乘法需求的兩階段供應鏈優化問題

董　琦

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乘法需求的兩階段供應鏈優化問題

董琦

北京郵電大學理學院

行業曲線

本文針對面臨乘法隨機需求的季節性商品供應鏈模型，提出使供應鏈利潤最大化的零售商銷售價、進貨量和供應商生產能力的求解方法。在經濟管理領域起到很大作用。

如付諸現實將產生宏觀上促進銷售行業供應鏈運行的經濟效益。

本文中我們研究了季節性商品銷售的兩階段供應鏈模型，此供應鏈為單一供應商和單一零售商，且零售商面對的隨機乘法需求模型。在銷售季到來之前的第一階段，供應商根據歷史數據和初步調查預測即將到來的市場需求，并由此決定對于此商品的預留生產能力，經過一段時間預備期后進入第二階段，供應商和零售商更新市場需求，零售商決定進貨量和售價。對于此供應鏈，我們做出集中決策下的分析，在考慮第二階段時，為使整個供應鏈的預期收益最大化，求得最優的進貨量和售價；然后考慮第一階段，求得最優的預留生產能力。

本文中，我們研究了集中決策下的優化問題，此問題中，單一供應商和零售商面臨季節性商品的市場需求，在銷售季到來之前，供應商首先決定初始的預留生產能力，零售商的進貨需求受到預留生產能力的影響，進貨量超過預留生產能力的部分無法被滿足。我們將銷售季到來之前的時段分為兩個階段，第一階段由供應商根據歷史銷售數據確定預留生產能力，進而在第二階段由零售商確定進貨量、售價并告知供應商，供應商收取生產費用并生產貨物，運送至銷售商，銷售季到來。對于整個供應鏈，我們需要考慮如何協調供應商和零售商以使得總利潤最大。

報童模型和供應鏈協調性的研究由來已久。報童模型是供應鏈研究的基礎，在本文的模型中，零售商可以作為報童。報童問題的理論研究可以追溯到1888年，經濟學家Edgeworth在研究銀行現金流的過程中引入了報童模型的概念。1955年，Whitin首先提出了受價格影響的需求模型，對本文影響最大的是1999年由Petruzzi和Dada提出的加法和乘法形式的需求函數模型。在供應鏈問題的研究中，研究目標著重放在優化進貨量和售價等參數上。對于季節性商品，決策者更傾向于以整個供應鏈的收益最大化為目標，因為此類型供應鏈若無法在當季正常運行會帶來損失。2010年，Frank Chen等提出了兩階段供應鏈模型，應用了加法需求函數，對進貨量、售價等決策變量進行了優化并給出協調合同。

本文中最大的創新點在于對需求函數的改良，我們研究了以乘法需求函數為基礎的兩階段供應鏈模型，并將預留生產能力作為不計成本的決策變量。在第二部分，我們給出了模型的參數假設和說明；在第三部分，我們給出了集中決策下的最優化參數值；在第四部分，我們給出結論。

參數假設

m：供應商的預留生產能力；

D ：市場需求隨機變量；

p ：零售商的單位銷售價格；

q ：供應商向零售商提供的單位進貨量；

c ：零售商在第二階段決定的單位銷售價格；

u ：未使用預留生產能力的單位回收價；

v ：未售出剩余商品的單位回收價；

π：短缺商品的單位懲罰損失。

關于模型我們做出以下幾點說明：

1.需求函數的形式：

其中，b＞1；x是一個取非負值的隨機變量，其取值區間為［L, H］，概率密度函數為f（x），概率分布函數和數學期望分別是F（x）和E（x）=μ；參數a在兩個階段中有不同意義：在第二階段，我們認為a是一個正值常數，因為它可以由歷史銷售數據得到，特別是它對決策變量的優化并沒有影響；然而在第一階段，a被認為是一個取正值的隨機變量，這是由于在考慮決策變量M的優化時，a是一個重要的未知變量，此時，我們設定a是一個取值在［l, h］上的連續隨機變量，概率密度函數為g（?）。

