四元數矩陣的二次數值域

郭藝婉，翟發輝

(青島科技大學數學系，山東 青島 266061)

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四元數矩陣的二次數值域

郭藝婉，翟發輝＊

(青島科技大學數學系，山東 青島 266061)

摘要：本文引入四元數矩陣的二次數值域的定義，并且討論了四元數矩陣二次數值域的一些性質。在一定條件下，證明了四元數矩陣的左特征值集合是該四元數矩陣二次數值值域的子集。這些結果有助于四元數矩陣左特征值及相關問題的研究。

關鍵詞：四元數矩陣；左特征值；二次數值域

1引言

自1844年Hamilton[1]發現了四元數，四元數的性質及應用的研究一直是數學、物理學等學科活躍的研究課題之一。四元數在經典力學、幾何光學、復分析、拓撲學控制系統、圖的計算以及基于四元數分析的量子力學的應用都成為這些學科主要研究分支之一。關于四元數和四元數矩陣更多結果及應用見參考文獻[2]和[3]。

與實數域和復數域不同，四元數因子環的乘法運算不具有交換性，從而導致了定義在四元數上的線性代數理論與復數域上線性代數理論有許多差別。例如，不同于復數域矩陣特征值的定義和性質，四元數矩陣的特征值分左特征值和右特征值[4-5]，存在具有無限多個左特征值的有限階四元數矩陣，四元數矩陣的左特征值不是相似不變的[4]等等。特別，在四元數的研究中，代數基本定理對四階及四階以上的四元數矩陣左特征值是否有效的問題仍是公開的具有挑戰性的研究課題之一[4]。關于四元數矩陣與復矩陣有關結果的差異及四元數矩陣更多開放問題見文獻[2]和[6]。

2001年，Langer[7]等給出了復數域分塊矩陣二次數值域的定義并討論了復的分塊算子矩陣二次數值域的性質。由文獻[7]，我們知道復的分塊算子矩陣的特征值含于該分塊算子矩陣的二次數值域，通過討論復的分塊算子矩陣二次數值域的性質來研究該分塊算子譜的性質是比較有效的方法之一。 因此復數域上分塊矩陣二次數值域為討論復的分塊算子矩陣譜的局部性質的研究提供了重要研究工具之一。

考慮到四元數的非交換性、四元數矩陣與復矩陣特征之間的差異一級3×3以上四元數矩陣左特征值和右特征值研究的困難和復雜性[4]，如何利用2×2階四元數矩陣左特征值和右特征值的研究成果討論高階四元數矩陣的左特征值和右特征值的局部性質就變得非常有意義了。本文通過四元數矩陣的左特征值與其復伴隨矩陣之間的關系，引入四元數矩陣的二次數值域的定義，將研究高階四元數矩陣的左特征值的問題轉化為討論四元數矩陣的二次數值域的問題，從而通過討論四元數矩陣的二次數值域局部性質達到對四元數左特征值的刻畫，同時也討論了四元數矩陣二次數值域的一些性質，這些結果有助于四元數矩陣特征值和與其相關的其他問題的研究。

2預備知識

這一節給出本文用到的一些記號，定義。

這里i,j,k滿足 i2=j2=k2=ijk=-1。顯然，四元數是非交換的。

如果a=a1+a2i+a3j+a4k∈, 稱為a的共軛，即由文獻[2]知a=|a|2。如果a∈, 則。設n,n及n分別表示，及上的n維列向量，如果n，則x與y的內積定義為

由定義2.1知四元數矩陣左特征值的定義與一般復矩陣特征值定義相同，但是由于四元數的非交換性，四元數矩陣左特征值與一般復矩陣特征值有著本質區別，例如，文獻[2]和[6]指出四元數矩陣的左譜不是相似不變的，且存在四元數矩陣的左譜是一個無限集。

(2.1)

(2.2)

有了上面預備知識，在第三節，我們將引入四元數矩陣的二次數值域，并討論其與左特征值的關系。

3四元數矩陣的二次數值域

(3.1)

