輪胎轉動慣量的有限元計算方法

陳振藝

（雙錢集團上海輪胎研究所有限公司，上海 200245）

輪胎是汽車的重要組成部分，輪胎性能與汽車整體性能密切相關，因此越來越多的汽車企業要求輪胎企業盡可能多地提供輪胎性能指標，其中包括與汽車啟動、加速和制動性能密切相關的輪胎轉動慣量。

目前我國還沒有方便、有效測試輪胎轉動慣量的設備和方法，需要通過計算獲得輪胎的轉動慣量。由于輪胎各個部件形狀不規則，估算精度不高，而目前廣泛使用的有限元分析軟件（如Abaqus等）也沒有便于計算輪胎轉動慣量的功能，所以需要開發專用軟件計算輪胎轉動慣量。

1 現有計算方法

目前可以檢索到的輪胎轉動慣量計算方法有如下3種[1-3]。

采用有限元方法，也就是利用輪胎性能有限元分析得到的單元信息，通過編程計算各個單元的轉動慣量來計算整個輪胎的轉動慣量[1]。但該方法只涉及到了單元體積的計算方法，對如何計算單元質心以及如何處理可變簾線單元密度問題并未提及。

利用UG三維軟件強大的實體分析功能來獲取輪胎各個部件的體積和轉動慣量數據，并利用對UG三維軟件的二次開發來自動獲取相關數據，得到整個輪胎的轉動慣量[2]。該方法只需輸入各個部件的質量，不用計算體積、質心和密度等。該方法簡單，編程工作量小，缺點是需要對整個輪胎進行三維建模，而不只是對花紋三維建模，這增加了很多工作量，并無法處理可變簾線單元密度 問題。

采用將一個不規則形狀物體積分解成多個規則形狀物體積之和的方法來計算各個部件的轉動慣量[3]。該方法的優點是避免了不規則形狀部件質心的計算，計算精度高；缺點是計算方法復雜，編程復雜，也無法處理可變簾線單元密度問題，而且只適用于無花紋的光面輪胎。

2 計算方法確定

對比以上3種輪胎轉動慣量的計算方法，有限元方法最方便，且編程難度適中，但主要需要解決3個問題：單元轉動慣量的計算、簾線單元密度的處理和花紋溝部分的處理。本研究確定采用有限元方法計算輪胎轉動慣量。

2.1 單元轉動慣量的計算

轉動慣量的計算公式很簡單，一個質點的轉動慣量（J0）計算公式見式（1）。

式中，m0為質點質量，r0為質點到轉動軸的距離。如果一個物體的質量是連續分布的，則這個物體的轉動慣量（J）計算公式見式（2）。

式中，ρ為物體密度，r為物體到轉動軸的距離，V為物體體積。如果一個單元內的材料密度是均勻的，且單元的形狀基本上是規則的，那么對一個單元來說，式（2）計算并不復雜。整個輪胎的轉動慣量則等于各個單元轉動慣量的總和。

對輪胎而言，單元可以分為3種類型，胎面單元、除胎面以外的其他純橡膠單元和含簾線單元。胎面單元涉及花紋溝，因此無法在空間上形成連續圓環，需要單個計算，計算量較大；而其他純橡膠單元和含簾線單元可以形成圓環，計算量較小。含簾線單元涉及到密度處理問題，計算步驟比純橡膠單元多。

對一個矩形的平面單元來說，如果可以形成一個圓環，那么這個圓環的轉動慣量（Jc）計算非常簡單，根據式（2）可以得到式（3）。

式中，mc為整個圓環的質量，r1和r2分別為圓環的內、外半徑，各參數如圖1所示。

圖1 圓環轉動慣量計算參數示意

Jc的近似計算公式如下：

式中，rc為平面單元質心到輪胎旋轉軸的距離，即r1和r2的平均值，Vc為圓環體積，ρc為平面單元密度，Sc為平面單元面積。

式（3）和（4）的計算結果差異取決于平面單元高度（h）與rc的比值，比值越大，差異也越大。當rc為200時，如果h為4，則差異為0.01%；如果h為6，差異為0.1%；如果h為10，差異為0.25%。因此當h不太大時，式（4）的計算精度是令人滿意的。

