基于H∞回路成形法的磁軸承魯棒控制器設計

孟鵬飛，張廣明，歐陽慧珉

(南京工業大學 電氣工程與控制科學學院，南京 211816)

磁軸承因無磨損、無潤滑、高轉速、能適應苛刻環境等特點，廣泛應用于醫療、高精密度機械制造、真空和潔凈空間系統等領域。然而，其多變量、非線性、強耦合等特點使得系統控制器設計成為長期研究的熱點和難點。

目前為止，國內外專家學者已經提出了多種控制策略。文獻[1]分析了磁軸承的PID控制中系統超調的原因，提出引入提前重置PID控制。文獻[2]通過使用Lyapunov函數方法、線性矩陣不等式(LMI)方法和并行分布補償(PDC)方法，導出了相應的穩定性條件及H∞控制器的設計方法。文獻[3]在考慮模型的不確定性和外界干擾的情況下設計了系統的H∞控制器，提出了H∞回路成形設計方法，該方法可以通過在控制器中引入第2個自由度，并將其形式化描述為一個標準H∞優化問題而得到擴展，容許在魯棒鎮定和閉環模型匹配之間進行折衷，該結構在控制器實現方面有很多優點。文獻[4]對互質因子進行了較詳盡的分析，指出了互質因子攝動與系統魯棒性間的關系。文獻[5]研究一種系統化的回路成形離散控制器優化方法，有效規避離散化逼近誤差的影響。已有的H∞控制在磁軸承中的應用研究方面存在以下問題：對于磁軸承模型強制解耦，沒有分析其慣性耦合與陀螺效應的影響；對模型的非線性攝動估計不足，模型不夠精確；多數采用H∞混合靈敏度對系統進行權函數設計，較少采用H∞回路成形法對模型進行擴展。

鑒于此，下文分析磁軸承轉子運動的數學模型和其在高速運轉下陀螺效應的影響，對模型進行簡化和修正；采用α階逆系統理論對模型進行線性解耦，減少慣性耦合對系統的影響；研究轉子起浮時的最大非線性攝動，使磁軸承的攝動模型更加精確；在磁軸承H∞控制基礎上，對原有模型進行回路成形設計，從而使魯棒控制器的設計更加便捷有效。

1 磁懸浮系統的數學模型

1.1 系統組成及其工作原理

軸承-轉子受力示意圖如圖1所示。fxa,fya分別為轉子左端沿x,y軸受到的電磁力；fxb,fyb分別為轉子右端沿x,y軸受到的電磁力；xa,ya分別為轉子左端沿x,y軸方向位移；xb,yb分別為轉子右端沿x,y軸方向位移;xc,yc分別為轉子質心沿x,y軸方向位移；ixa,iya分別為轉子左端x，y軸方向輸入電流；ixb，iib分別為轉子右端x,y軸方向輸入電流；θx，θy分別為轉子繞質心處x,y軸轉角；ω為轉子繞z軸轉動角速度；其他相關參數見表1。

圖1 軸承-轉子受力示意圖

表1 軸承和轉子參數

1.2 轉子動力學分析

通過對轉子進行動力學分析可得狀態方程為

Y=CX+DU，

控制向量U= [ixa,ixb,iya,iyb]T，

輸出向量Y=[xa,xb,ya,yb]T，

參數矩陣

C=[I4×4O4×4],D=[O4×4],

2 系統模型分析

2.1 系統耦合分析

根據上述未解耦的模型可以得到被控對象標稱傳遞函數，轉子轉速為30 000 r/min時傳遞函數矩陣為

a21中的非對角元素反映的是同一平面內的2個徑向自由度之間的影響，稱為慣性耦合;a22反映的是磁懸浮軸承徑向不同平面各自由度之間的影響，稱為陀螺耦合。a22中絕對數值最大的項是94.167 8，遠遠小于a21中數值最小項154 763，因此慣性耦合遠遠大于陀螺耦合。