2.b是一個常數，因為它可以由相同或者相似商品的歷史銷售數據得到，所以在第一階段可以確定。

3.隨機變量x 滿足：

集中決策下的供應鏈

在這一部分，我們將研究集中決策下的供應鏈模型，分為兩個階段。我們首先考慮第二階段，然后考慮第一階段。在第二階段，我們給定常數a，在此基礎上確定最優的進貨量和銷售價；在第一階段，我們把a作為隨機變量，在此基礎上給出最優的預留生產能力m。

第二階段決策

在第二階段，我們的目標是在給定預留生產能力M的情況下尋找最優的進貨量和銷售價，最優決策是通過分析整個供應鏈的利潤函數得到，分為兩種情況：第一種情況是預留生產能力無限制，可以滿足進貨量；另一種情況是預留生產能力不能滿足進貨量。根據之前的參數假設，在第二階段，我們將a作為取正值的常數，用a? 表示，因此，需求函數為：

預留生產能力無限制的情況

在預留生產能力無限制時，q＜M，我們令Π1（p, q）表示此時整個供應鏈的利潤函數；

為了便于計算，我們定義安全存貨因子：

此時，在利潤函數中我們用變量z 替換變量q ，同時規定，。那么，q＜M時對應的供應鏈利潤Π的期望為：

證畢。

證明：根據引理1和引理2，我們有：

由于b＞1，μ＞L ，所以，R（L）＞0。

接下來我們考慮R（z）的函數性質：

根據引理1，

因此，

證畢。

預留生產能力有限制的情況

接下來我們考慮預留生產能力有限制的情況，即q≥M，我們令表示此時整個供應鏈的利潤函數。由于進貨量最多只可以達到預留生產能力的水平，因此此時實際上有q=M，利潤函數期望實際上只是價格p的函數，即。則，

它對隨機變量x的期望是：

證明：根據E［Π2（p）］的表達式，我們可以得到：

對上式進行分析，我們可以認為p＞1，而由于，所以上式第三項為負值；第四項顯然也為負值。所以我們考慮前兩項，若有，則可以得到，即是凹函數，具有惟一的最優值點p#，且滿足。根據條件成立。

證畢。

第一階段決策

接下來我們返回第一階段的決策，即我們需要確定預留生產能力M的最優值。這里我們需要討論作為隨機變量的參數a 與M 的關系，進而得到M的最優值M*。首先我們考慮M的取值范圍。令h*（a）=a［p（z*）］-b?z*，實際上，h*（a）就是第二階段在無預留生產能力限制情況下的最優進貨量。我們把它作為a的函數，顯然，，所以h*（a）關于a單調遞增。直觀含義是當市場規模較大時，最優的進貨量也應該較大。那么h*（a）的取值范圍是［h*（l）,h*（h）］。我們分別用和表示生產能力無限制和生產能力有限制情況下的供應鏈最大預期收益。于是，整個供應鏈的預期收益函數是：

所以，

根據上述分析，當a=a（M*）時，我們有，

證畢。

說明：M*的取值有另外兩種情況，分析如下：

在這種情況下，M*比最優進貨量的最大值還要大，即預留生產能力無限制。此時，供應鏈收益的目標函數為：

第二種情況：M*≤h*（l）。

在這種情況下，M*比最優進貨量的最小值還要小，即預留生產能力有限制。此時，供應鏈收益的目標函數為：

所以在供應鏈的第一階段的最優預留生產能力惟一且在第二階段的最優進貨量是M*。

綜上，我們可以根據定理1得到最優的z*，并因此確定a（M*）與M*的函數關系，那么對于給定的M*，我們可以通過定理2確定p#；進而由定理3求解出最優的預留生產能力M*。

結語

我們考慮了基于乘法需求模型的兩階段供應鏈優化問題，優化的目標變量是進貨量、銷售價和預留生產能力。我們考慮了兩種情況：預留生產能力無限制和有限制。在兩階段的模型設計中，第一階段為前期市場需求預測和確定預留生產能力，第二階段為成熟市場需求預測和確定進貨量、銷售價。我們對此問題進行優化的順序是先確定兩種情況下第二階段的最優進貨量和銷售價，然后返回第一階段將兩種情況綜合考慮，確定最優的預留生產能力。

DOI：10.3969/j.issn.1001- 8972.2016.13.026