從定義3.1可以看出，四元數矩陣二次數值域實際上是兩個變元二次方程的解。關于四元數矩陣二次數值域，我們有下面的性質。

證明(1)充分性是顯然的。 下面證明必要性。

對任意x1∈n，||x1||=1，取x2=x1，則x=x1+x2j∈Σ1。因為{ 0 }，所以

A1=0，A2=0。

證明設A=A1+A2j，β=β1+β2j，因為α∈，則

αA+βIn=(αA1+β1)+(αA2+β2)j。

(3.2)

(3.3)

(3.4)

情形2如果α=0，由引理3.1 (2) 知結論成立。

證明設α1∈且存在x1∈n，‖x1‖=1使得〈A1x1,x1〉=α1。 對于向量x1，存在x2∈n且‖x2‖=1使得。取，則

設y2∈n，||y2||=1使得〈A2y2,y2〉=-β2。記，則

下面定理3.1是本文主要結果。該定理說明可以將高階四元數矩陣左特征值問題轉化為兩元變量的二次復數域上方程解的問題，為利用MATLAB或者其他計算機語言編程估計四元數矩陣左特征值的范圍給出了一種方法，進而也說明四元數矩陣的二次數值域具有一定的實際應用價值。

經簡單計算可得

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

由于式(3.6)與(3.7)確定的方程組有非零解‖x1‖與‖x2‖，因此

(3.8)

(3.9)

因此λ1∈Δ1(x)。

4小結

本文引入了四元數矩陣的二次數值域的概念，討論了四元數矩陣二次數值域是實數集時，該四元數矩陣的性質；也討論了正交變換下四元數矩陣的二次數值域不變等一些其他性質，同時證明了四元數矩陣的左特征值集合是該四元數矩陣二次數值值域的子集。所得結果說明了22階及以上的高階四元數矩陣左特征值可以看作該矩陣的二次數值值域的局部化，從而有助于對四元數矩陣左特征值及其他相關問題的討論。

參考文獻：

[1]HAMILTON W R. Elements of quaternions [M]. London: Longman, 1889.

[2]ZHANG F. Quaternions and matrices of quaternions [J]. Linear Algebra Appl, 1997,251(2):21-57.

[3]ADLER S L. Quaternionic quantum mechanics and quantum Fields [M]. Oxford: Oxford University Press, 1995.

[4]HUANG L P ， SO W.On left eigenvalues of a quaternic matrix [J]. Linear Algebra Appl, 2001，323(1/213):105-116.

[5]LEO S D， SCOLARICI G. Right eigenvalue equation in quaternionic quantum Mechanics [J]. J Phys A,2000,33(13):2971-2995.

[6]RODMAN L. Topics in quaternion linear algebra [M]. Princeton: Princeton University Press, 2014.

[7]LANGER H, MARKUS A, MATSAEV V et al. A new concept for block operator matrices: The quadratic numerical range [J]. Linear Algebra Appl,2001,330(1/2/3):89-112.

DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2016.03.015

收稿日期：2015-08-07

基金項目：山東省中青年科學家科研獎勵基金(BS2013SF014)

作者簡介：郭藝婉(1989-), 碩士研究生,研究方向為泛涵分析。 *通信作者，翟發輝(1967-),男，碩士生導師，研究方向為泛函分析及其應用。Email:fahuiz@163.com

中圖分類號：O151.2

文獻標識碼：A

文章編號：1002-4026(2016)03-0087-05

Quadratic numerical range of a quaternion matrix

GUO Yi-wan, ZHAI Fa-hui*

(Department of Mathematics, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao 266061, China)

Abstract∶We present the definition of quadratic numerical range of a quaternion matrix, and discuss its properties. We further prove that the set of all left eigenvalues of such a matrix is its subset under certain restricted conditions. These results are benefit for the research on the left eigenvalues of a quaternion matrix and relative issues.

Key words∶quaternion matrix; left eigenvalues; quadratic numerical range