轉子在轉速為30 000 r/min時各個自由度相互作用時的頻域響應如圖2所示。圖中G11，G22，G33，G44為系統主對角線分量，在所有頻域上增益最大;G12，G21，G34，G43為同一方向不同位置間的耦合，相對主對角線元素，其在低頻段的增益較小，高頻段相差12 dB;G13，G31，G24，G42，G23，G32，G14，G41為不同位置不同方向之間的耦合，相對系統主對角元素，其增益較小。

圖2 轉速為30 000 r/min時各自由度相互作用時的頻域響應

將系統簡化為徑向2自由度的系統,不考慮非同一平面之間的耦合，原狀態方程簡化為

(1)

(2)

2.2 基于α階逆系統理論的線性解耦

求輸出Y=[ya,yb]T對時間的α階導數，直到Y的導數中顯含輸入變量U。求Y的二階導數即可顯含輸入變量U[6]。

(3)

根據雅克比矩陣有

(4)

因為rank(?Y/?U)=2 ，矩陣非奇異，所以系統可逆。按照解耦控制的要求，令參考輸入為Φ=[φ1,φ2]T,則有

令

(5)

結合(3)式，可得控制律

(6)

由(6)式可得輸入變換和狀態反饋組成的控制律u=RΦ-FX，其中R為輸入變換矩陣；F為狀態反饋矩陣。解耦后的系統傳遞函數矩陣為

GL(s)=diag(1/s21/s2)。

(7)

解耦過程如圖3所示。

圖3 2自由度磁軸承系統解耦框圖

2.3 系統非線性攝動分析

系統數學模型的不確定性包括位移剛度Ks、電流剛度Ki的不確定性，以及各自由度之間的陀螺與慣性耦合引起的動態不確定性[9]。由于已對系統解耦，只考慮轉子在剛起浮時產生的非線性攝動，此時非線性攝動最大。

單自由度電磁力為

(8)

K0=0.25μ0N2A，

式中：xt，it為位移、電流的實際值；μ0為真空磁導率；N為線圈匝數；A為氣隙截面積。將上式在平衡位置(X0，I0)附近進行前4階Taylor展開，忽略高階小項可得

(9)

轉子起浮時，x=0.2 mm，i=0.6 A，由參數攝動引起的乘性不確定性為

(10)

綜上可得攝動模型為

。(11)

3 H∞回路成形法設計控制器

3.1 H∞回路成形法簡介

H∞回路成形設計方法以結合經典H∞魯棒鎮定為基礎，構造回路傳遞函數來滿足對閉環系統的性能要求[7-9]。通過設置前置或后置補償器對開環對象進行擴展，擴展后的系統為

Gp=W2GW1，

(12)

式中：W2，W1分別為前置、后置補償器；G為標稱對象模型。對Gp進行H∞標準最優控制，反饋控制器為

K=W1KpW2，

(13)

式中：Kp為H∞控制器。利用H∞優化技術，針對一類常見的互質因子不確定性，將得到的成形對象(初始回路形狀)魯棒化。

用互質分解描述H∞回路成形的對象。將被控系統的不確定性分為非結構不確定性和參數不確定性，考慮G的鎮定問題，對其進行標準化的左互質分解

G=M-1N,

(14)

為簡化，省略M和N的下標。攝動對象模型Gp可以寫為

Gp=(M+ΔM)-1(N+ΔN)，

(15)

式中:ΔM，ΔN為穩定但未知的傳遞函數，表示標稱對象模型G的不確定性。魯棒鎮定的目標不僅要鎮定G，還要鎮定一族由下式定義的攝動對象模型

Gp={(M+ΔM)-1(N+ΔN):‖[ΔNΔM]‖∞<ε}

，(16)

式中：ε為穩定裕量，ε>0,其值最大化就是標準化互質因子對象的魯棒鎮定問題。

攝動反饋系統如圖4所示，當且僅當標稱反饋系統穩定，且滿足下式時，其穩定性是魯棒的，

(17)

