函數y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實數x叫做函數y=f（x）的零點。于是得到以下等價關系：函數y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的實數根，就是函數y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標。

意圖：復習零點的概念，由函數零點的概念得出三個等價關系。

師：討論函數y=f（x）-a的零點個數。

生3：（函數與方程思想）令f（x）=a得到x-1=1-a。

當a=1時，函數y=f（x）-a有一個零點1；

當a>1時，函數y=f（x）-a沒有零點；

當a<1時，函數y=f（x）-a有兩個零點2-a和a。

生4：（數形結合）作出y=f（x）和y=a的圖象，討論這兩個圖象的交點個數，結論同上。

師：總結一下判斷函數零點個數的方法。

師：變式1：討論函數y=f（x+-2）-a的零點的個數。

生5：轉化思想，令t=x+-2，問題轉化為已解決的問題。從圖象上可以看出：

當a>1時，函數y=f（x+-2）-a沒有零點；

當a=1或-4

當a=0或a=-4時，函數y=f（x+-2）-a有3個零點；

當a<-4或0

意圖：理解函數零點的定義；求函數零點的個數問題可以轉化為兩個函數圖象的交點個數問題；體會整體思想和轉化思想。

師：變式2：求函數y=f（x）·logx2-1的零點個數。

生6：令y=f（x）·logx2-1=0，得令f（x）=log2x，其中x>0且x≠1作出y=f（x）和y=log2x，其中x>0且x≠1的圖象，發現這兩個圖象只有一個交點，故函數y=f（x）·logx2-1只有1個零點。

師：證明關于x的方程f（x）=log2x，（其中x>0且x≠1）只有一個根。

生7：令g（x）=f（x）-log2x=x-log2x，01

當00，∴y=g（x）在（0，1）沒有零點；

當x>1時，y=g（x）在（1，+∞）上單調遞減，又g（1）=1>0，

g（2）=-1<0，由零點的存在性定理知y=g（x）在（1，+∞）上只有1個零點。

∴y=g（x）在（0，+∞）上只有1個零點，結論得證。

意圖：復習零點的存在性定理；求零點個數問題轉化函數圖象交點個數問題。

師：變式3：對任意的t∈[2，4]時，關于x的方程f（x）=log2t+a總有兩個不同的實根，求實數a的范圍。

生8：轉化為函數值域之間的包含關系。

當t∈[2，4]時，log2t+a∈[1+a，2+a]，∴2+a<1 ∴a<-1

練習：已知函數g（x）是定義在R上的奇函數，且g（x+2）=-g（x），當x∈（0，1]時，g（x）=1-x-1，求方程g（g（x））=在x∈（-2，6]上所有實根之和。

生9：作圖y=g（g（x））（y=g（g（x））是周期為4的奇函數）和y=的圖象，得方程g（g（x））=在x∈（-2，6]上所有實根之和為8。

意圖：使學生對方程的根與函數的零點相關問題有進一步的認識，培養其獨立思考和自主探索的習慣。

總結：知識和思想方法。

意圖：使學生對所學的知識有比較全面的認識，有利于學生知識網絡的構建，在培養概括能力的同時，也能對課堂的教學效果進行反饋。

六、教后反思

本節課借助這一道題，復習了“方程的根與函數的零點”的所有內容。內容設計層次深入，分段進行，又環環相扣，使學生在接受知識、探究問題的過程中能有一個逐步積累深入、螺旋上升的發展。借助這一道題把本節課的重點知識進行復習，尤其是對零點的存在性定理的應用比較靈活。本節課還注重思想方法的滲透，如函數與方程思想、數形結合思想、轉化思想、分類討論思想、整體思想等多種思想方法。

浙江省特級教師議課：

本節課內容設計由淺入深，課堂對話非常真實。課堂的主體意識很強，給學生足夠的思考時間，學生積極參與課堂，讓學習指導課堂，而不是讓老師指導課堂。能把握本節課的重點：求函數的零點，判斷函數零點的個數，把求函數的零點個數問題轉化為求兩個函數圖象的交點問題，存在性定理的靈活應用。注重提煉學習方法，變式教學，練高考題。

編輯 楊國蓉