對于矩形單元式（4）的優勢并不明顯，但對于任意四邊形或者三角形的平面單元，式（4）就顯示出明顯的優勢。只要求出平面單元的面積和質心位置，就能求出圓環的體積，再根據密度就能計算出轉動慣量。如果要獲得更高的計算精度，可以把一個單元劃分成若干個三角形或者四邊形，再分別計算后求和即可。

假定三角形的3個頂點坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3），那么三角形面積（SA）計算公式見式（5）。

對密度均勻的三角形來說，質心位置（x0，y0）也就是重心位置，計算公式見式（6）和（7）。

假定四邊形的4個頂點坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）和（x4，y4），用兩條對角線將四邊形劃分為4個三角形，分別求出4個三角形的面積S1，S2，S3和S4，以及4個三角形的質心位置（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3）和（u4，v4），那么四邊形的面積（SB）和質心位置（x00，y00）計算公式見式（8）—（10）。

因此，對于除胎面以外的其他純橡膠輪胎部件來說，只要處理一個輪胎斷面上的平面單元數據，就能計算出該部件的轉動慣量，可以不涉及該部件沿輪胎圓周方向的單元劃分信息。

2.2 簾線單元密度的處理

純橡膠單元的密度是固定的，通常從數據文件中讀取即可，而簾線單元的密度則要另行處理。除鋼絲圈單元外，其他簾線單元有兩種處理方法。第1種方法是將簾線單元看作密度均勻的單元，根據簾線的直徑、排列密度和密度，以及簾線夾膠的密度計算出平均密度，再計算轉動慣量。第2種方法是沿著簾線的排列方向將簾線單元劃分成3層，上下兩層為純橡膠，中間層為簾線和橡膠，厚度與簾線直徑相同，然后分別計算轉動慣量。無論是哪種處理方法，都需要計算密度。

第1種方法中簾線單元的平均密度是動態的，即使簾線規格和排列密度保持不變，輪胎規格不同，因簾布厚度不同其平均密度也會變化。因此在計算時要額外計算單元厚度，即使同一個輪胎部件的單元厚度也會有所不同，其平均密度也不同。第2種方法中間層的密度是固定的，只要根據簾線的直徑、排列密度和密度，以及簾線夾膠的密度計算1次就可以了，但是將1個單元劃分成3層，前處理工作量會增加，只是計算精度從理論上說比第1種方法要高。

鋼絲圈單元的處理與第1種方法類似，需要根據鋼絲直徑、鋼絲排列方式和夾膠厚度計算出平均密度。

同樣，對于含簾線部件來說，只要處理一個輪胎斷面上的平面單元數據，就能計算出該部件的轉動慣量，可以不涉及該部件沿輪胎圓周方向的單元劃分信息。

2.3 花紋溝部分的處理

胎面單元的處理也分為兩種情況：一是單元劃分時已經包含花紋溝信息，二是不包含花紋溝信息。如果單元劃分時已經包含了花紋溝信息，那就涉及到沿輪胎圓周方向的胎面單元劃分信息，也就是必須逐個計算胎面單元的轉動慣 量（Jt），近似計算公式見式（11）。

式中，mt為胎面單元質量，rt為胎面單元到輪胎旋轉軸的距離，ρt為胎面單元密度，Vt為胎面單元體積。胎面單元大部分為六面體，還有少量五面體，按輪胎各個單元的通用劃分方法，這些六面體和五面體基本上都是規則的。也就是說總是存在兩個面，這兩個面延長的相交線就是輪胎的旋轉軸，并且絕大部分情況下這兩個面的形狀和尺寸基本相同，接近平行，如圖2所示的面1和2。

圖2 胎面六面體單元體積計算參數示意

六面體單元的Vt近似計算公式見式（12）。

式中，St1和St2分別為面1和2的面積，H是面1質心（x01，y01）到面2質心（x02，y02）的距離，而六面體單元的rt就等于面1和2的質心到輪胎旋轉軸距離的平均值。