式中：γK為由Φ到[u,y]T的H∞范數；u，y為控制器K的輸出變量和輸入變量；(I-GK)-1為正反饋結構的靈敏度函數;I為單位矩陣。

圖4 攝動反饋系統

3.2 補償器的設計

設計補償器時期望對回路幅值特性的形狀作如下修改：在低頻段增大回路增益以改善系統性能。為了在具有可接受的幅值裕量GM與相角裕量PM的情況下得到較好的瞬態特性，在穿越頻率附近使L(s)(L(s)=G(s)K(s))的斜率約為-1。為了減少調節輸入的使用，要使L(s)在高頻(帶寬之后)更快衰減，使控制器可實現，并減少噪聲的影響[10-12]。

標稱系統與攝動系統成形前的奇異值曲線如圖5所示。由圖可知，被控系統在低頻段增益最多達到40 dB，高頻段迅速衰減，但系統在穿越0 dB時的斜率為-40 dB/dec，穩定裕量嚴重不足，系統處于開環不穩定狀態，魯棒性和動態性能不符合要求。因此選取積分超前環節，考慮系統的因果性和可實現性，在超前補償器的基礎上增加一階積分環節，為了加快高頻段衰減，增加“超前-滯后”項，以便在控制器上增加微分作用。經過反復試驗，選取后置、前置補償器分別為

(18)

(19)

圖5 標稱系統與攝動系統成形前的奇異值特性曲線

回路成形前后系統奇異值特性曲線如圖6所示。由圖可知，系統成形后在低頻段增益大于30 dB，具有較好的跟蹤性能和抗干擾能力，奇異值曲線穿過0 dB時斜率為-20 dB/dec，保證了系統的穩態性能。在高頻段以-60 dB/dec的斜率衰減，系統響應速度加快。GM=10，PM=48.3°，GM表示閉環系統變成不穩定系統以前回路增益可以增加的倍數，是對穩態增益不確定性(誤差)的直接防護措施。典型情況下，要求GM>2；PM表示出現閉環不穩定前回路傳遞函數可以增加的負相位，典型情況下，要求PM>30°或者更多，因此系統達到設計要求。

圖6 回路成形前后系統奇異值特性曲線

利用MATLAB魯棒工具箱[13]，通過Loopsyn命令可以得到最終控制器，系統H∞范數γk為3.276 8。根據偶極子原理，再對15階控制器進行pode降階。

4 系統仿真與性能分析

設轉子的初始位置x=-0.2 mm，參考位置x0=0 mm，轉子由初始位置空載起浮時x方向的位移曲線如圖7所示。由圖可知，響應曲線較平滑，轉子經30 ms后回到平衡位置，超調量小于0.03 mm，幾乎無靜差。

圖7 轉子起浮時x方向的位移曲線

轉子發生最大非線性攝動時系統的階躍響應如圖8所示。由圖可知，攝動模型超調0.04 mm，小于軸承保護氣隙(0.1 mm)，符合設計要求；系統參數發生攝動時仍能保持穩定。

圖8 轉子標稱模型與攝動模型的階躍響應

轉子在攝動狀態下的階躍響應和正弦響應分別如圖9、圖10所示。由圖可知，與經典PID控制相比，H∞回路成形法的優勢在于：系統輸出量的最大偏差、輸出量的過渡時間及振動頻率較小，抗干擾能力和處理系統不確性的能力較好。

圖9 攝動狀態下系統的階躍響應

圖10 攝動狀態下系統的正弦響應

轉子位移端受到幅值為0.04 mm、周期為0.1 s的矩形波干擾時的響應如圖11所示。由圖可知，系統在30 ms消除擾動干擾，具有較強的抗干擾能力。

圖11 轉子位移端受到干擾時的響應

5 結束語

分析系統內部的慣性效應和陀螺效應，對徑向4自由度磁懸浮軸承系統進行數學化建模并簡化模型。采用α階逆系統理論對系統進行線性解耦，然后對系統進行H∞回路成形設計，設計了單自由度的魯棒控制器。通過仿真驗證可知，系統受到干擾時可快速恢復穩定狀態，系統在攝動狀態下仍能保持良好的動態性能，證明H∞回路成形法設計的控制器對磁懸浮軸承系統中的不確定因素具有良好的魯棒性。