五面體單元的體積計算方法與六面體類似。如果面1和2的形狀或者尺寸相差較大，可以將單元沿輪胎圓周方向劃分成若干個小單元分別計算，以提高Vt和rt的計算精度。

如果單元劃分時不包含花紋溝信息，也就是當作光面輪胎來劃分單元網格，那么胎面單元的轉動慣量計算方法與其他純橡膠單元的計算方法一樣，只需要最后減掉花紋溝部分的轉動慣量。由于單元劃分時不包含花紋溝信息，因此花紋溝的轉動慣量計算是很困難的，通常需要用戶自行計算，或者由計算軟件根據用戶輸入的數據進行估算。計算花紋溝轉動慣量的方法有多種，計算精度各不相同。例如可以只輸入花紋的飽和度、花紋溝的平均寬度和平均深度，就能計算出花紋溝的轉動慣量。但由于橫向花紋溝和縱向花紋溝的形狀、寬度、深度、傾角、長度和數量等有差異，因此這種方法很難精確得到花紋溝平均寬度和平均深度數值，由此得到的花紋溝轉動慣量的計算值精度不高。也可以根據花紋溝形狀和尺寸不同將花紋溝分為若干類，由用戶分別計算這些花紋溝的等效長度，然后將各個類型花紋溝的寬度、深度、等效長度和數量等輸入計算軟件中，即可得到所有花紋溝的轉動慣量，且計算值精度有所提高。

3 計算軟件的開發

轉動慣量的計算過程并不復雜，編程工作量也不大。開發的有限元方法計算輪胎轉動慣量軟件應包括界面顯示、用戶數據輸入、數據文件處理、轉動慣量計算和計算結果輸出等功能，軟件的調試和修改為開發的主要內容。

界面設計主要考慮便于參數的輸入和輸出，以及方便軟件各種功能的使用。對于參數輸入，應盡量減少輸入參數的數量，用數據文件替代參數輸入。輪胎有限元分析前后處理會產生許多數據文件，包含大量計算轉動慣量所需的數據和信息，充分利用這些數據文件可以減少用戶輸入參數量。確實需要輸入參數時，也應盡量提供參數默認值和選項，也就是說，盡量用鼠標點擊替代鍵盤輸入。

在數據文件處理設計時，要注意對數據格式的檢查，以及對讀取到的數據進行檢查，判斷其數值是否處在合理范圍內，這樣有助于判斷數據文件是否有誤。如果要處理多個數據文件，要注意檢查這些文件的匹配性，例如有些參數可能在不同的數據文件中都出現，通過對比這些參數，就可以判斷這些數據文件是否匹配，防止使用錯誤的數據文件。同時在處理數據文件時要考慮效率和技巧，盡量讀取一遍就能分離出所有需要的數據，避免反復讀取數據文件，節省讀取數據的時間。

總的來看，轉動慣量的計算方法比較明確。相對而言，將一個立體單元劃分成幾個小立體單元，并計算出這些小立體單元的頂點坐標的方法比較繁瑣；同樣當簾線單元的厚度不一致時，計算簾線單元的厚度以及密度的方法也比較繁瑣。在計算轉動慣量時，還可以順便計算一些其他參數，例如輪胎的外直徑、斷面寬、體積和質量等，當單元劃分包含花紋溝信息時，可以順便計算出所有花紋溝的體積，這可能對用戶有參考價值。

除了輸出整個輪胎的轉動慣量外，還可以輸出一些輔助信息，例如整個輪胎的體積和質量，各部件的轉動慣量、體積和質量等，供用戶參考。另外還可以列出從數據文件中獲得、或者用戶自行輸入的一些主要數據，例如一個斷面的單元和節點數量、整個輪胎的單元數量、各個部件的密度（特別是通過計算得到的簾線單元平均密度）等，這些參數除了可以提供給用戶參考以外，還可以幫助用戶判斷計算結果是否合理、數據文件或者用戶輸入的參數值是否正確等。

4 結語

由于輪胎各個部件形狀的不規則性，用有限元方法計算輪胎轉動慣量，既可以明顯降低計算的復雜性，也有效保證了計算的準確性，同時還可以充分利用輪胎性能有限元分析前后處理產生的數據文件，大幅降低計算轉動慣量所需的數據輸入量。